Диссертация (1137423), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Поскольку для любых xmcфункция V t (x) > 0, то поэтому является выпуклой неотрицательной функцией, причемее значение стремится к плюс бесконечности при γ → ±∞. Следовательно существуетединственная борелевская функция, определенная на N1 ×R+ , со значениями в R1 , обозначаемаяγ ∗t (x) такая, что mcmcinf1 V t (x (1 + a)) eγx|a| q ∗ + V t (x (1 + b)) e−γxb p∗ =(3.70)γ∈Rmcmc∗∗= V t (x (1 + a)) eγ t (x)x|a| q ∗ + V t (x (1 + b)) e−γ t (x)xb p∗ .Из (3.70) следует, что γ ∗t (x) имеет видmcγ ∗t1V t (x (1 + b))(x) =ln mc.x (b + |a|) V t (x (1 + a))(3.71)Рекуррентное соотношение (3.69), с учетом (3.70), (3.71), после элементарных преобразований,примет вид∗∗ V mc (x) = V mc (x (1 + a))q V mc (x (1 + b))pt−1tt V mc (x) |ϕ(x).t=N = et(3.72)mcОтсюда следует, что ln V t (x) удовлетворяет рекуррентному соотношению ln V mc (x) = q ∗ ln V mc (x (1 + a)) + p∗ ln V mc (x (1 + b))t−1tt ln V mc (x) |= ϕ (x) .t(3.73)t=NЛегко установить, что решение рекуррентного соотношения (3.73) в момент времени t имеетвид∗mcXtπ = ln V t (St ) = ΦN −t (St ) =N−tPϕ St (1 + a)i (1 + b)N −t−i CNi −t (q ∗ )i (p∗ )N −t−i ,(3.74)i=0которое совпадает с известной формулой, приведенной в [35], для капитала хеджирующего∗портфеля на биномиальном рынке, причем XNπ = ln V N (SN ) = ϕ (SN ).Из (3.71) и (3.74) следует, что количество рискового актива γ ∗t примет видγ ∗t =ΦN −t (St−1 (1 + b)) − ΦN −t (St−1 (1 + a)).St−1 (|a| + b)(3.75)87Поскольку относительно наихудшей меры для любого t ∈ N0 потребление Ct∗ = 0, то∗b π∗ .

Тогда из условия самофинансируемости количество безрисковогоочевидно, что Xtπ = Xtактива β ∗t в момент времени t ∈ N0 имеет видβ ∗t = ΦN −t+1 (St−1 ) −ΦN −t (St−1 (1 + b)) − ΦN −t (St−1 (1 + a)).|a| + b(3.76)Таким образом построен минимаксный хедж в задаче расчета европейского опциона сплатежным обязательством ϕ (SN ) на, описанном в пункте 3.4.1, неполном компактном (1, S)рынке (относительно меры Q∗ ).3.4.3 В данном пункте рассматривается задача расчета барьерногоопциона на, описанном 1, S ∈ ANв пункте 3.4.1, (1, S)-рынке с платежным обязательством 1A (SN ) ,, где A ⊂ 0, S ∈/AN1R −любое борелевское множество.ОбозначимVAt,NPSsup E exp 1A (SN ) −γ i Si−1 ρi |Ft .QinfNγNt+1 ∈Dt+1Q∈<cN,m(3.77)i=t+1Проводя рассуждения аналогичные проведенным в пункте 3.4.2. можно установить, что:AA1) V t = V t (St ) и удовлетворяет рекуррентному соотношению:hi A−γSt ρt+1S V t (St ) = inf E Q∗ V A|Ftt+1 (St+1 ) e1γ∈RAt(3.78)V (St ) |t=N = exp {1AN (SN )} .2) γ At имеет видAγAt1V (St−1 (1 + b))=ln At.St−1 (|a| + b) V (St−1 (1 + a))(3.79)tA3) ln V t (St ) удовлетворяет рекуррентному соотношениюAAAln V t (St ) = (1 − q ∗ ) ln V t+1 (St (1 + a)) + q ∗ ln V t+1 (St (1 + b)) .4) в момент времени t∈(3.80)N0 количество безрискового актива β Aудовлетворяетtрекуррентному соотношениюAAβAt = β t−1 − St−1 ∆γ t ,AβAt |t=0 = β 0 ,5) потребление CtA = 0,6) капитал XtπAпортфеля π A ,AβAt , γtt∈N0∈ SF в момент времени t ∈ N0 имеетвидAAXtπ = ln V t (St ) ,AAпричем XNπ = ln V N (SN ) = 1A (SN ).(3.81)88Основываясь на результатах пункта 3.4.2.

