Диссертация (1137423), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Очевидно, что для любых (t, x) функция ψ (t, x, γ) являетсянепрерывной, кусочнолинейной, выпуклой, ограниченной снизу по γ ∈ R1 , причемψ (t, x, γ) → ∞.|γ|→∞Значит существует борелевская функция γ ∗ : N0 × R+ → R1 , обозначаемая через γ ∗t (x), такая,чтоinf1 ψ (t, x, γ) = ψ (t, x, γ ∗t (x)) .γ∈RНайдем явный видγ ∗t(x). Из определения функции ψ (t, x, γ) и существования γ ∗t (x) следует,что для каждого (t, x), в силу условия (ρ) и (ρ<N,l ), найдутся борелевские функции i∗t (x) иjt∗ (x), определенные на N1 × R+ , со значениями в множестве {1, ..., l} такие, что:а) при −1 < ai∗t (x) < 0mψ (t, x, γ ∗t (x)) = ln V tx 1 + ai∗t (x)− γ ∗t (x) xai∗t (x) ,(3.50)x 1 + ajt∗ (x)− γ ∗t (x) xajt∗ (x) .(3.51)б) при ajt∗ (x) > 0mψ (t, x, γ ∗t (x)) = ln V tИз (3.50) и (3.51) следует (3.42). Очевидно, что при каждом (t, x) справедливо неравенствоi∗t (x) < jt∗ (x).

Из (3.50) и (3.51) следует, что γ ∗t (x) удовлетворяет уравнениюmln V tx 1 + ai∗t (x)m= ln V tx 1 + ajt∗ (x)− γ ∗t (x) xai∗t (x) =(3.52)− γ ∗t (x) xajt∗ (x) .Разрешая уравнение (3.52) относительно γ ∗t (x) получаем (3.43).3) Рекуррентное соотношение (3.41), с учетом (3.42) и (3.43), после элементарных, ногромоздких преобразований примет вид (3.44).4) Из (3.44), (3.45) следует, что существует вероятностная мера, обозначаемая Q∗m ,относительно которой последовательность {St }t∈N0 , удовлетворяющая (3.26), являетсянеоднородной марковской цепью, причем для любого t ∈ N1 случайная величина ρt принимаетзначения ai∗t (St−1 ) и ajt∗ (St−1 ) с условными вероятностями Q∗m ρt = ai∗t (St−1 ) |St−1 = 1 − qt∗ (St−1 )81и Q∗m ρt = ajt∗ (St−1 ) |St−1= qt∗ (St−1 ), соответственно, где qt∗ (St−1 ) = qt∗ (x) |x=St−1 , а qt∗ (x)определяется (3.45).

Отсюда немедленно следует (3.47). Из (3.47) также следует, что мераQ∗m −единственная мартингальная. Доказательство закончено.3.3.6 В данном пункте мы установим, что построенная мера Q∗m является наихудшей.Теорема 3.12. Пусть выполнены условия теоремы 3.11. Тогда вероятностная мера Q∗mявляется наихудшей.Доказательство теоремы 3.12. Доказательство проведем методом "от противного", т.е.предположим, что мера Q∗m не является наихудшей. Из сделанного предположения следует, чтонайдется такое t ∈ N0 , что, в силу (3.29), справедливо неравенство" m#Vt−γ∆StS1 = inf1sup E Q>|Ft−1m eγ∈RdV t−1Q∈<N,m S ∗ m> inf1 E Qm exp ∆ ln V t − γ∆St |Ft−1.(3.53)γ∈RРанее (смотри второе утверждение теоремы 3.11) было установлено существованиеFt−1 −измеримой, случайной величины γ ∗t , γ ∗t (x) |x=St−1 такой, что S ∗ minf1 E Qm exp ∆ ln V t − γ∆St |Ft−1=γ∈R S ∗ m.= E Qm exp ∆ ln V t − γ ∗t ∆St |Ft−1Из неравенства (3.53) и последнего равенства, следует неравенство S ∗ m0 > ln E Qm exp ∆ ln V t − γ ∗t ∆St |Ft−1.(3.54)Неравенство (3.54), с помощью неравенства Иенсена, можно усилить имеем∗ mS.0 > E Qm ∆ ln V t − γ ∗t ∆St |Ft−1(3.55)С другой стороны, из (3.47) следует мартингальное свойство последовательности {St , Ft }t∈N0относительно меры Q∗m .

