Диссертация (1143463), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

2.10:Пример вейвлет-преобразования динамики трансмембранного потенциа­ла при изменении интенсивности света: Верхняя панель- хаотическая динамика по­тенциала, безразмерный потенциал vs время; модуль вейвлет-преобразования (сред­няя панель) и соответствующие максимумы модуля как функция медленно меняю­щейся интенсивности (нижняя панель)ся, так как траектория вышла на устойчивый предельный цикл. Периодглавной гармоники достаточно слабо увеличивается до = 19.5 по срав­нению с начальным участком.

В то же время качественно вид колебанийменяется, а именно, они приобретают более релаксационный характер,то есть медленное движение перемежается быстрым. Это хорошо вид­но на диаграмме полного вейвлет преобразования(Рис. 2.8, средняя па­нель) где острые спайки соответствуют релаксаторам. Надо отметить,что ненулевая неопределенность вейвлета Морле в частотном простран­стве позволяет определить единственный (главный) период осцилляций(сплошная линия на нижней панели рис. 2.8).

Это довольно серьезноепреимущество перед методом Фурье-преобразования, который имеет ну­левую неопределенность, что приводит к детектированию более высоких67Рис. 2.11:Двухпериодические колебания трансмембранного потенциала (верхняяпанель), модуль вейвлет-преобразования (средняя панель) и соответствующие мак­симумы модуля как функция медленно меняющейся интенсивности (нижняя панель)периодических компонент, ограничивая тем самым бифуркационный ана­лиз.

Последняя часть на рис.2.8 показывает возникновение новых пат­тернов при > 0.7024775, где линия периодов становится неустойчивой.Характерный период для релаксационных колебаний между значениями = 19.5 и более высокими значениями.При дальнейшем уменьшении ключевого параметра до = 0.70155появляются максимумы, соответствующие периодам = 19.5 и =21.25. Такие дублеты можно объяснить релаксационным характером ко­лебаний, однако форма колебаний близка к синусоидальной в интерва­ле = 0.70155 < < 0.70109 и главным периодом остается становит­ся наибольший из двух = 21.25.

Однако при достижении значения < 0.70109 происходит бифуркация удвоения периода: представленныеоба модуль CWT и его максимумы (рис. 2.9, средняя и нижняя панели)68Рис. 2.12: Переход двух-периодического аттрактора к однопериодическому релакса­ционному. Вехняя панель: динамика потенциала при изменении интенсивности света,модуль вейвлет-преобразования (средняя панель) и соответствующие максимумы мо­дуля как функция медленно меняющейся интенсивности (нижняя панель)позволяют довольно подробно проанализировать данный процесс. Вид­но, что тут возникают два главных периода = 21.25 и = 42.5 ссопровождающими их пунктирными линиями, что указывает на релак­сационные свойства колебаний, как и было в предыдущем случае. Такжеможно увидеть, что второй максимум не возникает сразу, как видно изрис. 2.9, средняя панель, максимум = 21.25 расщепляется в точке < 0.70109.

Расщепление растет до устойчивых значений периода, соот­ветствующего устойчивой величине удвоенного периода. Такое поведениеуказывает на “мягкую” потерю устойчивости в бифуркационной точке.Сосуществование малого и удвоенного периодов сосуществует в оченьузком интервале 0.7008381 < < 0.70041.При интенсивности равной 0.70041 поведение системы приобретаетболее сложный характер: решение состоит из нерегулярных “прыжков”69Рис. 2.13:Финальный этап эволюции колбаний – релаксационные однопериодиче­ские колебания (верхняя панель), модуль их вейвлет-преобразования (средняя па­нель) и и соответствующие максимумы модуля как функция медленно меняющейсяинтенсивности (нижняя панель)между колебаниями с периодами = 21.25 и = 42.5, как показанона рис. 2.10, средняя и нижняя панели.

Такое поведение может соответ­ствовать хаотической перемежаемости. Дальнейшее уменьшение интен­сивности приводит к стабилизации колебаний, и при < 0.69904 полныйпериод разделяется на две периодические компоненты. Надо отметить,что характер движения носит релаксационный характер, на что указы­вает наличие множества точек максимумов внизу (см. рис. 2.10, нижняяпанель). По сравнению с рис. 2.9, средняя панель, они возникают благода­ря форме индивидуальных колебаний, характерной для крайне сильныхрелаксаторов, то есть с почти вертикальным графиком быстрой фазыколебания.Такой устойчивый двухпериодический аттрактор существует в до­вольно широком диапазоне параметра, см.

рис. 2.11, до значений =70Рис. 2.14: Фазовые портреты, соответствующие Рис. 2.7: трансмембранный потенци­ал vs. производная потенциала по времени (левая панель) и действительная часть vs.мнимой части модуля вейвлета, соответствующего максимальному периоду (праваяпанель).0.69445. Ниже этого значения происходит новая бифуркация: удвоенныйпериод исчезает, как показано на рис.2.12, средняя и нижняя панели.Анализ полного вейвлет-преобразования показывает, что этот переходосуществляется до величины = 0.69388.При дальнейшем понижении интенсивности до = 0, как показанона рис. 2.13-2.12, преобразование периодических паттернов происходитпостепенно: от гармонических до слабо релаксационных.