построим минимаксный хедж в задаче расчетабарьерного опциона. В данном случае платежным обязательством является индикатормножества A (SN ) , {ω ∈ Ω : SN ≤ λ}, где λ ∈ R+ любое. Для удобства изложения проведемλAλAAλλAππAλследующие переобозначения: V t , V t , γ λt , γ At , β t , β t , Ct , Ct , π , π , XN , XN .Пусть отображение ψ N : {0, ..., N } → R+ имеет видψ N (x) , S0 (1 + b)x (1 + a)N −x ,(3.82)x ∈ {0, ..., N }, S0 > 0−фиксировано.Очевидно, что для любых x ∈ R+ и S0 > 0 существует обратная функция, к функции ψ N (x),−1обозначаемая ψ −1N (λ), т.е.

ψ N (ψ N (x)) = x. Из (3.82) имеемx = ψ −1N (λ) = log 1+b1+aОбозначим ∆N =NXλS0 (1 + a)N.(3.83)1{ρi =b} . Из (3.82) и (3.83) следуют равенстваi=1ψ N (x) |x=∆N = S0 (1 + b)∆N (1 + a)N −∆N = SN ,(3.84)ψ −1N (SN ) = ∆N ,т.е. между случайными величинами SN и ∆N существует взаимно однозначное соответствие.Кроме того, случайная величина ∆N , относительно меры Q∗ , имеет биномиальноераспределение с параметром q ∗ = Q∗ (ρt = b) =|a||a|+b(1 − q ∗ = Q∗ (ρt = a) =b).|a|+bПоэтому,в силу (3.83) имеем:∗Q∗ (SN ≤ λ) = Q∗ (ψ N (∆N ) ≤ λ) = Q∗ ∆N ≤ ψ −1N (λ) = Q (∆N ≤ x) .(3.85)Пусть F∆∗ N (x) −функция распределения случайной величины ∆N относительно меры Q∗ , т.е.F∆∗ N (x) , Q∗ (∆N (ω) ≤ x).

Очевидно, что в данном случае существует x∗N (α) −квантиль уровняα, т.е.Q∗ (∆N (ω) > x∗N (α)) ≥ 1 − α.(3.86)Из (3.83)-(3.86) и непрерывности справа функции распределения F∆∗ N (x), следует, что найдется∗λ∗ (α) такое, что x∗N (α) = ψ −1N (λN (α)). Поэтому имеем∗∗∗Q∗ (∆N > x∗N (α)) = Q∗ ∆N > ψ −1N (λN (α)) = Q (ψ N (∆N ) > λN (α)) =(3.87)= Q∗ (SN > λ∗N (α)) = 1 − Q∗ (SN ≤ λ∗N (α)) = 1 − F∆∗ N (λ∗N (α)) .λТеперь мы можем привести явный вид стратегии γ λt+1 и капитала портфеля Xtπ . С учетомприведенных построений капитал XtπλXtπ∗ (α)=λ∗ (α)ΦN −t(St ) =λ∗ (α)N −tXi=01∗портфеля π λ(α)λ∗ (α)St <(1+a)N −t−i (1+b)iв момент времени t ∈ N0 имеет видCNi −t (1 − q ∗ )N −t−i (q ∗ )i ,(3.88)89λ∗ (α)количество рискового актива γ t+1 имеет видλ∗ (α)γtλ∗ (α)λ∗ (α)Φ(St−1 (1 + b)) − ΦN −t (St−1 (1 + a))= N −t,St−1 (|a| + b)λ∗ (α)количество безрискового актива β tλ∗ (α)βt=λ∗ (α)ΦN −t+1(3.89)в момент времени t ∈ N0 допускает представлениеλ∗ (α)λ∗ (α)Φ(St−1 (1 + b)) − ΦN −t (St−1 (1 + a)).(St−1 ) − N −t|a| + b(3.90)Таким образом мы построили решение в задаче расчета барьерного опциона с платежнымобязательством 1{ω∈Ω:SN ≤λ} на, описанном в пункте 3.4.1, (1, S)-рынке.Выводы по главе 3В данной главе решена задача минимаксного хеджирования европейского опциона намногомерном неполном рынке.

В ней установлены такие свойства наихудшей меры как:мартингальность, дискретность, единственность. Здесь также доказано, что относительнонаихудшей меры платежное обязательство допускает единственное S−представление. Крометого, предложен новый способ построения минимаксного хеджирующего портфеля и егокапитала. Установлены условия при выполнении которых исходный неполный рынок,относительно любой меры Q ∈ <N , становится полным относительно наихудшей меры.Построено минимаксное решение задачи расчета европейского опциона на одномерномконечном неполном рынке без трения. Установлены достаточные условия при выполнениикоторых эволюция стоимости рискового актива относительно наихудшей меры являетсямарковской.

Найдены: 1) явный вид переходной вероятности за один шаг стоимости рисковогоактива относительно наихудшей меры, 2) явный вид минимаксного хеджирующего портфеляи капитала, соответствующего данному портфелю. Построены новые примеры расчетаминимаксного хеджирующего портфеля европейского опциона на одномерном компактномрынке без трения.90ГЛАВА 4 Квантильное хеджирование европейского опциона на неполном рынке без тренияВведениеВо второй и третьей главах диссертации были установлены условия существованиясамофинансирующего суперхеджирующего портфеля с потреблением (глава 2) и минимаксногохеджирующего (глава 3) портфелей в задаче расчета европейского опциона на неполном рынкебез трения. Отметим, что стоимость опциона при использовании таких портфелей совпадаетс верхней границей спрэда [35] и поэтому является "высокой". Если предположить, чтоплатежное обязательство исполняется с вероятностью меньшей единицы, то следует ожидать,что стоимость такого опциона уменьшится поскольку владелец опциона берет «часть» рисков«на себя».

Следовательно, возникает вопрос: на сколько уменьшиться цена опциона в случаеесли платежное обязательство исполняется с вероятностью меньшей единицы. Задача расчетаевропейского опциона, когда платежное обязательство исполняется с вероятностью меньшейединице, рассматривалась в [18], [20], [21], [22], [30], [50], [52], [60], [61], [73] и ряде другихработ. Такую задачу называют задачей расчета европейского опциона на неполном рынке сквантильным критерием [30], [50], [60], [73].Данная глава посвящена решению задачи расчета европейского опциона с квантильнымкритерием на неполном рынке без трения с дискретным временем.

В ней устанавливается, чтоданная задача может быть сведена к решению двух задач построения самофинансирующего(минимаксного) портфеля с потреблением европейского опциона, которые рассматриваются наодном и том же рынке. Первая – это задача построения самофинансирующего (минимаксного)портфеля с потреблением европейского опциона на многомерном неполном рынке с заданным(исходным) платежным обязательством.

Вторая – это задача построения самофинансирующего(минимаксного) портфеля с потреблением некоторого барьерного опциона.В разделе 4.1, основываясь на утверждениях теорем 2.3 и 3.9, приводятся условиясуществования и методы расчета самофинансирующего и минимаксного портфелей спотреблением барьерного опциона на неполном рынке. Кроме того, находятся капиталы этихпортфелей, а также их стоимость.Раздел4.2посвященрешениюзадачиквантильногохеджированияевропейскогоопциона на многомерном неполном рынке без трения с дискретным временем. В этом91разделе формулируется задача построения самофинансирующего портфеля с потреблениемевропейского опциона с квантильным критерием, а также устанавливаются условиясуществования решения этой задачи.