Поэтому из (3.44) и (3.47) имеем∗ ∗ mmSS= E Qm ∆ ln V t − γ ∗t ∆St |Ft−10 = E Qm ∆ ln V t |Ft−1(3.56)Сравнивая (3.55) и (3.56) мы приходим к противоречию. Значит наше предположение неверно.Стало быть, мера Q∗m −наихудшая. Доказательство закончено.Замечание 25. Доказательство утверждения теоремы 3.12 дает другой способ, посравнению с доказательством теоремы 3.1, проверки мартингального свойства меры Q∗m .3.3.7 В данном пункте устанавливается, что относительно меры Q∗m платежное обязательстводопускает S−представление.

Приводимое ниже утверждение дает новый способ, по сравнениюс доказательством теоремы 3.2, доказательства существования S−представления относительномеры Q∗m .82Теорема 3.13. Пусть выполнены условия теоремы 3.12. Тогда ограниченное платежноеобязательство ϕ (SN ) относительно мартингальной меры Q∗m допускает S−представление, т.е.справедливо равенство∗ϕ (SN ) = E Qm [ϕ (SN ) |F0 ] +NPγ ∗i (Si−1 ) Si−1 ρi ,(3.57)i=1где γ ∗i (Si−1 ) определяется соотношением (3.43).Доказательство теоремы 3.13. Заметим, что из утверждений теорем 3.11, 3.12 следует,что рекуррентное соотношение (3.41) можно записать в виде S ∗ m.1 = E Qm exp ∆ ln V t − γ ∗t ∆St |Ft−1Докажем, что случайная последовательностьmln V t , Ftt∈N0(3.58)относительно меры Q∗mудовлетворяет рекуррентному соотношениюm∆ ln V t = γ ∗t ∆St ,(3.59)причемmmmln V t |t=0 = ln V 0 ,ln V t |t=N = ϕ (SN ) .(3.60)Действительно.

С одной стороны, для любого t ∈ N1 из равенства (3.58), в силу неравенстваИенсена, следует неравенство S ∗ m0 = ln E Qm exp ∆ ln V t − γ ∗t ∆St |Ft−1≥∗ mS≥ E Qm ∆ ln V t − γ ∗t ∆St |Ft−1(3.61)С другой стороны, из доказательства теоремы 3.12 следует, что имеет место равенство (3.56).Ясно, что неравенство (3.61) превратится в равенство тогда и только тогда, когда случайная Sm-измерима. Отсюда следует рекуррентное соотношение (3.59),величина ∆ ln V t − γ ∗t ∆St -Ft−1mmmпричем ln V t |t=0 = ln V 0 и ln V t |t=N = ϕ (SN ). Из (3.59) и мартингальности меры Q∗m следует,чтоm∗ln V 0 = E Qm [ϕ (SN ) |F0 ]и относительно меры Q∗m имеет место S−представление (3.57). Доказательство закончено.3.3.8 В данном пункте строится минимаксный хеджирующий портфель европейскогоопциона на конечном (1, S) −рынке.Теорема 3.14.

Пусть выполнены условия теоремы 3.13. Тогда неполный конечный(1, S) −рынок, описываемый рекуррентным соотношением (3.26), с ограниченным платежнымобязательством ϕ (SN ) является Q∗m −полным, т.е. относительно меры Q∗m существуетминимаксный хеджирующий самофинансирующий портфель π ∗ = (β ∗t , γ ∗t )t∈N0 такой, что:83i) предсказуемая последовательность (γ ∗t )t∈N0 определяется при каждом t∈N1соотношением (3.43), причем γ ∗0 можно выбрать равным нулю;ii) предсказуемая последовательность (β ∗t )t∈N0 определяется из рекуррентного соотношенияβ ∗t |t=0 = β ∗0 ,β ∗t = β ∗t−1 − St−1 ∆γ ∗t ,(3.62)mпричем β ∗0 = ln V 0 (S0 );∗iii) капитал Xtπ портфеля π ∗ в любой момент времени t ∈ N0 допускает представления:∗Xtπ = β ∗t + γ ∗t St ,∗∗Xtπ = X0π +tP(3.63)γ ∗i Si−1 ρi ,(3.64)i=1m∗причем X0π = ln V 0 (S0 );m∗Xtπ = ln V t (St ) ,m∗где ln V t (St ) удовлетворяет рекуррентному соотношению (3.44) а XNπ = ϕ (SN ).Доказательство теоремы 3.14.

Пусть количество рискового актива γ ∗t в любой моментвремени t ∈ N1 определяется соотношением (3.43). Поэтому, в силу (2.1), количествобезрискового актива β ∗t в любой момент времени t ∈ N1 определяется рекуррентным∗соотношением (3.62). Следовательно, капитал Xtπ портфеля π ∗ = (β ∗t , γ ∗t )t∈N0 , для любогоt ∈ N0 будет иметь вид (3.63). Из (3.63) и условия самофинансируемости (2.1) следует, что∗"приращение"капитала ∆Xtπ допускает представление∗∆Xtπ = γ ∗t ∆St = γ ∗t St−1 ρt .(3.65)Поскольку ∆St = St−1 ρt для каждого t ∈ N1 , то правые части в (3.59) и (3.65) совпадают.

Тогдаполучаем, что для любого t ∈ N1m∗∆Xtπ = ∆ ln V t .Выбирая X0π∗m∗(3.66)m= ln V 0 из (3.66) получаем, что для любого t ∈ N0 справедливо равенство∗mXtπ = ln V t . Отсюда следует, что XNπ = ln V N = ϕ (SN ). Значит, (1, S) −рынок, описываемыйрекуррентным соотношением (3.26), силу теоремы 3.6, является Q∗m -полным, а портфельπ ∗ , описываемый рекуррентными соотношениями (3.43), (3.44) и (3.62), в силу теоремы 3.9,является минимаксным хеджирующим. Доказательство закончено.843.4 Примеры расчета минимаксного хеджирующего портфеля европейского опциона наодномерном компактном рынке без тренияВданномхеджирующегоразделерассматриваютсяпортфеляевропейскогодвановыхопционанапримерарасчетакомпактномминимаксного(1, S) −рынкевпредположении, что доходность рискового актива, относительно базовой меры P , представляетсобой последовательность независимых в совокупности одинаково распределенных случайныхвеличин, распределение вероятностей которых имеет компактный носитель.3.4.1 Пусть на стохастическом базисе Ω, F, (Ft )t∈N0 , P задана согласованная случайнаяпоследовательность цен St , FtS t∈N0 удовлетворяющая рекуррентному соотношению (3.26).Предположим, что относительно базовой меры P случайные величины ρt , FtS t∈N1 являются:i) независимыми в совокупности и одинаково распределенными;ii) носитель распределения вероятностей случайной величины ρt равен [a, b], причем −1 <a < 0 < b < ∞.Ясно, что в этом случае для любого t ∈ N0 случайная величина St > 0 P −п.н.

