Диссертация (1137423)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиЗверев Олег ВладимировичМинимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынкеДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени кандидата наукпо прикладной математике НИУ ВШЭНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессорХаметов Владимир МинировичМосква - 20182ОглавлениеСписок обозначений . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5ГЛАВА 1 Постановка и решение многошаговой, стохастической, минимаксной задачи231.1 Постановка многошаговой, стохастической, минимаксной задачи .
. . . . . . . . . .231.2 Обоснование применимости стохастического варианта метода динамическогопрограммирования к построению решения минимаксной задачи . . . . . . . . . .261.3 Условия существования минимаксной стратегии . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .321.4 S-опциональное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .371.5 Критерий существования наихудшей меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391.6 Условия существования решения многошаговой, стохастической, минимаксной задачи 43Выводы по главе 1 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43ГЛАВА 2 Минимаксное хеджирование европейского опциона на многомерномнеполном рынке без трения в дискретном времени . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.1 Сведения из стохастической финансовой математики.
Постановка задачипостроения суперхеджирующего портфеля европейского опциона на неполномрынке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452.2 Максиминный подход к решению задачи расчета европейского опциона намногомерном неполном рынке без трения и задача (1.4) . . . . . . . .
. . . . . . .2.3Условиясуществованиясовершенногосамофинансирующегопортфеля47спотреблением в задаче расчета европейского опциона на многомерном неполномрынке без трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.4 Существование минимального самофинансирующего портфеля с потреблением исуперхеджирующего портфеля у европейского опциона .
. . . . . . . . . . . . . .522.5 Примеры, допускающие явный вид, совершенных суперхеджирующих портфелейевропейского опциона на неполном одномерном рынке без трения . . . . . . . . .54Выводы по главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .64ГЛАВА 3 Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке безтрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.1 Свойства наихудшей меры . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.2 Хеджирование относительно наихудшей меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7133.3 Минимаксный хеджирующий портфель европейского опциона на одномерномконечном рынке без трения . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .733.4 Примеры расчета минимаксного хеджирующего портфеля европейского опционана одномерном компактном рынке без трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84Выводы по главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89ГЛАВА 4 Квантильное хеджирование европейского опциона на неполном рынке безтрения . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .904.1 Минимаксный самофинансирующий портфель с потреблением барьерного опционана неполном многомерном рынке без трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.914.2 Теория расчета европейского опциона с квантильным критерием на неполном рынкебез трения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .944.3 Квантильное минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынкебез трения. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .994.4 Примеры расчета европейского опциона на неполном одномерном рынке без трения 101Выводы по главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Заключение . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Список публикаций диссертанта по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154Список обозначенийВ настоящей работе используется следующая система обозначений. Нумерация определений,предложений, теорем, лемм и формул начинается заново в каждой главе, и перед каждымномером ставится номер соответствующей главы. Таким образом, формулы в главе 1 будутиметь номера (1.1), (1.2) и т.д. При этом различные типы утверждений, внутри каждой главы,имеют сквозную нумерацию, например: теорема 1.1, теорема 1.2, лемма 1.3 и т.д.
Замечанияимеют свою сквозную нумерацию. Ниже приводится список наиболее важных обозначений,используемых в работе:NгоризонтNkмножество {k, ..., N } , для любого k = 0, N(Ft )t∈N0фильтрациястохастический базисΩ, F, (Ft )t∈N0 , P(St , Ft )t∈N0d−мерная согласованная случайная последовательностьS•последовательность S0 , ..., SN<Nмножество эквивалентных вероятностных мерMNмножество мартингальных мерEPматематическое ожидание относительно вероятностной меры P (интеграл Лебегаотносительно меры P )E P (•|Ft ) условное математическое ожидание по мере P относительно σ−алгебры FtfND1NFN −ограниченная случайная величинамножество допустимых стратегий(β t , Ft−1 )t∈N1одномерная предсказуемая последовательность(γ t , Ft−1 )t∈N1d−мерная предсказуемая последовательностьπпортфельXtπкапитал портфеля π в момент времени t(Ct , Ft )t∈N0(π, C)btπXсогласованная возрастающая последовательностьпортфель с потреблениемкапитал портфеля с потреблением (π, C) в момент времени t(κt , Ft )t∈N0согласованный процесс с ограниченной вариацией(π, κ) портфель с ограниченной вариацией(π,κ)Xt1Aкапитал портфеля с ограниченной вариацией (π, κ) в момент времени tиндикатор множества A5ВведениеДиссертация выполнена на кафедре кибернетики Московского института электроники иматематики им.
