Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137423), страница 4

Файл №1137423 Диссертация (Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке) 4 страницаДиссертация (1137423) страница 42019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

.esssup E Q exp −Q∈<NВработеЗначитимеетвидi=1В этой главе решается следующая задача:Q,γ N1I0(S0 ) → infsup .NγN1 ∈D1(0.3)Q∈<NЗамечание 1. Задача (0.3) ранее, в доступной литературе, не рассматривалась и ее решениенеизвестно.(0.3)-это задача нахождения минимаксного значения ожидаемого экспоненциального рискаэмитента.ОбозначимV t , essinfNγNt+1 ∈Dt+1Q,γ Nt+1esssup ItQ∈<NS0t .V t назовем верхним гарантированным значением ожидаемого экспоненциального рискаэмитента в момент времени t ∈ N0 .14Очевидно, чтоV 0 , essinfNγN1 ∈D1Q,γ N1esssup I0(S0 ) .Q∈<Nтакую, что P -п.н. выполняется равенствоОпределение.

Пару Q∗ , γ ∗N1Q∗ ,γ ∗N1V 0 = I0(S0 )(0.4)назовем минимаксной бистратегией, при этом вероятностную меру Q∗ -наихудшей, а стратегиюγ ∗NQ∗ , γ ∗N1 -минимаксной. Триплет1 , V 0 , такой, что выполнено равенство (0.4) назовемрешением минимаксной задачи (0.3).В разделе 1.2 устанавливаются условия при выполнении которых V t удовлетворяетнекоторому рекуррентному соотношению.Теорема 1.1. Пусть fN (S• ) − FNS -измеримая, ограниченная, случайная величина.

ТогдаV t , FtS t∈N0 P −п.н. удовлетворяет рекуррентному соотношению V t = essinfγ∈Dt+1esssupE Q V t+1 e−(γ,∆St+1 ) |FtSQ∈<N(0.5) V t |t=N = efN (S• ) .Замечание 2. (0.5)-это рекуррентное соотношение беллмановского типа, которомуудовлетворяет верхнее гарантированное значение ожидаемого экспоненциального рискаэмитента. Оно обосновывает применимость стохастического варианта метода динамическогопрограммирования к решению задачи (0.3).Кроме того, в этом параграфе построены априорные оценки решения рекуррентногосоотношения (0.5).Теорема 1.3.

Пусть:1) выполнены условия теоремы 1.1,2) существует константа c1 > 0 такая, что для любого x• ∈ RN +1 выполнено неравенство|fN (x• )| ≤ c1 ,3) <N ∩ MN 6= ∅.Тогда для любого t ∈ N1 справедливы неравенства P −п.н.e−c1 ≤ V̄t ≤ ec1 .В разделе 1.3 устанавливаются условия существования допустимой минимаксной стратегии.Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и <N ∩ MN 6= ∅. Тогда существуетстратегия {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N такая, что для любого t ∈ N1 справедливы равенства P −п.н.15esssupE Q V t+1 e−(γ,∆St+1 ) |FtS =γ∈D1+1Q∈<Nih∗= esssupE Q V t+1 e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS .V t = essinf(0.6)Q∈<NКроме того, для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N справедливо неравенство∗SV t−1 ≥ E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1P − п.н.(0.7)Из утверждения теоремы 1.4 (см.

(0.7)) следует, что любое ограниченное платежноеобязательство допускает равномерное разложение Дуба, которое справедливо в классеэквивалентных вероятностных мер. Это утверждение составляет основное содержание раздела1.4.Теорема 1.7. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и для любого t ∈ N0 γ ∗t ∈ Dt такое,что выполнено (0.6). Тогда согласованная последовательность Ct∗ , FtS t∈N0 , удовлетворяющаярекуррентному соотношению∆Ct∗ , (γ ∗t , ∆St ) − ∆ ln V t ≥ 0,C0∗ = 0 Q − п.н.,(0.8)для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N является неубывающей, т.е.

∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н., где V t , FtS t∈N0удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.5).Кроме того, относительно любой меры Q ∈ <NfN (S• ) = ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si ) − CN∗Q − п.н.(0.9)i=1Разложение (0.9) в диссертации названо S−опциональным.Замечание 3. В работах Ширяева А. Н. [35], Фельмера Г. и Шида А. [30] установленосправедливость разложения (0.9) относительно любой эквивалентной мартингальной меры, т.е.Q ∈ <N ∩ MN . Из утверждения теоремы 1.7 следует: 1) справедливость разложения (0.9) вклассе эквивалентных вероятностных мер, 2) конструктивный способ нахождения стратегииγ ∗Nи потребления CN∗ , участвующих в разложении (0.9).

Отметим, что доказательство1существования S−опционального разложения является новым.В разделе 1.5 устанавливается критерий существования наихудшей вероятностной меры Q∗ .Определение. Последовательность µt , FtS t∈N0µt , V t exp −tP(γ ∗i , ∆Si ),i=1где V t −удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.5), а {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −минимакснаястратегия, определяемая равенством (0.6), назовем верхней S-оценивающей.16Теорема 1.8. Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда следующие утвержденияэквивалентны:i) Q∗ −наихудшая;ii) для любого t ∈ N1 справедливо равенство Q∗ −п.н.∗Q∗ VV t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1t−1 = E V |= exp {f (S )} ,t t=NN(0.10)•iii) верхняя S-оценивающая последовательностьµt , FtSt∈N0является мартингаломотносительно меры Q∗ .В разделе 1.6 устанавливаются условия существования решения задачи (0.3).Теорема 1.11.

Пусть выполнены условия теоремы 1.8. Тогда существует решениеминимаксной задачи (0.3).Вторая глава посвящена решению задачи расчета европейского опциона на неполноммногомерном рынке с дискретным временем без трения. В ней излагается минимаксный подходк построению суперхеджирующего портфеля и его капитала.В разделе 2.1 приводятся обозначения и определения, необходимые для описанияпостановки задачи расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке без трения.Предполагается, что d-мерная согласованная последовательность {St , Ft }t∈N0 описываетэволюцию стоимости d различных рисковых активов, а также имеется один безрисковый активс доходностью равной нулю и начальной стоимостью равной единице. Такой набор активовназывают 1, S (1) , ..., S (d) −рынком.

Через {β t }t∈N0 обозначим предсказуемую, одномернуюпоследовательность, элементы которой интерпретируют как количество безрискового активав момент времени t ∈ N0 . Элементы предсказуемой d−мерной последовательности γ N1 ,{γ t }t∈N0 интерпретируют как количество рискового актива в момент времени t ∈ N0 .

Наборπ , {β t , γ t }t∈N0 называют портфелем. Капиталом портфеля π в момент времени t ∈ N0на 1, S (1) , ..., S (d) -рынке называют Ft -измеримую, случайную величину, обозначаемую Xtπ иопределяемую равенством [35]Xtπ = β t + (St , γ t ) .(0.11)Портфель π называют самофинансирующим [35], если для любого t ∈ N1 выполнено равенствоP -п.н.∆β t + (St−1 , ∆γ t ) = 0.(0.12)Множество таких самофинансирующих портфелей обозначим через SF .Согласованную, неубывающую последовательность C ,Ct , FtS t∈N0 , где Ct |t=0=0, назовем потреблением.

Набор (π, C) назовем портфелем с потреблением. Капитал17самофинансирующего портфеля с потреблением (π, C) в момент времени t ∈ N0 , обозначаемыйb π , определим равенствомXtbtπ = Xt(π) − Ct .X(0.13)Самофинансирующийпортфельспотреблением(π, C)наОпределение.1, S (1) , ..., S (d) −рынке в задаче расчета европейского опциона с платежным обязательствомfN (S• ) называют хеджирующим, если в момент времени N выполняется неравенствоbNπfN (S• ) ≤ XP − п.н.Определение.

Хеджирующий портфель с потреблением (π, C) называют совершенным,еслиbNπ = fN (S• )XP − п.н.В разделе 2.2 приводится экономическая интерпретация минимаксного подхода к решениюзадачи расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке без трения.NXОбозначим Θ (S• ) ,(γ i , ∆Si ). Очевидно, что Θ (S• )−FN -измеримая случайная величина,i=1экономический смысл которой - выручка, полученная эмитентом в результате управлениярисковыми активами. Поскольку платежное обязательство fN (S• ) −это выплата которуюдолжен осуществить эмитент опциона в момент его исполнения по требованию покупателяопциона, то, в этом случае, доход эмитента, обозначаемый l (S• ), имеет видl (S• ) , Θ (S• ) − fN (S• ) .Положим ϕ : R+ −→ R+ -функция полезности эмитента - экспоненциальная, т.е.