Всилу сделанных предположений, последовательность {St }t∈N0 является, относительно меры P ,однородной марковской последовательностью.Пусть ϕ : R+ → R1 −ограниченная функция, обозначаемая через ϕ (x). Положим ϕ (SN ) =ϕ (x) |x=SN −платежное обязательство.Пусть M [a, b] −множество вероятностных мер носитель которых сосредоточен на отрезке[a, b], а MN [a, b] , M [a, b] × ... × M [a, b]. Известно [4], что M [a, b] и MN [a, b] −выпуклы и слабо|{z}Nкомпакты.Пусть <cN ⊂ MN [a, b] −множество вероятностных мер Q эквивалентных базовой мере P .Приведем некоторые свойства множества <cN :i) <cN 6= ∅;ii) <cN −выпукло и слабо относительно компактно;iii) относительно любой меры Q ∈ <cN последовательность, определяемая (3.26), являетсяоднородной марковской.Очевидно, что описанный выше (1, S) −рынок является неполным.3.4.2 В данном пункте приводится решение задачи расчета европейского опциона сгоризонтом равным N на описанном выше неполном компактном (1, S) −рынке без трения.85ОбозначимVmctNPSγ i Si−1 ρi |Ft .esssup E exp ϕ (SN ) −Q, essinfQ∈<cNNγNt+1 ∈Dt+1(3.67)i=t+1Отметим, что в данном случае выполнены все условия теорем 1.3, 2.3, 2.4, 3.1-3.9.Поэтому существуют: 1) единственная, наихудшая, мартигальная, дискретная, вероятностнаямера Q∗N , относительно которой рассматриваемый (1, S) −рынок является Q∗N −полным; 2)минимаксный хеджирующий портфель π ∗ .

Тогда, в силу теоремы 3.5, наихудшая мераQ∗N ∈ MN [a, b] \<cN,m ∩ MN −единственная мартингальная мера. Следовательно, Q∗N являетсякрайней точкой этого множества. Поэтому, с помощью теоремы Шоке [23], мы можем найтивид распределения случайной величины ρt и построить минимаксный хеджирующий портфельπ∗.Так как Q∗N ∈ MN [a, b] \<cN ∩ MN , то очевидно, что она является продакт-мерой, т.е.Q∗N = Q∗1 × ... × Q∗1 , где Q∗1 ∈ M [a, b]. Так как мера Q∗N −мартингальная, то|{z}N∗E QN ρt = 0.Значит точка нуль - это барицентр меры Q∗1 .

Ясно, что мера Q∗1 удовлетворяет условиямтеоремы Шоке [23] согласно которой носитель меры Q∗1 сосредоточен на крайних точках отрезка[a, b]. Отсюда следует, что относительно меры Q∗1 случайная величина ρ1 принимает значенияa и b, соответственно, с вероятностями q ∗ = Q∗1 (ρ1 = a) и p∗ = 1 − q ∗ . Поскольку точкануль принадлежит внутренности выпуклой оболочки двуточечного множества {a, b}, котороеявляется носителем меры Q∗ , то отсюда немедленно следует, что q ∗ =b.b+|a|Таким образом мыустановили, что supp Q∗N = {a, b}N .Итак, поскольку Q∗N −единственная, мартингальная, наихудшая вероятностная мера, то, всилу сделанных замечаний, (3.67) допускает представлениеNPmcQ∗NSV t = inf Eexp ϕ (SN ) −γ i Si−1 ρi |Ft .NγNt+1 ∈Dt+1i=t+1Поэтому из утверждений теорем 1.1 и 1.9 следует, чторекуррентному соотношению mc V t = infVmc∗ E QN V t+1 e−γSt ρt+1 |FtSγ∈Dtmcϕ(SN ).t |t=N = emcV t , FtSt∈N0удовлетворяет(3.68)Ранее мы установили, что носитель меры Q∗ сосредоточен в точках {a} и {b}, поэтомуможем воспользоваться рассуждениями приведенными в пунктах 3.2-3.5 параграфа три, имеемдля любого t ∈ N0 :1) Dt = R1 ,86mc2) существует борелевская функция, обозначаемая V t (x) такая, что:mcmcа) V t = V t (x) |x=St ,mcб) V t (x) удовлетворяет рекуррентному соотношению mcmcγx|a| ∗ V t−1 (x) = inf V mcq + V t (x (1 + b)) e−γxb p∗t (x (1 + a)) e1γ∈RVmctϕ(x)(x) |t=N = e(3.69).Заметим, что выражение, стоящее в правой части (3.69) под знаком инфимума, представляетсобой линейную комбинацию выпуклых неотрицательных функций.

Характеристики

Список файлов диссертации