Резюме (1137425)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиЗверев Олег ВладимировичМинимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынкеРЕЗЮМЕ ДИССЕРТАЦИИна соискание ученой степени кандидата наукпо прикладной математике НИУ ВШЭНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессорХаметов Владимир МинировичМосква – 2018ВведениеДиссертация посвящена теории оптимального управления портфелем рисковыхактивов на неполных многомерных рынках без трения с дискретным временем с конечнымгоризонтом. В диссертации эта теория применяется к решению ряда задач расчетаевропейских опционов на неполных многомерных рынках рисковых активов.Для описания подхода, который используется в работе, приведем необходимыесведения из теории опционов.

Под рисковыми активами понимаются объекты, имеющиестоимость,эволюциякоторыхописываетсясогласованнымислучайнымипоследовательностями (например, акции). Многомерные рынки – это совокупность рисковыхактивов,которыепоследовательностей.полностьюописываютсяМногомерныераспределениемпредсказуемыеслучайныевероятностейэтихпоследовательности(имеющие туже размерность, что и многомерные рынки) называются портфелем.Рассматриваются только рынки без транзакционных издержек (без трения), т.е. когдаотсутствует плата за перевод одного вида актива в другой.Европейский опцион – это контракт, в соответствии с которым продавец активов(эмитент) продает, а его покупатель имеет право (но не обязанность) совершить покупку позаранее оговоренной цене в момент времени в будущем, который указан в контракте иназываемый моментом исполнения. При этом, за право приобрести эти активы в будущем,покупатель должен в момент заключения этого контракта выплатить эмитенту некотороеколичество средств (например, деньги) которые называют премией или ценой опциона.

Припредъявлении опциона покупателем в момент исполнения контракта эмитент долженпоставить эти активы покупателю, т.е. у эмитента в момент исполнения опциона возникаетобязательство, которое он (эмитент), должен исполнить и которое называют платежнымобязательством. Само платежное обязательство является измеримой функцией, возможно,зависящей от всех значений цен рисковых активов вплоть до момента его исполнения.Поэтому, для того чтобы исполнить платежное обязательство эмитент должен построить такойпортфель рисковых активов, капитал которого был бы не меньше платежного обязательства сзаданной вероятностью.

При этом под капиталом портфеля в каждый момент временипонимают сумму произведений количеств рисковых активов на стоимость каждого из них, т.е.его стоимость.Отметим, что рынки обычно классифицируются на арбитражные и безарбитражные.Под арбитражными понимают рынки, в которых при нулевых вложениях можно извлечь доходс положительной вероятностью. В противном случае рынки называют безарбитражными.1Известен 1 критерий безарбитражности который допускает простую формулировку: рынокбезарбитражен тогда и только тогда, когда цены рисковых активов в процессе их эволюции всреднем не меняются. Это означает, что случайные последовательности, описывающиеэволюцию цен рисковых активов, являются мартингалами2 , при этом соответствующие имвероятностные меры называют мартингальными или нейтральными к риску. Безарбитражныерынки делятся на полные и неполные. Полные рынки характерны тем, что любое платежноеобязательство исполняется достоверно.

Последнее означает, что существует такой портфельрисковых активов стоимость которого равна стоимости платежного обязательства. Известен1критерий полноты: рынок полон тогда и только тогда, когда существует единственнаямартингальная мера. Полный рынок – это идеализация которая, как правило, не имеет места,т.е. реальные многомерные рынки являются неполными. Последнее означает, чтовероятностная мера, описывающая неполный рынок – неединственна. Поэтому эмитент дляисполнения платежного обязательства должен: 1) выбрать вероятностную меру относительнокоторой следует проводить расчет европейского опциона, 2) построить портфель рисковыхактивов, обеспечивающий исполнение платежного обязательства с заданной вероятностью, 3)сформировать цену опциона.Актуальность темыДля проведения расчета европейского опциона на неполных рынках обычноиспользуют принцип справедливой цены1,3 .

В диссертации, в отличие от выше указанныхработ, использован принцип минимакса. Выбор этого принципа основан на следующихсоображениях. Априори эмитенту не известно распределение вероятностей наблюдаемойпоследовательности цен рисковых активов. Предполагается, что функция риска эмитентаэкспоненциальная и зависит от его дохода. Он (эмитент) минимизирует ожидаемое значениеэкспоненциального риска. Последнее может достигаться за счет такого портфеля, которыйдавал бы возможность эмитенту парировать любые неблагоприятные для него распределениявероятностей рисковых активов.

Для реализации этого подхода потребовалось обосноватьвозможностьприменениястохастическоговариантаметодадинамическогопрограммирования, когда наблюдается согласованная последовательность, а целевойфункционал мультипликативен. Стало быть, мы пришли к минимаксной задаче оптимальногостохастического управления портфелем, которая в научной литературе не рассматривалась.В рамках этого подхода удается установить новые условия существования:1Ширяев А.Н.

