Диссертация (1137423), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Очевидно, что множество (ρ<N,l ) 6= ∅. Для любоймеры Q ∈ (ρ<N,l ) обозначим qi , Q (ρt = ai ).∈Условия (ρ<N,l ): Относительно любой меры Q(ρ<N,l ) случайные величины{ρt }t∈N1 −независимы в совокупности и одинаково распределены;Известно [35], что в данном случае существует производная Радона-Никодима вероятностноймеры Q относительно вероятностной меры P и имеет видlQdQ(ρ , ..., ρN ) =dP 1j=1qjpjNPt=11{ρt =aj }.Очевидно, что множество ρ<N,l −выпуклое, слабо относительно компактное множество (см.[5]).Пусть ϕ : R+ → R1 −ограниченная, борелевская функция, обозначаемая через ϕ (x).Положим, что платежное обязательство имеет вид ϕ (x) |x=SN = ϕ (SN ) .3.3.3 В данном пункте решается задача построения минимаксного хеджирующего портфеляевропейского опциона с горизонтом N и платежным обязательством ϕ (SN ) на описанном в75пункте 3.3.1 неполном конечном (1, S) −рынке. Очевидно, что в данном случае справедливы всеутверждения теорем 3.1-3.9. Поэтому существует вероятностная мера Q∗m относительно которойрассматриваемый (1, S) −рынок является наихудшим полным.

Отметим, что из утвержденийэтих теорем не следует явный вид переходных вероятностей за один шаг последовательности(St , Ft )t∈N0 относительно меры Q∗ . Поэтому с помощью рекуррентного соотношения (1.7)(учитывая при этом выше сделанные предположения) найдем явный вид этих переходныхвероятностей, а также построим минимаксный хеджирующий портфель.3.3.4 В данном пункте в рекуррентном соотношении (1.7) учтем все выше сделанныепредположения и замечания.mЧерез V t обозначим FtS −измеримую случайную величинуNPmSQγ i ∆Si |Ft .Vt ,infsup E exp ϕ (SN ) −NγNt+1 ∈Dt+1 Q∈ρ<N,l(3.28)i=t+1Проводя рассуждения аналогичные тем, что мы проводили при доказательстве теоремы 1.1 mлегко установить, что, в данном случае, последовательность V t , FtS t∈N1 удовлетворяетрекуррентному соотношениюm V t−1 = infγ∈Dt mSsup E Q V t e−γSt−1 ρt |Ft−1Q∈ρ<N,l(3.29) V m|ϕ(SN ).t t=N = eОсновным содержанием данного пункта является доказательство следующего утверждения.Теорема 3.10.

Пусть выполнены условия (ρ) и (ρ<N,l ). Пусть последовательностьSt , FtS t∈N0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (3.26). Пусть ϕ (x) −ограниченнаяmфункция, а V tудовлетворяет рекуррентному соотношению (3.29). Тогда справедливыследующие утверждения:1) для любого t ∈ N1 множество Dt = R1 ,2) существует борелевская функция определенная на N0 × R+ со значениями в R+ ,mmобозначаемая V t (x), такая, что для любого t ∈ N0 P −п.н. имеет место равенство V t =mmV t (x) |x=St и для любых t ∈ N1 и x ∈ R+ функция V t (x) удовлетворяет рекуррентномусоотношению lP mm−γxaiV t−1 (x) = inf1supV t (x (1 + ai )) eqiγ∈Ri=10 ≤ qi ≤ 1, i = 1, l,lPqi = 1i=1 V m|= eϕ(x) ,tmt=Nт.е. V t −марковская случайная функция.(3.30)76Доказательство теоремы 3.10.

1) Установим сначала, что для любого t ∈ N1 множествоDt = R1 . Для этого достаточно доказать, что для любых t ∈ N1 и γ ∈ R1 mSsup E Q V t e−γSt−1 ρt |Ft−1< ∞ P − п.н.(3.31)Q∈ρ<N,lСначала заметим, что если sup |ϕ (x)| ≤ c3 , где c3 > 0−константа, то для любого t ∈ N0x∈R1справедливо неравенствоm0 ≤ V t ≤ ec3 .(3.32)Справедливость неравенства (3.32) устанавливается точно также как это мы делали придоказательстве теоремы 1.3. Поэтому обоснование неравенства (3.32) не приводим. Из (3.26)следует, что для любого t ∈ N0 случайная величина St допускает представлениеS t = S0tQ(1 + ρi ) .(3.33)i=1Обозначим Ftρ , σ {ρ1 , ..., ρt }.

Из (3.33) следует, что для любого t ∈ N1 имеет место равенствоFtS = Ftρ . Кроме того, из (3.26), (3.33) и из условий (ρ) следует, что для любого t ∈ N0существует константа c4 > 0 такая, что0 < St ≤ c2 (1 + al )t ≤ c4 .(3.34) mSРассмотрим E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1, где любые t ∈ N1 , Q ∈ <dN,m и γ ∈ Dt . B силу леммыДынкина-Евстигнеева [14] имеем m mSS0 ≤ E Q V t e−γSt−1 ρt |Ft−1= E Q V t e−γxρt |Ft−1.x=St−1(3.35)Отсюда, в силу неравенства (3.32), независимости в совокупности семейства случайных величин{ρt }t∈N1 относительно любой меры Q ∈ ρ<N,l и условия (ρ), для любых t ∈ N1 , x, γ ∈ R1 имеемнеравенства mSSE Q V t e−γxρt |Ft−1≤ ec3 E Q e−γxρt |Ft−1== ec3 E Q e−γxρt = ec3lP(3.36)e−γxai qi ≤ ec3 e−γxa1 < ∞.i=1Таким образом неравенство (3.31) установлено.Поскольку неравенство (3.36) выполнено для любого γ ∈ R1 , то из условий (ρ) для любогоγ ∈ R1 следует неравенство (3.31).

Из (3.36) также следует, что для любого t ∈ N1 справедливоDt = R1 .m2) Покажем, что для любого t ∈ N0 функция V t −марковская случайная. Значитнадо доказать, что существует борелевская функция на N0 × R+ со значениями в R+ ,mmmобозначаемая V t (x) такая, что для любого t ∈ N1 справедливо равенство V t = V t (x) |x=St .Для доказательства этого утверждения нам понадобиться ряд дополнительных построений.77mПоскольку V t − FtS -измеримая функция, то в силу теоремы Бореля для любого t ∈ N0t+1существует борелевская функция, определенная на (R+ )со значениями в R+ , обозначаемаяVet (x0 , ..., xt ), где xi ∈ R+ , i = 0, t, такая, чтоmV t = Vet (x0 , ..., xt ) xi =Si i=0,t .Поэтому, для любых t ∈ N1 , Q ∈ ρ<N,l и γ ∈ Dt , в силу (3.26), леммы Дынкина-Евстигнеева иусловий (ρ) имеем равенстваhi mSSE Q V t e−γSt−1 ρt |Ft−1= E Q Vet (S0 , ..., St−1 , St ) e−γSt−1 ρt |Ft−1=hiS= E Q Vet (S0 , ..., St−1 , St−1 (1 + ρt )) e−γSt−1 ρt |Ft−1=hiS== E Q Vet (x0 , ..., xt−1 , xt−1 (1 + ρt )) e−γxt−1 ρt |Ft−1xi =Sii=0,t−1hi= E Q Vet (x0 , ..., xt−1 , xt−1 (1 + ρt )) e−γxt−1 ρt =xi =SilP−γxt−1 ai e=Vt (x0 , ..., xt−1 , xt−1 (1 + ai )) eqi i=1=i=0,t−1=xi =Sii=0,t−1lPVet (S0 , ..., St−1 , St−1 (1 + ai )) e−γSt−1 ai qi .(3.37)i=1Из (3.37) следует, что для любых t ∈ N1 , γ ∈ Dt справедливо равенство mSsup E Q V t e−γSt−1 ρt |Ft−1=(3.38)Q∈ρ<N,l=8>>>><>>>>:sup0 < qi ≤ 1, i = 1, l,lPqi = 19>>>>=lPVet (S0 , ..., St−1 , St−1 (1 + ai )) e−γSt−1 ai qi .i=1>>>>;i=1Поэтому (3.29), в силу сделанных выше замечаний, с учетом (3.38) примет видVet (S0 , ..., St−1 ) = inf1γ∈R8>>>><>>>>:sup0 < qi ≤ 1, i = 1, l,lPqi = 19>>>>=lPVet (S0 , ..., St−1 , St−1 (1 + ai )) e−γSt−1 ai qi .

(3.39)i=1>>>>;i=1mДокажем теперь, что из (3.39) следует, что V t −марковская случайная функция. Сначалаустановим, что для любого t ∈ N0 существует на R+ борелевская функция со значениямиmmmв R+ обозначаемая V t (x), причем V t (St ) , V t (x) |x=St удовлетворяет рекуррентномусоотношению (3.39). Доказательство этого утверждения проведем методом индукции "назад".mПоскольку V t |t=N = eϕ(SN ) , то при t = N утверждение индукции выполнено. Предположим,78mmmmчто V t = V t (St ) и докажем, что V t−1 = V t−1 (St−1 ).

Из рекуррентного соотношения (3.39),имеемmV t−1 = inf1γ∈R8>>>><>>>>:lPsup0 < qi ≤ 1, i = 1, l,lPqi = 19>>>>=mV t (St−1 (1 + ai )) e−γSt−1 ai qi .(3.40)i=1>>>>;i=1Поскольку правая часть (3.40) измерима относительно σ−алгебры, порожденной случайнойвеличиной St−1 , обозначаемой σ {St−1 }, то и левая часть (3.40) также измерима относительноmσ−алгебры σ {St−1 }. Стало быть V t −марковская случайная функция. Следовательно,рекуррентное соотношение (3.40) примет вид (3.30). Доказательство закончено.3.3.5 В данном пункте устанавливается условия при выполнении которых в рекуррентномсоотношении (3.30) "внутренний"супремум и "внешний"инфимум достигаются. Попутноустановим некоторые свойства последовательности {St }t∈N0 относительно меры Q∗ .Теорема 3.11.

Пусть выполнены условия теоремы 3.10. Тогда справедливы следующиеутверждения.m1) Для любых t ∈ N1 , x ∈ R+ борелевская функция ln V t (x) удовлетворяет рекуррентномусоотношениюm ln V mt−1 (x) = inf1 max ln V t (x (1 + ai )) − γxaiγ∈R 1≤i≤lln Vmt(3.41)(x) |t=N = ϕ (x) .2) Для любых t ∈ N1 и x ∈ R+ существуют отображения i∗ : N1 × R+ → {1, ..., l}; j ∗ :N1 × R+ → {1, ..., l} и γ ∗ : N1 × R+ → R1 , обозначаемые, соответственно, i∗t (x), jt∗ (x), γ ∗t (x),такие, чтоmminf1 max ln V t (x (1 + ai )) − γxai = ln V t x 1 + ai∗t (x) − γ ∗t (x) xai∗t (x) =γ∈R 1≤i≤lm= ln V t x 1 + ajt∗ (x) − γ ∗t (x) xajt∗ (x) ,(3.42)причем:а) −1 < ai∗t (x) < 0, 0 < ajt∗ (x) < ∞,б) γ ∗t (x) имеет видγ ∗tmV t x 1 + ajt∗ (x)1 ln m .(x) =x ai∗t (x) + ajt∗ (x)V t x 1 + ai∗t (x)3) Рекуррентное соотношение (3.41) допускает представление ln V m (x) = (1 − q ∗ (x)) ln V m x 1 + a ∗ + q ∗ (x) ln V m x 1 + a ∗ it (x)jt (x)tt−1ttt ln V m (x) |= ϕ (x) ,tгде(3.43)(3.44)t=Nai∗ (x) tqt∗ (x) = .ai∗ (x) + aj ∗ (x)tt(3.45)794) Существует единственная вероятностная мера Q∗m относительно которой: i) марковскаяmслучайная функция ln V t (St ) , FtS t∈N0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (3.44),ii) последовательность St , FtS t∈N0 , удовлетворяющая рекуррентному соотношению (3.26),является неоднородной марковской цепью, причем при каждом t ∈ N1 случайная величинаρt принимает два значения −1 < ai∗t (St−1 ) < 0 и 0 < ajt∗ (St−1 ) < ∞, соответственно, с условнымивероятностямиQ∗m ρt = ai∗t (St−1 ) |St−1 = 1 − qt∗ (St−1 )Q∗m ρt = ajt∗ (St−1 ) |St−1 = qt∗ (St−1 ) ,(3.46)где qt∗ (St−1 ) , qt∗ (x) |x=St−1 , а qt∗ (x) определяется (3.45), iii) мера Q∗m −единственная,мартингальная, т.е.

для любого t ∈ N1∗SE Qm ρt |Ft−1= 0.(3.47)Замечание 24. Утверждение теоремы 3.11 интересно в следующем смысле: i) равенство(3.43) позволяет найти в явном виде минимаксный портфель, ii) рекуррентное соотношение(3.44) описывает эволюцию капитала минимаксного портфеля, iii) равенство (3.45) определяетпереходную вероятность за один шаг марковской цепи (3.26) относительно меры Q∗m которая,в свою очередь является мартингальной.Доказательство теоремы 3.11. 1) Сначала рассмотрим правую часть рекуррентногосоотношения (3.30). Заметим, что для любых t ∈ N1 и x ∈ R+ справедливо равенство8>>>><>>>>:lPsup0 < qi ≤ 1, i = 1, l,lPqi = 19>>>>=mV t (x (1 + ai )) e−γxai qi =i=1>>>>;i=1=8>>>><>>>>:lPmax0 < qi ≤ 1, i = 1, l,lPqi = 19>>>>=mV t (x (1 + ai )) e−γxai qi .i=1>>>>;i=1Очевидно, что8>>>><>>>>:max0 < qi ≤ 1, i = 1, l,lPqi = 1lP9>>>>=mV t (x (1 + ai )) e−γxai qi =(3.48)i=1>>>>;i=1m= max V t (x (1 + ai )) e−γxai .1≤i≤lПоэтому рекуррентное соотношение (3.30) с учетом (3.48) примет видmmV t−1 (x) = inf1 max V t (x (1 + ai )) e−γxai .γ∈R 1≤i≤l(3.49)80mmПоскольку для любых t ∈ N1 и x ∈ R+ функция V t (x) > 0, то из (3.49) следует, что ln V t (x)удовлетворяет (3.41).2) Обозначимmψ (t, x, γ) , max ln V t (x (1 + ai )) − γxai .1≤i≤lДля любых (t, x) функция ψ (t, x, γ) является верхней огибающей [28] по γ ∈ R1 набора функцийmln V t (x (1 + ai )) − γxai i=1,l .

Характеристики

Список файлов диссертации