А. Н. Тихонова федерального государственного автономного образовательногоучреждения высшего образования «Национальный исследовательский университет «Высшаяшкола экономики». Она посвящена теории оптимального управления портфелем рисковыхактивов на неполных многомерных рынках без трения с дискретным временем с конечнымгоризонтом. В диссертации эта теория применяется к решению ряда задач расчета европейскихопционов на неполных многомерных рынках рисковых активов.Для описания подхода, который используется в работе, приведем необходимые сведенияиз теории опционов.
Под рисковыми активами понимаются объекты, имеющие стоимость,эволюциякоторыхописываетсясогласованнымислучайнымипоследовательностями(например, акции). Многомерные рынки – это совокупность рисковых активов, которыеполностьюописываютсяраспределениемвероятностейэтихпоследовательностей.Многомерные предсказуемые случайные последовательности (имеющие туже размерность,что и многомерные рынки) называются портфелем. Рассматриваются только рынки безтранзакционных издержек (без трения), т.е.
когда отсутствует плата за перевод одного видаактива в другой.Европейский опцион – это контракт, в соответствии с которым продавец активов (эмитент)продает, а его покупатель имеет право (но не обязанность) совершить покупку по заранееоговоренной цене в момент времени в будущем, который указан в контракте и называемыймоментом исполнения. При этом, за право приобрести эти активы в будущем, покупательдолжен в момент заключения этого контракта выплатить эмитенту некоторое количествосредств (например, деньги) которые называют премией или ценой опциона. При предъявленииопциона покупателем в момент исполнения контракта эмитент должен поставить эти активыпокупателю, т.е. у эмитента в момент исполнения опциона возникает обязательство, которое он(эмитент), должен исполнить и которое называют платежным обязательством.
Само платежноеобязательство является измеримой функцией, возможно, зависящей от всех значений ценрисковых активов вплоть до момента его исполнения. Поэтому, для того чтобы исполнитьплатежное обязательство эмитент должен построить такой портфель рисковых активов,капитал которого был бы не меньше платежного обязательства с заданной вероятностью.При этом под капиталом портфеля в каждый момент времени понимают сумму произведенийколичеств рисковых активов на стоимость каждого из них, т.е.
его стоимость.Отметим, что рынки обычно классифицируются на арбитражные и безарбитражные. Подарбитражными понимают рынки, в которых при нулевых вложениях можно извлечь доходс положительной вероятностью. В противном случае рынки называют безарбитражными.6Известен [35] критерий безарбитражности который допускает простую формулировку: рынокбезарбитражен тогда и только тогда, когда цены рисковых активов в процессе их эволюциив среднем не меняются. Это означает, что случайные последовательности, описывающиеэволюцию цен рисковых активов, являются мартингалами [34], при этом соответствующие имвероятностные меры называют мартингальными или нейтральными к риску.
Безарбитражныерынки делятся на полные и неполные. Полные рынки характерны тем, что любое платежноеобязательство исполняется достоверно. Последнее означает, что существует такой портфельрисковых активов стоимость которого равна стоимости платежного обязательства. Известен[35] критерий полноты: рынок полон тогда и только тогда, когда существует единственнаямартингальная мера. Полный рынок – это идеализация которая, как правило, не имеетместа, т.е. реальные многомерные рынки являются неполными.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