Основы стохастической финансовой математики (теория). М.: Фазис. 1998. - 1056с.Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука. 1980. - 576с.3Бертсекас Д., Шрив С. Оптимальное стохастическое управление. М.: Наука. 1985. - 280с.221) оптимальных портфелей, являющихся предсказуемыми случайными последовательностямии инвариантными относительно любой меры из класса эквивалентных вероятностных мер,2) равномерного разложения Дуба относительно любой вероятностной меры из классаэквивалентных вероятностных мер для измеримых ограниченных функционалов, заданных натраекториях согласованных случайных последовательностей,3) экстремальных мер, доставляющих наибольшее значение ожидаемому риску и установитьсвойства этих мер, а также доказать (впервые), что относительно экстремальной мерыисходный неполный рынок оказывается полным.Вышеуказанные результаты позволяют провести конструктивный расчет опционовевропейского типа на неполных рынках.Отсюда следует актуальность как темы, так и результатов диссертационногоисследования.Целями исследования являются нахождение:1) минимаксного значения ожидаемого экспоненциального риска эмитента,2)конструктивныхусловийсуществованияхеджирующего(суперхеджирующего,квантильного хеджирующего, квантильного суперхеджирующего) портфеля европейскогоопциона на неполном рынке без трения.Как правило, в теории расчета европейских опционов на неполных рынках без трениярассматриваетсястатическаяпостановказадачи.Вдиссертациирассматриваетсядинамическая постановка, поэтому научная новизна диссертации заключается в следующем:1)впервые, для случая дискретного времени, обоснована применимость стохастическоговариантаметодадинамическогопрограммированиядлянемарковскихсистемсмультипликативной функции риска.

Последнее позволило установить, что эволюция верхнегогарантированного значения ожидаемого экспоненциального риска эмитента описываетсярекуррентным соотношением беллмановского типа, даже для последовательностей ценрисковых активов, которые являются семимартингалами;2)получены новые условия существования равномерного разложения Дуба;3)установленыусловиясуществованиясуперхеджирующего,квантильногосуперхеджирующего портфеля европейского опциона на многомерном неполном рынке безтрения относительно любой эквивалентной вероятностной меры;4)построен критерий существования экстремальной вероятностной меры, доставляющеймаксимальное значение ожидаемому экспоненциальному риску эмитента, и исследованы еесвойства.Диссертация носит теоретический характер.

Результаты, изложенные в диссертации,относятся к области стохастического оптимального управления. Они могут быть3использованы как в стохастической теории оптимального управления, так и в стохастическойфинансовой математике. Теоретическая значимость результатов состоит в следующем:1)найдены условия, при выполнении которых эволюция верхнего гарантированногозначения ожидаемого экспоненциального риска эмитента удовлетворяет рекуррентномусоотношениюбеллмановскоготипа,когдаценырисковыхактивовявляютсясемимартингалами,2)доказано, что любое ограниченное платежное обязательство допускает равномерноеразложение Дуба, которое справедливо относительно любой вероятностной меры из классаэквивалентных вероятностных мер,3)построен критерий существования экстремальных вероятностной меры и портфелякоторые доставляют минимаксное значение ожидаемому экспоненциальному риску эмитента,причем доказано, что относительно этой экстремальной меры исходный неполный рынококазывается полным,4)доказано, что для случая неполных многомерных рынков без трения с дискретнымвременем решение задачи квантильного хеджирования (суперхеджирования) сводится крешению двух задач совершенного хеджирования (суперхеджирования).В работе применяются методы функционального анализа, теории вероятностей, теориислучайных процессов и стохастического анализа.Практическая значимость полученных результатов состоит в следующем:1)поскольку последовательности цен рисковых активов, как правило, являютсясемимартингалами, то полученные утверждения могут быть использованы для выбораминимаксного управления портфелем активов,2)установленкритерийсуществованияэкстремальнойвероятностноймеры,относительно которой: а) исходный рынок является полным; б) найдена верхняя границастоимости опциона, в) построен хеджирующий портфель,3)для неполных рынков без трения полученные результаты позволяют строитьквантильный хеджирующий портфель.Результаты выносимые на защиту:1)рекуррентноесоотношениебеллмановскоготипа,которомуудовлетворяетпоследовательность верхних гарантированных значений ожидаемого экспоненциальногориска эмитента на неполном многомерном рынке без трения;2)условия существования суперхеджирующего, квантильного суперхеджирующегопортфелей европейского опциона на многомерном неполном рынке без трения относительнолюбой меры из класса эквивалентных;43)критерий существования вероятностной меры (наихудшей меры), доставляющейсущественную верхнюю грань ожидаемого экспоненциального риска эмитента, и ее свойства;4)условия существования минимаксного и квантильного минимаксного портфелей.Степень проработанности проблемы исследования.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации