Диссертация (1137423), страница 4
Текст из файла (страница 4)
.esssup E Q exp −Q∈<NВработеЗначитимеетвидi=1В этой главе решается следующая задача:Q,γ N1I0(S0 ) → infsup .NγN1 ∈D1(0.3)Q∈<NЗамечание 1. Задача (0.3) ранее, в доступной литературе, не рассматривалась и ее решениенеизвестно.(0.3)-это задача нахождения минимаксного значения ожидаемого экспоненциального рискаэмитента.ОбозначимV t , essinfNγNt+1 ∈Dt+1Q,γ Nt+1esssup ItQ∈<NS0t .V t назовем верхним гарантированным значением ожидаемого экспоненциального рискаэмитента в момент времени t ∈ N0 .14Очевидно, чтоV 0 , essinfNγN1 ∈D1Q,γ N1esssup I0(S0 ) .Q∈<Nтакую, что P -п.н. выполняется равенствоОпределение.
Пару Q∗ , γ ∗N1Q∗ ,γ ∗N1V 0 = I0(S0 )(0.4)назовем минимаксной бистратегией, при этом вероятностную меру Q∗ -наихудшей, а стратегиюγ ∗NQ∗ , γ ∗N1 -минимаксной. Триплет1 , V 0 , такой, что выполнено равенство (0.4) назовемрешением минимаксной задачи (0.3).В разделе 1.2 устанавливаются условия при выполнении которых V t удовлетворяетнекоторому рекуррентному соотношению.Теорема 1.1. Пусть fN (S• ) − FNS -измеримая, ограниченная, случайная величина.
ТогдаV t , FtS t∈N0 P −п.н. удовлетворяет рекуррентному соотношению V t = essinfγ∈Dt+1esssupE Q V t+1 e−(γ,∆St+1 ) |FtSQ∈<N(0.5) V t |t=N = efN (S• ) .Замечание 2. (0.5)-это рекуррентное соотношение беллмановского типа, которомуудовлетворяет верхнее гарантированное значение ожидаемого экспоненциального рискаэмитента. Оно обосновывает применимость стохастического варианта метода динамическогопрограммирования к решению задачи (0.3).Кроме того, в этом параграфе построены априорные оценки решения рекуррентногосоотношения (0.5).Теорема 1.3.
Пусть:1) выполнены условия теоремы 1.1,2) существует константа c1 > 0 такая, что для любого x• ∈ RN +1 выполнено неравенство|fN (x• )| ≤ c1 ,3) <N ∩ MN 6= ∅.Тогда для любого t ∈ N1 справедливы неравенства P −п.н.e−c1 ≤ V̄t ≤ ec1 .В разделе 1.3 устанавливаются условия существования допустимой минимаксной стратегии.Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и <N ∩ MN 6= ∅. Тогда существуетстратегия {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N такая, что для любого t ∈ N1 справедливы равенства P −п.н.15esssupE Q V t+1 e−(γ,∆St+1 ) |FtS =γ∈D1+1Q∈<Nih∗= esssupE Q V t+1 e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS .V t = essinf(0.6)Q∈<NКроме того, для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N справедливо неравенство∗SV t−1 ≥ E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1P − п.н.(0.7)Из утверждения теоремы 1.4 (см.
(0.7)) следует, что любое ограниченное платежноеобязательство допускает равномерное разложение Дуба, которое справедливо в классеэквивалентных вероятностных мер. Это утверждение составляет основное содержание раздела1.4.Теорема 1.7. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и для любого t ∈ N0 γ ∗t ∈ Dt такое,что выполнено (0.6). Тогда согласованная последовательность Ct∗ , FtS t∈N0 , удовлетворяющаярекуррентному соотношению∆Ct∗ , (γ ∗t , ∆St ) − ∆ ln V t ≥ 0,C0∗ = 0 Q − п.н.,(0.8)для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N является неубывающей, т.е.
∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н., где V t , FtS t∈N0удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.5).Кроме того, относительно любой меры Q ∈ <NfN (S• ) = ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si ) − CN∗Q − п.н.(0.9)i=1Разложение (0.9) в диссертации названо S−опциональным.Замечание 3. В работах Ширяева А. Н. [35], Фельмера Г. и Шида А. [30] установленосправедливость разложения (0.9) относительно любой эквивалентной мартингальной меры, т.е.Q ∈ <N ∩ MN . Из утверждения теоремы 1.7 следует: 1) справедливость разложения (0.9) вклассе эквивалентных вероятностных мер, 2) конструктивный способ нахождения стратегииγ ∗Nи потребления CN∗ , участвующих в разложении (0.9).
Отметим, что доказательство1существования S−опционального разложения является новым.В разделе 1.5 устанавливается критерий существования наихудшей вероятностной меры Q∗ .Определение. Последовательность µt , FtS t∈N0µt , V t exp −tP(γ ∗i , ∆Si ),i=1где V t −удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.5), а {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −минимакснаястратегия, определяемая равенством (0.6), назовем верхней S-оценивающей.16Теорема 1.8. Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда следующие утвержденияэквивалентны:i) Q∗ −наихудшая;ii) для любого t ∈ N1 справедливо равенство Q∗ −п.н.∗Q∗ VV t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1t−1 = E V |= exp {f (S )} ,t t=NN(0.10)•iii) верхняя S-оценивающая последовательностьµt , FtSt∈N0является мартингаломотносительно меры Q∗ .В разделе 1.6 устанавливаются условия существования решения задачи (0.3).Теорема 1.11.
Пусть выполнены условия теоремы 1.8. Тогда существует решениеминимаксной задачи (0.3).Вторая глава посвящена решению задачи расчета европейского опциона на неполноммногомерном рынке с дискретным временем без трения. В ней излагается минимаксный подходк построению суперхеджирующего портфеля и его капитала.В разделе 2.1 приводятся обозначения и определения, необходимые для описанияпостановки задачи расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке без трения.Предполагается, что d-мерная согласованная последовательность {St , Ft }t∈N0 описываетэволюцию стоимости d различных рисковых активов, а также имеется один безрисковый активс доходностью равной нулю и начальной стоимостью равной единице. Такой набор активовназывают 1, S (1) , ..., S (d) −рынком.
Через {β t }t∈N0 обозначим предсказуемую, одномернуюпоследовательность, элементы которой интерпретируют как количество безрискового активав момент времени t ∈ N0 . Элементы предсказуемой d−мерной последовательности γ N1 ,{γ t }t∈N0 интерпретируют как количество рискового актива в момент времени t ∈ N0 .
Наборπ , {β t , γ t }t∈N0 называют портфелем. Капиталом портфеля π в момент времени t ∈ N0на 1, S (1) , ..., S (d) -рынке называют Ft -измеримую, случайную величину, обозначаемую Xtπ иопределяемую равенством [35]Xtπ = β t + (St , γ t ) .(0.11)Портфель π называют самофинансирующим [35], если для любого t ∈ N1 выполнено равенствоP -п.н.∆β t + (St−1 , ∆γ t ) = 0.(0.12)Множество таких самофинансирующих портфелей обозначим через SF .Согласованную, неубывающую последовательность C ,Ct , FtS t∈N0 , где Ct |t=0=0, назовем потреблением.
Набор (π, C) назовем портфелем с потреблением. Капитал17самофинансирующего портфеля с потреблением (π, C) в момент времени t ∈ N0 , обозначаемыйb π , определим равенствомXtbtπ = Xt(π) − Ct .X(0.13)Самофинансирующийпортфельспотреблением(π, C)наОпределение.1, S (1) , ..., S (d) −рынке в задаче расчета европейского опциона с платежным обязательствомfN (S• ) называют хеджирующим, если в момент времени N выполняется неравенствоbNπfN (S• ) ≤ XP − п.н.Определение.
Хеджирующий портфель с потреблением (π, C) называют совершенным,еслиbNπ = fN (S• )XP − п.н.В разделе 2.2 приводится экономическая интерпретация минимаксного подхода к решениюзадачи расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке без трения.NXОбозначим Θ (S• ) ,(γ i , ∆Si ). Очевидно, что Θ (S• )−FN -измеримая случайная величина,i=1экономический смысл которой - выручка, полученная эмитентом в результате управлениярисковыми активами. Поскольку платежное обязательство fN (S• ) −это выплата которуюдолжен осуществить эмитент опциона в момент его исполнения по требованию покупателяопциона, то, в этом случае, доход эмитента, обозначаемый l (S• ), имеет видl (S• ) , Θ (S• ) − fN (S• ) .Положим ϕ : R+ −→ R+ -функция полезности эмитента - экспоненциальная, т.е.
ϕ (x) ,1 − e−x . Естественно предположить, что значение функции полезности эмитента зависят от егодохода, т.е. ϕ (l (S• )) , ϕ (x) |x=l(S• ) .Предположим, что эмитент опциона разумен в следующем смысле: а) он предполагает,что распределение вероятностей цен рисковых активов такое, что рынок минимизируетего ожидаемую полезность, б) он максимизирует ожидаемую полезность путем выбораNсоответствующей стратегии γ N1 ∈ D1 .Эти предположения приводят нас к следующей задачеE Q ϕ (l (S• )) −→ supinf .(0.14)N Q∈<NγN1 ∈D1Так как функция полезности экспоненциальная, то из (0.14) следуетsupNγN1 ∈D1inf E Q ϕ (l (S• )) = supQ∈<NNγN1 ∈D1inf E Q 1 − e−l(S• ) = 1 − inf"= 1 − infsup ENγN1 ∈D1 Q∈<NQsup E Q e−l(S• ) =NγN1 ∈D1 Q∈<NQ∈<N(exp fN (S• ) −NXi=1)#(γ i , ∆Si ).18Стало быть, задача (0.14) эквивалентна минимаксной задаче (0.3).Отметим, что выбор экспоненциальной функции полезности, зависящей от дохода эмитента,продиктован следующими соображениями: i) во-первых, это связано с установленными в первойглаве условиями существования решения задачи (0.14), ii) во-вторых, такой выбор функцииполезности позволяет "конструктивно"строить суперхеджирующий портфель в динамическойпостановке, т.е.
привести описание эволюции хеджирующего портфеля и соответствующегоему капитала, iii) в третьих, как будет видно далее, этот подход позволяет строитьсуперхеджирующие портфели с минимальным капиталом.В разделе 2.3 устанавливаются условия существования совершенного хеджирующегопортфеля, а также конструктивный способ его построения.Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда существует совершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) такой, что:i) π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N1 −самофинансирующий портфель, где {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −допустимая{β ∗t }t∈N0 −удовлетворяет рекуррентномусоотношению (0.12), где β ∗0 = ln V 0 , а γ ∗0 = 0, причем V t , Ft t∈N0 удовлетворяет рекуррентномустратегия,определяемаяравенством(0.6),асоотношению (0.10); для любого t ∈ N0 капитал допустимого портфеля π ∗ имеет вид∗Xtπ = β ∗t + (γ ∗t , St )Q − п.н.;ii) для любого t ∈ N0 потребление Ct∗ допускает представление Q−п.н. ∆C ∗ = (γ ∗ , ∆S ) − ∆ ln V ≥ 0tttt C ∗ | = 0;(0.15)t t=0btπ∗ самофинансирующего портфеля с потреблениемiii) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N капитал X(π ∗ , C ∗ ) допускает представлениеb π∗ = ln V tXtQ − п.н.,причем:b π∗ = X π∗ − C ∗ Q−п.н.,a) Xtttb)tbtπ∗ = ln V 0 + P (γ ∗i , ∆Si ) − Ct∗XQ − п.н.;i=1iv) самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) является совершенным, т.е.относительно любой Q ∈ <Nb π∗ = fN (S• )XNQ − п.н.В разделе 2.4 устанавливается, что капитал, построенного в разделе 2.3, совершенногосуперхеджирующего портфеля является минимальным.19Определение.
Совершенный самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ),b π∗ , назовем минимальным совершеннымкапитал которого в момент времени t ∈ N0 равен Xtсамофинансирующим портфелем с потреблением, если для любого другого совершенногосамофинансирующего портфеля с потреблением (π, C) (т.е. (π, C) 6= (π ∗ , C ∗ )), капитал которогоb π , для любого t ∈ N0 справедливо неравенство P −п.н.в момент времени t ∈ N0 равен Xtb π∗ ≤ Xb π.XttТеорема 2.4.Пустьвыполненыусловиятеоремы2.3.Тогдасовершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ), определенный соотношениями (0.6),(0.12) является минимальнымЗамечание 4.Утверждениетеоремы2.4устанавливаетусловиясуществованияминимального самофинансирующего портфеля с потреблением и обосновывает выборэкспоненциального риска.В разделе 2.5 приведены два новых примера расчета европейского опциона на одномерномнеполном рынке без трения.В третьей главе устанавливаются свойства наихудшей меры Q∗ : мартингальность,дискретность, единственность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
