Диссертация (1137423), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Устанавливается, что Q∗ ∈/ <N . Основываясь на этих свойствахприводится решение задачи расчета европейского опциона на многомерном рынке без тренияотносительно наихудшей меры Q∗ .В разделе 3.1 устанавливаются свойства наихудшей меры Q∗ . Доказано, что наихудшая мераQ∗ является мартингальной.Теорема 3.1. Пусть Q∗ , γ ∗N−минимаксная бистратегия и выполнено любое из условий1теоремы 1.8, т.е. выполняется равенство Q∗ −п.н.∗Q∗ VV t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1t−1 = E V |= exp {f (S )} .t t=N•NТогда Q∗ − мартингальная мера.Также показано, что относительно Q∗ : 1) для любого t ∈ N0 потребление Ct ≡ 0 Q∗ −п.н., 2)любое FN -измеримое, ограниченное платежное обязательство допускает представление∗fN (S• ) = E Q [fN (S• ) |F0 ] +NP(γ ∗i , ∆Si )Q∗ − п.н.(0.16)i=1где γ ∗t , FtS t∈N1 − d-мерная предсказуемая последовательность, определяемая равенством (0.6)(теорема 3.2).

Основываясь на этом утверждении, установлено, что наихудшая меря Q∗является дискретной (теорема 3.3), единственной (теорема 3.4) и не принадлежит классуэквивалентных вероятностных мер (теорема 3.5).20В разделе 3.2 устанавливается, что из условий существования совершенного хеджирующегопортфеля с потреблением (теорема 2.3) и мартингальности наихудшей меры Q∗ (теорема 3.1)следует, что неполный 1, S (1) , ..., S (d) −рынок, относительно любой меры Q ∈ <N , являетсяполным относительно меры Q∗ .Теорема 3.6.

Пусть выполнены условия теорем 2.3, 3.1-3.4. Тогда существует единственнаямартингальная мера Q∗ ∈/ <N относительно которой исходный неполный 1, S (1) , ..., S (d) -рынок(относительно любой меры Q ∈ <N ) является полным.Кроме того в этой главе устанавливаются единственность стратегии {γ ∗t }t∈N1 , определяемой(0.6) (теорема 3.7) и разложения (0.16) (следствие 3.8). Утверждение теоремы 3.9устанавливает вид хеджирующего портфеля π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N1 на Q∗ −полном рынке: количестворискового актива {γ ∗t }t∈N1 удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.6), количествобезрискового актива {β ∗t }t∈N1 удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.12), а потреблениетривиально.В разделе 3.3 строится минимаксный хеджирующий портфель европейского опциона наконечном (1, S) −рынке, в предположении, что доходность рискового актива представляетсобой, относительно базовой меры P , последовательность независимых в совокупностиодинаково распределенных случайных величин, принимающих конечное число значений.В разделе 3.4 приведены примеры решения задачи расчета европейского и барьерногоопционов на компактном (1, S) −рынке когда доходность рискового актива является случайнойвеличиной, имеющей равномерное распределение вероятностей на отрезке [a, b].Четвертая глава посвящена решению задачи расчета европейского опциона с квантильнымкритерием на неполном рынке без трения с дискретным временем.

В ней устанавливается, чтоона сводится к решению двух задач построения совершенного хеджирующего (минимаксногохеджирующего) портфеля, которые рассматриваются на одном и том же рынке. Первая –это задача построения совершенного хеджирующего (минимаксного хеджирующего) портфеляевропейского опциона на многомерном неполном рынке с заданным (исходным) платежнымобязательством. Вторая – это задача построения совершенного хеджирующего (минимаксногохеджирующего) портфеля барьерного опциона.В разделе 4.1 приводятся расчеты совершенного хеджирующего и минимаксного портфелейдля барьерного опциона на неполном многомерном рынке, которые опираются на результатыглав два и три.Во разделе 4.2 обосновывается расчет совершенного хеджирующего портфеля европейскогоопциона с квантильным критерием, а также приводятся формулы, с помощью которыхнаходятся квантильный совершенный хеджирующий портфель, его капитал и стоимостьопциона.21Пусть κt , FtS t∈N0 −согласованная последовательность имеющая ограниченную вариацию.Пару (π, κ) назовем самофинансирующим портфелем с ограниченной вариацией, если π ∈ SF ,а κt , FtS t∈N0 -последовательность с ограниченной вариацией относительно меры Q ∈ <N .Капитал портфеля с ограниченной вариацией (π, κ) в момент времени t ∈ N0 обозначим через(π,κ)Xtи определим равенством(π,κ)Xt(π)= Xt− κt ,(π)где Xt -капитал портфеля π ∈ SF в момент времени t ∈ N0 , а κt -последовательность сограниченной вариацией.Определение.Решениемзадачирасчетаевропейскогоопционасплатежнымобязательством fN (S• ) на многомерном неполном рынке без трения с квантильнымкритерием уровня 1 − α, где α ∈ (0, 1), относительно любой меры Q ∈ <N назовем дуплет(π α ,χα )(π α ,χα )X0, (π α , χα ) , где X0−начальный капитал, (π α , χα ) −самофинансирующий портфель(π α ,χα )с ограниченной вариацией, капитал которого в момент времени N XNудовлетворяетнеравенству относительно любой меры Q ∈ <N(π α ,χα )≥ fN (S• ) ≥ 1 − α.Q XNПри этом портфель (π α , χα ) назовем квантильным хеджирующим уровня 1−α, а множествоno(π α ,χα )ω ∈ Ω : XN≥ fN (S• ) −множеством успешного хеджирования.Теорема 4.1.

Пусть выполнены условия теоремы 2.3 и для любого α ∈ (0, 1) найдутся(j)λi∈ R+ , j = 1, d, i ∈ N0 такие,! что относительно любой меры Q ∈ <N выполняютсяNd\ \ (j)(j)S i ≥ λi≥ 1 − α. Тогда существует решение задачи расчетанеравенства Qi=1 j=1европейского опциона с квантильным критерием уровня 1 − α и платежным обязательствомfN (S• ).Также приводится способ построения квантильного хеджирующего портфеля уровня 1 −α, который опирается на: i) решение задачи расчета европейского опциона с платежнымобязательством fN (S• ), ii) решение задачи расчета барьерного опциона.В разделе 4.3 дается определение того, что мы будем понимать под минимаксным решениемзадачи расчета европейского опциона с квантильным критерием на многомерном рынке безтрения относительно экстремальной меры и устанавливаются условия существования данногорешения.Определение.

Квантильным минимаксным решением задачи расчета европейскогоопциона уровня 1 − α на многомерном рынке без трения c платежным обязательством fN (S• )αназовем триплет X0π , π α , Q∗ , где портфель π α ∈ SF , Q∗ −наихудшая мера такие, что для22αкапитала XNπ портфеля π α , справедливо неравенствоαQ∗ XNπ ≥ fN (S• ) ≥ 1 − α,где α ∈ (0, 1).

Портфель π α назовем минимаксным квантильным уровня 1 − α.Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.6 и для любого α ∈ (0, 1) найдутся!N \d \(j)(j)(j)≥ 1 − α,λi ∈ R+ , j = 1, d, i ∈ N0 такие, что справедливо неравенство Q∗Si ≥ λii=1 j=1где Q∗ −наихудшая мера. Тогда для любого ограниченного платежного обязательства fN (S• )существует квантильное минимаксное решение задачи расчета европейского опциона уровня1 − α.Также приводится способ построения минимаксного квантильного портфеля уровня 1 −α который опирается на решение задачи расчета европейского опциона с платежнымобязательством fN (S• ) и решение задачи расчета барьерного опциона.В разделе 4.4 приведены новые примеры расчета квантильного хеджирующего портфеля иминимаксного квантильного портфеля уровня 1 − α в задаче расчета европейского опциона нанеполном одномерном рынке.БлагодарностьРабота выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессораВладимира Минировича Хаметова, которому автор выражает искреннюю благодарность запомощь в выборе направления исследования и постоянную поддержку в работе над этойдиссертацией.23ГЛАВА 1 Постановка и решение многошаговой, стохастической, минимаксной задачиВведениеДанная глава носит вспомогательный характер по отношению к теории расчета европейскогоопциона на неполном рынке без трения с дискретным временем.

В ней формулируетсязадача нахождения минимаксного значения некоторого нелинейного функционала, заданногона траекториях случайной последовательности, и устанавливаются условия существование еерешения. Она состоит из шести разделов.В разделе 1.1 приводится постановка многошаговой, стохастической, минимаксной задачи.Вразделе1.2обосновываетсяприменимостьстохастическоговариантаметодадинамического программирования к построению решения вышеуказанной многошаговой,стохастической, минимаксной задачи.В разделе 1.3 устанавливаются условия существования минимаксной стратегии.В разделе 1.4 приводятся новые условия существования опционального разложенияотносительно любой меры из класса эквивалентных вероятностных мер.В разделе 1.5 приводится критерий существования наихудшей меры.Вразделе1.6устанавливаютсяусловиясуществованиярешениямногошаговой,стохастической, минимаксной задачи.1.1 Постановка многошаговой, стохастической, минимаксной задачиВ данном разделе приводится постановка многошаговой, стохастической, минимакснойзадачи.1.1.1.

Обозначения и определения.В данном пункте приводятся обозначения и определения, необходимые для описаниямногошаговой, стохастической, минимаксной задачи и ее решения.24Пусть на стохастическом базисе Ω, F, (Ft )t∈N0 , P задана d-мерная (d < ∞) согласованная,случайная последовательность, обозначаемая {St , Ft }t∈N0 . Вероятностную меру P называютбазовой [35]. Положим, что для любого t ∈ N0 σ−алгебра Ft = FtS , σ (Su , u ≤ t).

ПустьfN (S• ) −любая FNS -измеримая случайная величина, здесь S• , (S0 , ..., SN ), а N ∈ N+ −горизонт[30], [35].Пусть на фильтрованном измеримом пространствеΩ, F, FtSt∈N0заданы такжевероятностные меры, эквивалентные мере P . Множество таких вероятностных мер,эквивалентных мере P , обозначим через <N . Без ограничения общности можно считать, чтоP ∈ <N .Математическое ожидание случайной величины Θ (ω) относительно вероятностной мерыQ (P ) ∈ <N обозначим через E Q Θ E P Θ .называют мартингальной, еслиВероятностную меру Q наΩ, F, FtS t∈N0последовательность {St , Ft }t∈N0является локальным мартингалом относительно мерыQ [34].

Множество мартингальных мер обозначим через MN .Через γ N1,{γ t }t∈N1 , N1,{1, 2, ..., N }, обозначим d-мерную F S -предсказуемуюпоследовательность, которую назовем стратегией, а γ t −управлением в момент времени t ∈ N1 .e N ⊆ U N −любое подмножество множестваМножество стратегий обозначим через U1N . Пусть U11ett2 , где t1 , t2 ∈ N1 и t2 ≥ t1 , обозначим сужение множества Ue N настратегий U1N . Через U11ett2 , где γ tt2 , γ t , ..., γ t .{t1 , ..., t2 } ⊆ N1 и будем использовать обозначение γ tt21 ∈ U1112NNОпределение. Пару Q, γ 1 ∈ <N ×U1 назовем бистратегией, а при t ∈ N1 пару Q, γ Nt+1 ∈e N − t-стратегией.e N − t-бистратегией, где γ N ∈ U<N × Ut+1t+1t+1Пусть f : Rd(N +1) → R1 −борелевская функция, обозначаемая f (x0 , ..., xN ) , xi ∈ Rd , i = 0, N .Обозначим fN (S• ) , f (x0 , ..., xN ) |xi =Si i=0,N .

Характеристики

Список файлов диссертации