используя мак­симумы из рис. 2.12 (нижняя панель), и полную диаграмму из рис. 2.13(средняя панель), движение может быть охарактеризовано как почтигармонические колебания с двумя ведущими Фурье-компонентами.Анализ нелинейных динамических режимов, рассмотренных выше,может быть также проиллюстрирован сравнением фазовых портретовдинамики потенциала и вейвлетных компонент (рис. 2.14–2.20). В част­71Рис.

2.15: Фазовые портреты, соответствующие Рис. 2.8: трансмембранный потенци­ал vs. производная потенциала по времени (левая панель) и действительная часть vs.мнимой части модуля вейвлета, соответствующего максимальному периоду (праваяпанель).ности, на графиках изображены действительная часть вейвлет-преобра­зования как функция его комплексно-сопряженной части в шкале зна­чений, соответствующих максимумам определенным выше. Например,рис. 2.14 показывает интервал роста гармонических колебаний соответ­ствующему на рис.

2.7. Можно видеть, что фазовый портрет представля­˙ ) собой раскручивающующая эллипсоидальную спираль. Тает ((),()же самая картина наблюдается и для фазового портрета вейвлет-компо­нент. Полуоси обоих предельных эллипсов почти те же самые, различиятолько наблюдаются в центральной части, что объяснимо тем, что вей­влет преобразование “уничтожает” постоянную часть сигнала, то есть72Рис. 2.16: Фазовые портреты, соответствующие Рис. 2.9: трансмембранный потенци­ал vs. производная потенциала по времени (левая панель) и действительная часть vs.мнимой части модуля вейвлета, соответствующего максимальному периоду (праваяпанель).сдвигает абсциссу к нулю. Мнимая часть соответствует скорости ˙ , ко­торая есть первая производная, и она не сдвигается.Следующий момент, требующий обсуждения – это предельныйцикл, который также качественно воспроизводится см.

рис. 2.15. Здесьесть только количественные различия. Это связано с тем, что фазоваявейвлет-траектория, представленая на рис. 2.15 (правая панель) пока­зывает динамику только одной вейвлет-компоненты с фиксированнымпериодом. Это эквивалентно гармоническим колебаниям с тем же са­мым периодом, что и у релаксационных колебаний, где быстрые интер­валы движений соответствуют прямым линиям динамики потенциала нарис.

2.15 (левая панель). Как обсуждалось уже выше, быстрое движениеприводит к появлению спайков на диаграмме полного вейвлет-преобра­зования. Однако, анализируя фазовые портреты (рис. 2.15), можно уви­73Рис. 2.17:Фазовые портреты, соответствующие Рис. 2.10: трансмембранный потен­циал vs. производная потенциала по времени (левая панель) и действительная частьvs.

мнимой части модуля вейвлета, соответствующего максимальному периоду (пра­вая панель).деть, что они только влияют на форму и размер траектории, не меняяпри этом топологии. То же самое демонстрируют и последующие частианализируемого поведения. Изображая фазовые портреты вейвлетов, ис­пользуя двухпериодические слагаемые с периодами, соответствующимидвум главным максимумам модуля вейвлет-преобразования, как показа­но на рис. 2.9(нижняя панель), можно видеть, что качественные тополо­гические портреты динамики потенциала (рис.

2.16, левая) и вейвлет­генерируемых фазовых кривых(рис. 2.16, справа) совпадают с высокойстепенью точности. Оба портрета содержат три плотно намотанных цик­ла, разделенных областями с “редкими” траекториями. Надо отметить,что топология неоднородности хорошо совпадает как на вейвлетном, таки на истинном фазовых портретах.Типичен вид хаотического поведения представленного на соот­74Рис. 2.18:Фазовые портреты, соответствующие Рис.

2.11: трансмембранный потен­циал vs. производная потенциала по времени (левая панель) и действительная частьvs. мнимой части модуля вейвлета, соответствующего максимальному периоду (пра­вая панель).ветствующих фазовых портретах см. рис. 2.17, который есть аналогрис. 2.10. После стабилизации пережаемости, двухпериодические ре­лаксационные колебания, описанные на рис. 2.11, имеют типичныйвид: двухпетлевые фазовые кривые, представленные на рис.

2.18,˙ ) и (Re ((1 , ) + (2 , )),которые идентичны в обоих ((), ()−Im ((1 , ) + (2 , ))).“Мягкое исчезновение” удвоенного периода (Fig. 2.12) ясно пред­ставлено постепенным слипанием фазовых кривых на рис. 2.19. В ито­ге движение приобретает характер неэллиптического предельного цик­ла (рис. 2.20, левая панель). Вейвлет-преобразование показывает при­сутствие двух главных гармоник в колебаниях. Однако, высшая из нихвоздействует только на форму фазового портрета, здесь нет второй пет­ли, что приводит к заключению, что эта часть решения может быть75Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации