Диссертация (1137423), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

для любого t ∈ N1выполняется равенство Q-п.н.∆β αt + (St−1 , ∆γ αt ) = 0.Действительно, из (4.14), (4.15) и определений β αt , γ αt имеем для любого t ∈ N0∆β αt + (St−1 , ∆γ αt ) = β αt − β αt−1 + (St−1 , γ αt ) − St−1 , γ αt−1 =(4.26)98A∗∗A∗A= β ∗t − cβ At − β t−1 − cβ t−1 + St−1 , γ t − cγ t − St−1 , γ t−1 − cγ t−1 =∗A∗A= ∆β ∗t − c∆β At + (St−1 , γ t ) − c St−1 , γ t − St−1 , γ t−1 + c St−1 , γ t−1 =A= ∆β ∗t + (St−1 , ∆γ ∗t ) − c ∆β At + St−1 , ∆γ tУчитывая в последнем равенстве, что портфели π ∗ и π A -самофинасирующие получаем (4.26).Осталось убедиться в том, что портфель с ограниченной вариацией (π α , χα ) являетсяквантильным хеджирующим портфелем уровня 1−α.

Действительно, из утверждения теоремы2.3 и (4.22) при t = N имеем(π α ,χα )XNb π ∗ − cXb πA ,=XNNb π∗ −капитал совершенного самофинансирующего портфеля с потреблением европейскогогде XNb π∗ = fN (S• ) P −п.н., а Xb πA −капиталопциона с платежным обязательством fN (S• ), т.е. XNNb πA =совершенного самофинансирующего портфеля с потреблением барьерного опциона, т.е.

XN1AN (ω) P −п.н. Поэтому последнее равенство примет вид(π α ,χα )XN− fN (S• ) = −c1AN (ω) .(4.27)Из (4.27) следуют равенства:nω∈Ω:(π α ,χα )XNo− fN (S• ) ≥ 0 = {ω ∈ Ω : −c1AN (ω) ≥ 0} = {ω ∈ Ω : 1AN (ω) ≤ 0}(= {ω ∈ Ω :1AN (ω) = 0} =ω∈Ω:N \d \(j)Si(j)≥ λi).(4.28)i=1 j=1Поэтому, в силу условия теоремы, из (4.28), относительно любой меры Q ∈ <N , имеем(N d)ono\ \ n (j)(j)(π α ,χα )≥ 1 − α.Q XN− fN (S• ) ≥ 0 = QSi ≥ λii=1 j=1Доказательство закончено.Замечания 28. 1) Из утверждения теоремы 4.1 следует, что решение задачи расчетаевропейского опциона с квантильным критерием уровня (1 − α) относительно любой мерыQ ∈ <N сводится к построению двух самофинансирующих портфелей с потреблением для двухевропейских опционов на одном и том же рынке, у одного из них платежное обязательствоfN (S• ), а у второго оно соответствует барьерному опциону, причем величина барьера совпадаетсо значением квантиля меры Q ∈ <N .2) В отличие от работы [30] теорема 4.1: i) устанавливает условия существованияквантильного суперхеджирующего портфеля уровня 1 − α на многомерном неполном рынке, ii)позволяет построить вышеуказанный портфель, а также вычислить в любой момент времениего капитал (смотри формулы (4.19), (4.22)),993) утверждение теоремы 4.1 не следует из работ [26], [30], а ее доказательство не опираетсяи не использует идей этих работ.4.3 Квантильное минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке безтренияВ данном разделе определяется, что следует понимать под решением задачи минимаксногоквантильного хеджирования европейского опциона на многомерном неполном рынке без тренияи устанавливаются условия существования такого решения.4.3.1 В данном пункте приводится определение квантильного минимаксного решения задачирасчета европейского опциона на многомерном неполном рынке.Определение.

Квантильным минимаксным решением задачи расчета европейскогоопциона уровня 1−α на многомерном неполном рынке без трения c платежным обязательствомαfN (S• ) назовем триплет X0π , π α , Q∗ , где портфель π α ∈ SF , Q∗ −наихудшая мера такие, чтоαдля капитала XNπ портфеля π α , справедливо неравенствоαQ∗ XNπ ≥ fN (S• ) ≥ 1 − α,(4.29)где α ∈ (0, 1). Портфель π α назовем минимаксным квантильным уровня 1 − α.Замечание 29.

Из утверждения теоремы 3.6 (главы 3) следует, что исходныйнеполный 1, S (1) , ..., S (d) −рынок является Q∗ −полным, где Q∗ −наихудшая мера, аплатежное обязательство допускает S−представление. Поэтому для построения квантильногоминимаксного решения задачи расчета европейского опциона уровня (1 − α) на Q∗ −полном1, S (1) , ..., S (d) −рынке достаточно доказать существование портфеля π α такого, что выполнено(4.29).4.3.2Вданномпунктеприводятсяусловия,выполнениекоторыхобеспечиваетсуществование квантильного минимаксного портфеля уровня 1 − α относительно меры Q∗ .Теорема 4.2.

Пусть выполнены условия теоремы 3.6 и для любого α ∈ (0, 1) найдутся!N \d \(j)(j)(j)λi ∈ R+ , j = 1, d, i ∈ N0 такие, что справедливо неравенство Q∗Si ≥ λi≥ 1 − α,i=1 j=1где Q∗ −наихудшая мера. Тогда для любого ограниченного платежного обязательства fN (S• )существует квантильное минимаксное решение задачи расчета европейского опциона уровня1 − α, т.е.:1001) самофинансирующий портфель π α{β αt , γ αt }t∈N0 , где {γ αt }t∈N0 -предсказуемая=последовательность элементы которой допускают представлениеγ αt = γ ∗t − cγ At ,αNгдеγ ∗t , γ At ∈ D1 удовлетворяют (1.29) и (4.4), соответственно, а {β t }t∈N0 -последовательность,элементы которой допускают представлениеβ αt = β ∗t − cβ At ,где β ∗t , β At -удовлетворяют (2.7) и (4.5), соответственно;α2) для любого t ∈ N0 капитал портфеля π α , обозначаемый Xtπ , имеет видαXtπ = β αt + (γ αt , St )Q∗ − п.н.,αпри этом для начального капитала X0π справедливо неравенствоαX0π ≥ c (1 − α) ,3) портфель π α является квантильным минимаксным уровня 1 − α, т.е.αQ∗ XNπ ≥ fN (S• ) ≥ 1 − α.Замечание 30.

Утверждение теоремы 4.2 является новым.4.3.3 Доказательство теоремы 4.2. Заметим сначала, что из утверждения теоремы 3.2следует, что относительно наихудшей меры Q∗ потребления Ct∗ и CtA −тривиальны.Доказательство пунктов 1) и 2) теоремы 4.2 почти дословно повторяет доказательствотеоремы 4.1 с той лишь разницей, что относительно наихудшей меры Q∗ потребления Ct∗ =CtA = 0 для любого t ∈ N0 .

Поэтому для доказательства теоремы остается проверить, чтопортфель π α является минимаксным квантильным уровня 1 − α, т.е. выполнено неравенство(4.29).Действительно, из доказательства теоремы 4.1 (смотри равенства (4.28)) следует, что(ω∈Ω:παXN− fN (S• ) ≥ 0 =N \d \ω∈Ω:(j)Si(j)≥ λii=1 j=1Из (4.30), в силу условий теоремы, имеем αQ∗ XNπ − fN (S• ) ≥ 0 = Q∗(N d\\i=1 j=1(j)Si(j)≥ λi)≥ 1 − α.).(4.30)101Кроме того, из доказательства теоремы 4.1 следует равенство(π α )X0A∗A= X0π − cX0π = c 1 − ln V 0 .(4.31)Тогда, в силу условия теоремы, имеемln VA0=EQ∗N \d \1AN (ω) = 1 − Q∗(j)Si≥(j)λi!≤α(4.32)i=1 j=1Отсюда, в силу (4.31) и (4.32), имеемαX0π= c 1 − ln VA0≥ c (1 − α) .Доказательство закончено.4.4 Примеры расчета европейского опциона на неполном одномерном рынке без тренияВ данном разделе приводятся два примера расчета квантильного хеджирующего иминимаксного хеджирующего портфелей, соответственно, для европейского опциона наодномерном (1, S)-рынке.4.4.1Пример 1.Вданномпунктеприводитсяпримерпостроенияквантильногосамофинансирующего портфеля с ограниченной вариацией уровня 1 − α в задаче расчетаевропейского опциона на одномерном неполном (1, S)−рынке, описание которого приведено впункте 2.5.1.

Предположим, что одно платежное обязательство имеет вид g(SN ), где g : R+ →R+ −борелевская ограниченная функция. Пусть AN = {ω ∈ Ω : SN ≤ λ}, где ∀λ ∈ R+ . Положим,что второе платежное обязательство для барьерного опциона имеет вид 1A (ω) = 1{SN <λ} ,причем для любой Q ∈ <N существует λ (α) такое, что Q (SN < λ (α)) ≤ α.

Из утверждениятеоремы 4.1 следует, что определен портфель π α = {β αt , γ αt }t∈N0 такой, что для любого t ∈ N0β αt = β ∗t − cβ λt ,γ αt = γ ∗t − cγ λt ,(4.33)где β ∗t и β λt удовлетворяют (2.39) и (2.49), соответственно, а γ ∗t и γ λt удовлетворяют (2.35) и(2.55), соответственно, c = ln V 0 , причем V 0 находится из рекуррентного соотношения (2.38).αИз (4.33) следует, что для любого t ∈ N0 капитал Xtπ портфеля π α допускает представлениеα∗λXtπ = Xtπ − cXtπ ,102∗λгде Xtπ −капитал портфеля π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N0 в момент времени t ∈ N0 , Xtπ −капитал портфеляπ λ = β λt , γ λt t∈N0 в момент времени t ∈ N0 .Из утверждения теоремы 4.1.

следует, что существует процесс ограниченной вариациикоторый имеет видχαt = Ct∗ − cCtλ ,(4.34)где Ct∗ и Ctλ удовлетворяют рекуррентным соотношениям (2.40) и (2.50), соответственно. При(π α ,χα )этом капитал Xtпортфеля с ограниченной вариацией (π α , χα ) имеет вид:(π α ,χα )Xtλ= ln V t − c ln V t .(4.35)(π α ,χα )Из (4.35) и утверждения теоремы 4.1 следует, что начальный капитал X0портфеля сограниченной вариацией (π α , χα ) допускает представление:(π α ,χα )X0λ0= ln V 0 − c ln V = c 1 − ln V= c 1{S0 ≥λ} −N Xi=1bb + |a|λ0=!i1λ≤S0 < λ i(1+a)i−1(1+a).Из утверждения теоремы 4.1 следует, что портфель, определяемый (4.33) являетсяквантильным хеджирующим уровня 1 − α, т.е.(π α ,χα )Q XN≥ g (SN ) ≥ 1 − α.Рассмотрим отдельно два частных случая этого примера.Случай 1. Пусть функция g(x) - выпуклая.

Тогда, из (2.45), (2.46), (2.55), (2.58), (4.33), (4.34)имеем:1)γ αt = γ ∗t − cγ λt ="N −th X1=CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i g St−1 (1 + a)i (1 + b)N −t−i+1 −St−1 (|a| + b) i=0i−g St−1 (1 + a)i+1 (1 + b)N −t−i −−c(N −tX!∗ i(p )i=11λλ≤St−1 <(1+b)(1+a)i−1(1+b)(1+a)i− 1λλ≤St−1 <(1+a)i(1+a)i+1)#− 1{λλ≤St−1 < 1+a1+b},2) количество безрискового актива β αt в любой момент времени t ∈ N0 удовлетворяетрекуррентному соотношению β α = β α − S ∆γ αt−1tt−1t β α| = β αt t=0παгде β α0 = X0 , а γ α0 = 0,01033)NXiN −ig S0 (1 + a) (1 + b)CNi (p∗ )i (q ∗ )N −i ,c = ln V 0 (S0 ) =i=04) процесс ограниченной вариации χαt удовлетворяет рекуррентному соотношению∆χαt = ∆Ct∗ − c∆Ctλ ==ρt×|a| + b"N −th Xn×CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i g St−1 (1 + a)i (1 + b)N −t−i+1 −i=0io−g St−1 (1 + a)i+1 (1 + b)N −t−i+("1{ λ ≤St−1 < λ } −1+b1+a+cN −tX!#)#(p∗ )i 1i=1λλ≤St−1 <(1+b)(1+a)i−1(1+b)(1+a)iN −(t−1)+c 1{St−1 <λ} − 1{St <λ} +X(p∗ )i 1i=1λ≤St−1 < λ i(1+a)i−1(1+a)−− 1N −tX+λλ≤St−1 <(1+a)i(1+a)i+1(p∗ )i 1i=1λ≤St < λ i(1+a)i−1(1+a)−N −t X−g St−1 (1 + ρt ) (1 + a)i (1 + b)N −t−i CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i +i=0+NX−t+1g St−1 (1 + a)i (1 + b)N −t−i+1 CNi −t+1 (p∗ )i (q ∗ )N −t−i+1 ,χαt |t=0 = 0.i=0(π α ,χα )5) капитал Xtпортфеля с ограниченной вариацией (π α , χα ) имеет вид(π α ,χα )Xt=λ= ln V t (St ) − c ln V t (St ) =N −t Xg St (1 + a)i (1 + b)N −t−i CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i −i=0"−c 1{St <λ} +N −tX#∗ i(p ) 1i=1λ≤St < λ i(1+a)i−1(1+a)(π α ,χα )Случай 2.

Пусть функция g(x) - вогнутая. Тогда начальный капитал X0портфеля сограниченной вариацией (π α , χα ) допускает представление(π α ,χα )X0αλ= X0π = c 1 − ln V 0 (S0 ) ="= g (S0 ) 1{S0 ≥λ} −N Xi=1bb + |a|#i1λ≤S0 < λ i(1+a)i−1(1+a),квантильный суперхеджирующий портфель π α = {β αt , γ αt }t∈N0 для любого t ∈ N0 имеет вид104β αt = −cβ λt ,γ αt = −cγ λt ,где β λt −удовлетворяет (2.56), γ λt −удовлетворяет (2.55). При этом процесс ограниченнойвариацииχαt = −cCtλ ,где Ctλ удовлетворяет рекуррентному соотношению (2.58).4.4.2 Пример 2.

В данном пункте мы построим минимаксный квантильный портфель уровня1−α в задаче расчета европейского опциона с платежным обязательством ϕ (SN ) на компактном(1, S) −рынке, описание которого приведено в пункте 3.4.1.Определим, для любого t ∈ N0 , портфель π α = {β αt , γ αt }t∈N0 следующим образомλ∗ (α)β αt = β ∗t − cβ tλ∗ (α)где β ∗t и β tλ∗ (α)γ αt = γ ∗t − cγ t,,(4.36)λ∗ (α)удовлетворяют (3.76) и (3.90), соответственно, а γ ∗t и γ tудовлетворяют (3.75)и (3.89), соответственно.Тогда из результатов пунктов 2.2, 2.3 и (4.36) следует, что для любого t ∈ N0 капитал Xtπαпортфеля π α равенα∗Xtπ = Xtπ − cXtπλ∗ (α)λ∗ (α)= ln V t − c ln V t.В силу утверждения теоремы 4.2 портфель π α , определяемый (4.36), является минимакснымквантильным уровня 1 − α.Тогда из (3.74)-(3.76), (3.88)-(3.90), (4.36) следует, что:α1) капитал Xtπ портфеля в момент времени t ∈ N0 имеет видλ∗ (α)αXtπ , ΦαN −t (St ) = ΦN −t (St ) − cΦN −t (St ) ==N −tX"#ϕ St (1 + a)N −t−i (1 + b)i − c1i=0St <λ∗ (α)(1+a)N −t−i (1+b)iCNi −t (1 − q ∗ )N −t−i (q ∗ )i ,гдеc = X0∗ = ln V 0 (S0 ) = ΦN (S0 ) =N h iXϕ S0 (1 + a)N −i (1 + b)i CNi (1 − q ∗ )N −i (q ∗ )i ,i=02) количество рискового актива γ αt в момент времени t ∈ N0 имеет видγ αt =ΦαN −t (St−1 (1 + b)) − ΦαN −t (St−1 (1 + a)).St−1 (|a| + b)3) количество безрискового актива β αt в момент времени t ∈ N0 допускает представлениеβ αt = ΦαN −t+1 (St−1 ) −ΦαN −t (St−1 (1 + b)) − ΦαN −t (St−1 (1 + a)).|a| + b105Таким образом мы построили решение задачи расчета европейского опциона с квантильнымкритерием уровня 1-α относительно наихудшей меры на компактном (1, S)-рынке.Выводы по главе 4В данной главе описаны и обоснованы способы построения квантильного хеджирующегои минимаксного квантильного портфелей уровня 1 − α в задаче расчета европейскогоопциона на неполном рынке.

Характеристики

Список файлов диссертации