Кроме того, здесь приводятся формулы, которыеустанавливают вид квантильного суперхеджирующего портфеля, его капитала и стоимостьопциона.В разделе 4.3 формулируется задача минимаксного хеджирования европейского опционас квантильным критерием на неполном рынке без трения. В этом параграфе такжеустанавливаются условия существования минимаксного хеджирующего портфеля в задачерасчета европейского опциона с квантильным критерием, а также приводятся формулы,которые описывают минимаксный квантильный портфель, его капитал и стоимость опциона.В разделе 4.4 приводятся примеры решения задачи расчета европейского опциона сквантильныи критерием на конечном неполном рынке относительно любой меры из классаэквивалентных, а также относительно наихудшей меры.4.1 Минимаксный самофинансирующий портфель с потреблением барьерного опциона нанеполном многомерном рынке без тренияДляпостроениярешениязадачиквантильногохеджированиянампонадобитсядать описание двух портфелей: самофинансирующего с потреблением и минимаксногохеджирующего для барьерного опциона на неполном 1, S (1) , ..., S (d) −рынке когда d−мернаяпоследовательность является семимартингалом.

Решению этих двух задач посвящен этотпараграф.4.1.1 В этом пункте, основываясь на результатах главы 2, приводится решение задачипостроения самофинансирующего портфеля с потреблением для барьерного опциона намногомерном неполном рынке без трения, которое приводится для удобства формулировок,приводимых в дальнейшем утверждений.Пусть имеется 1, S (1) , ..., S (d) −рынок, описание которого приведено в разделе 2.1, аплатежное обязательство имеет вид1AN 1,(ω) , 0,ω ∈ ANω∈/ AN,(4.1)92где AN (ω) −любое FN -измеримое множество.

ОбозначимNPAQS(γ i , ∆Si ) |Ft .V t , essinf esssup E exp 1AN (ω) −NγNt+1 ∈D1Q∈<N(4.2)i=t+1Очевидно, что для данного платежного обязательства выполнены все условия теоремы 2.3.n AoСледовательно V t , FtSудовлетворяет рекуррентному соотношениюt∈N1h AiA V t = essinf esssup E Q V t+1 e−(γ,∆St+1 ) |FtSγ∈D1+1Q∈<N(4.3) V A |t=N = exp {1A (ω)} ;tNИз утверждений теоремы 2.3 следует, что на 1, S (1) , ..., S (d) −рынке существует решениезадачи расчета европейского опциона относительно любоймерыQ ∈ <N с платежнымобязательством вида (4.1), т.е. существует минимальный совершенный самофинансирующийпортфель с потреблением π A , C A такой, что: AA−самофинансирующийпортфель,гдеγ t t∈N1 ∈ D1N −допустимая,,γi) π A = β At t∈N1tпредсказуемая последовательность, определяемая равенством P −п.н.h Ah Ai i−(γ t+1 ,∆St+1 )QQ−(γ,∆S)SSt+1 essinf esssup E V t+1 e|Ft = esssup E V t+1 e|Ftγ∈D1+1Q∈<NQ∈<Nγ t+1 =γ At+1, V A |t=N = exp {1A (ω)}tN(4.4)Aа βtt∈N0−удовлетворяет рекуррентному соотношению Q−п.н. ∆β A + S , ∆γ A = 0t−1tt, β A| = β At t=0(4.5)0AAпричем β A0 = ln V 0 (которое находится из рекуррентного соотношения (4.3)), а γ 0 = 0;ii) капитал портфеля π A для любого t ∈ N0 имеет видAAXtπ = β At + γ t , StQ − п.н.;(4.6)iii) в любой момент времени t ∈ N0 потребление, обозначаемое CtA , допускает представлениеотносительно любой меры Q ∈ <N ∆C A = γ A , ∆S − ∆ ln V A ≥ 0 Q − п.н.tttt C A | = 0,(4.7)t t=0btπA , XtπA − CtA самофинансирующего портфеляiv) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N капитал Xс потреблением π A , C A допускает представлениеb πA = ln V AXttQ − п.н.,(4.8)93Aгде V t удовлетворяет рекуррентному соотношению (4.3)), причемtPAbtπA = ln V A,∆S− CtA+γXii0Q − п.н.;(4.9)i=1v) самофинансирующий портфель с потреблением π A , C A является совершенным, т.е.b πA = 1A (ω)XNNvi)портфельсπA, C AпотреблениемQ − п.н.;(4.10)являетсяминимальнымсовершеннымсамофинансирующим портфелем с потреблением.Замечание 26.

Характеристики

Список файлов диссертации