ϕ (x) ,1 − e−x . Естественно предположить, что значение функции полезности эмитента зависят от егодохода, т.е. ϕ (l (S• )) , ϕ (x) |x=l(S• ) .Предположим, что эмитент опциона разумен в следующем смысле: а) он предполагает,что распределение вероятностей цен рисковых активов такое, что рынок минимизируетего ожидаемую полезность, б) он максимизирует ожидаемую полезность путем выбораNсоответствующей стратегии γ N1 ∈ D1 .Эти предположения приводят нас к следующей задачеE Q ϕ (l (S• )) −→ supinf .(0.14)N Q∈<NγN1 ∈D1Так как функция полезности экспоненциальная, то из (0.14) следуетsupNγN1 ∈D1inf E Q ϕ (l (S• )) = supQ∈<NNγN1 ∈D1inf E Q 1 − e−l(S• ) = 1 − inf"= 1 − infsup ENγN1 ∈D1 Q∈<NQsup E Q e−l(S• ) =NγN1 ∈D1 Q∈<NQ∈<N(exp fN (S• ) −NXi=1)#(γ i , ∆Si ).18Стало быть, задача (0.14) эквивалентна минимаксной задаче (0.3).Отметим, что выбор экспоненциальной функции полезности, зависящей от дохода эмитента,продиктован следующими соображениями: i) во-первых, это связано с установленными в первойглаве условиями существования решения задачи (0.14), ii) во-вторых, такой выбор функцииполезности позволяет "конструктивно"строить суперхеджирующий портфель в динамическойпостановке, т.е.

привести описание эволюции хеджирующего портфеля и соответствующегоему капитала, iii) в третьих, как будет видно далее, этот подход позволяет строитьсуперхеджирующие портфели с минимальным капиталом.В разделе 2.3 устанавливаются условия существования совершенного хеджирующегопортфеля, а также конструктивный способ его построения.Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда существует совершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) такой, что:i) π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N1 −самофинансирующий портфель, где {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −допустимая{β ∗t }t∈N0 −удовлетворяет рекуррентномусоотношению (0.12), где β ∗0 = ln V 0 , а γ ∗0 = 0, причем V t , Ft t∈N0 удовлетворяет рекуррентномустратегия,определяемаяравенством(0.6),асоотношению (0.10); для любого t ∈ N0 капитал допустимого портфеля π ∗ имеет вид∗Xtπ = β ∗t + (γ ∗t , St )Q − п.н.;ii) для любого t ∈ N0 потребление Ct∗ допускает представление Q−п.н. ∆C ∗ = (γ ∗ , ∆S ) − ∆ ln V ≥ 0tttt C ∗ | = 0;(0.15)t t=0btπ∗ самофинансирующего портфеля с потреблениемiii) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N капитал X(π ∗ , C ∗ ) допускает представлениеb π∗ = ln V tXtQ − п.н.,причем:b π∗ = X π∗ − C ∗ Q−п.н.,a) Xtttb)tbtπ∗ = ln V 0 + P (γ ∗i , ∆Si ) − Ct∗XQ − п.н.;i=1iv) самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) является совершенным, т.е.относительно любой Q ∈ <Nb π∗ = fN (S• )XNQ − п.н.В разделе 2.4 устанавливается, что капитал, построенного в разделе 2.3, совершенногосуперхеджирующего портфеля является минимальным.19Определение.

Совершенный самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ),b π∗ , назовем минимальным совершеннымкапитал которого в момент времени t ∈ N0 равен Xtсамофинансирующим портфелем с потреблением, если для любого другого совершенногосамофинансирующего портфеля с потреблением (π, C) (т.е. (π, C) 6= (π ∗ , C ∗ )), капитал которогоb π , для любого t ∈ N0 справедливо неравенство P −п.н.в момент времени t ∈ N0 равен Xtb π∗ ≤ Xb π.XttТеорема 2.4.Пустьвыполненыусловиятеоремы2.3.Тогдасовершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ), определенный соотношениями (0.6),(0.12) является минимальнымЗамечание 4.Утверждениетеоремы2.4устанавливаетусловиясуществованияминимального самофинансирующего портфеля с потреблением и обосновывает выборэкспоненциального риска.В разделе 2.5 приведены два новых примера расчета европейского опциона на одномерномнеполном рынке без трения.В третьей главе устанавливаются свойства наихудшей меры Q∗ : мартингальность,дискретность, единственность.

Характеристики

Список файлов диссертации

Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6354
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее