Диссертация (1137423), страница 3
Текст из файла (страница 3)
А. [26] для случая одномерного полного рынка обоснован методрасчета стоимости опциона и хеджирующей стратегии. В работе Фельмера Г., Леукерта П.[60] рассматривается статическая постановка задачи минимизации стоимости опциона призаданной вероятности исполнения платежного обязательства. В ней утверждается, что решениевышеуказанной задачи совпадает с решением задачи расчета европейского опциона с некоторыммодифицированным платежным обязательством. Для построения последнего используетсялемма Неймана-Пирсона.В работе Григорьева П.
В., Кана Ю. С. [9] рассматривается двухшаговая задачаоптимального управления двумя видами активов с квантильным критерием качества, впредположении о равномерном распределении доходности рискового актива. На основерезультатов работы [18] строится аналитическое решение задачи управления портфелем ценныхбумаг которое принадлежит классу марковских стратегий.В статье Кибзуна А. И., Наумова А. В., Норкина В. И. [22] для одномерного рынкас горизонтом равным единице установлены условия, при выполнении которых задачаквантильного хеджирования сводится к задаче частично целочисленного программирования.Неполные рынки без трения с дискретным временем.Суперхеджирование. В работах Нейка В.
[76], Дэлбаена Ф. и Шахермайера В.[54]рассматривается задача расчета европейского опциона в статической постановке. В них,для семимартингальной модели рынка с конечным числом активов и ограниченным снизуплатежным обязательством f , доказывается, что верхняя стоимость опциона C0sup допускаетпредставлениеC0sup = sup E Q f,(0.1)Q∈M(S)гдеM (S) −множествоэквивалентныхлокальномартингальныхмер,заданныхна11траекториях цен рисковых активов. В работе Дэлбаена Ф. и Шахермайера В.
[55]устанавливается справедливость формулы (0.1) в которой верхняя грань берется по множествуσ−мартингальных вероятностных мер. В работах Ширяева А. Н. [35], Фельмера Г. и ШидаА. [30] выводится формула для верхней стоимости опциона когда платежное обязательствоявляется неотрицательной ограниченной функцией. Кроме того, в них устанавливаютсяусловия существования суперхеджирующего портфеля в классе эквивалентных мартингальныхмер.В статье Бизида А. и Джуни Е.
[43] для семимартингальной модели рынка, когда"короткие продажи"запрещены (т.е. взятие взаймы некоторого количества рискового активаневозможно), рассматривается задача расчета европейского опциона в статической постановкеи для ограниченного снизу платежного обязательства выведена формула верхней стоимостиопциона.В статье Рушендорфа Л. [80] рассматривается задача расчета европейского опциона нанеполном рынке в статической постановке.
В ней выведены формулы, позволяющие найтиоценки сверху и снизу стоимости опциона.В статье Гущина А. А. и Мордецки Э. [12] рассматривается задача расчета европейскогоопциона в статической постановке. В одномерной семимартингальной модели (B, S)-рынкаустановлены условия когда нижняя и верхняя стоимости опциона достигаются.В работе Эберлейна Е., Папантолеоне А., Ширяева А.
Н. [56] рассматривается задачарасчета европейского опциона в статической постановке. Для одномерной семимартингальноймодели рынка, когда цены рисковых активов описываются процессом с независимымиприращениями, устанавливаются условия существования паритета опционов колл и пут:европейского, американского, азиатского типов.В диссертации Хасанова Р. В. [33] рассматривается задача расчета европейского опциона намногомерном рынке в статической постановке.
В предположении, что цены рисковых активовявляются семимартингалами, выведена формула верхней стоимости опционаC0sup = sup Ef ZT = sup Ef ZT ,Z∈ℵlZ∈ℵσгде ℵl , ℵσ -множества локально мартингальных и σ-мартингальных плотностей, соответственно.Показано, что разделяющая мера является конечно-аддитивной.В статье Пенкнера Е. [39] рассматривается задача расчета европейского опциона нанеполном многомерном рынке с дискретным временем в статической постановке. В нейустанавливаются условия, при выполнении которых задача нахождения нижней стоимостиопциона эквивалентна задаче Монжа-Канторовича [19].Квантильное суперхеджирование. Задаче расчета европейского опциона с квантильным12критерием на неполном рынке без трения посвящены работы ряда авторов: Фельмера Г., ШидаА., Леукерта П., Каратзаса И., Янга Дж. ([30], [50], [51], [60], [61], [73]).
В них рассматриваетсястатическая постановка задачи расчета европейского опциона с вероятностным критерием наодномерном неполном рынке: P (A (x, π, f )) → max,x < E P BfN(0.2)где x−начальный капитал которым обладает эмитент, XNπ (x) −капитал эмитента в моментвремени N при использовании портфеля π и начальном капитале равном x, BN −стоимостьбезрискового актива в момент времени N , A (x, π, f ) , {ω ∈ Ω : XNπ (x) ≥ f } −множествоуспешного хеджирования.
Показано, что решение задачи (0.2) совпадает с решением задачисуперхеджирования европейского опциона с некоторым модифицированным платежнымобязательством, равным произведению исходного платежного обязательства f на индикаторнекоторого множества.В работе Азанова В. М. и Кана Ю. С. [1] рассматривается задача максимизации вероятностидостижения заданного уровня размера капитала при фиксированном начальном капитале.Установлены соотношения для оптимальной стратегии.Отметим, что в большинстве работ, задача расчета европейского опциона на неполном рынкебез трения, рассматривается в статической постановке.
Последнее позволяет найти формулыверхней (нижней) стоимости опциона или их оценки. Однако такой подход не позволяетответить на вопрос о виде хеджирующего портфеля и соответствующего ему капитала.Стоит отметить, что квантильный подход применяется не только в задачах финансовойматематики, но и в физике, например, в задаче управления орбитальными спутниками (см.работы [2], [3]).Краткое содержание работыДиссертация посвящена решению задачи построения управления портфелем активовевропейского опциона на многомерном неполном рынке без трения с дискретным временемоптимальным в смысле минимаксного критерия.Во введении обосновывается выбор темы диссертации и ее актуальность, а также данобзор современного состояния теории расчета европейского опциона с дискретным временем нанеполных безарбитражных рынках без трения.В первой главе рассматривается многошаговая минимаксная задача и устанавливаютсяусловия существование ее решения.
Это новая задача и, как следует из дальнейших результатов,ее решение позволяет обосновать расчет европейского опциона на неполном рынке без трения.В разделе 1.1 приводится постановка многошаговой минимаксной задачи.Пусть {St }t∈N0 , N0 , {0, ..., N } − d−мерная случайная последовательность, γ N0 , {γ t }t∈N013−d-мерная предсказуемая последовательность, fN : Rd(N +1) → R1 −ограниченная борелевскаяфункция, обозначаемая fN (x0 , ..., xN ).
Обозначим fN (S• ) = fN (x0 , ..., xN )xi =Sii=0,N .Безограничения общности будем считать: 1) что для любого t ∈ N0 σ−алгебра Ft = FtS ,где FtS , σ (Su , u ≤ t), 2) последовательность {St , Ft }t∈N0 − d-мерный семимартингал. dмерную F S -предсказуемую последовательность γ N1 = {γ t }t∈N1 назовем стратегией, а элементыэтой последовательности γ t −управлением в момент времени t ∈ N0 . Пусть <N -множествовероятностных мер, эквивалентных некоторой базовой мере P . Без ограничения общностиможно считать, что P ∈ <N .
Пусть MN - множество мартингальных мер. Пусть Q ∈ <N , паруQ, γ Nназовем бистратегией. Обозначим1"()#NXQ,γ NIt t+1 S0t , E Q exp fN (S• ) −(γ i , ∆Si ) |FtS ,i=t+1где (γ t , ∆St ) −имеет экономический смысл выручки,получаемой эмитентом() в момент времениNXt ∈ N1 , при использовании управления γ t , exp fN (S• ) −(γ i , ∆Si ) −экспоненциальныйi=t+1рискэмитентаприиспользованииимстратегииγN1 ,аQ,γ Nt+1It(S0t ) −ожидаемыйэкспоненциальный риск эмитента относительно меры Q ∈ <N .Пару fN (S• ) и γ N1 назовем допустимыми, если P -п.н.Q,γ N1esssup I0(S0 ) < ∞.Q∈<NМножестводопустимыхрассматриваетсяслучайfN (S• )(−допустимо.D1N ,dNγN:1 ∈ RстратегийобозначаетсяfN (S• ) −ограниченнаякогдачерезслучайнаяD1N .величина.Следовательнодопустимыхстратегий#)"( множество)NX(γ i , ∆Si ) |F0S < ∞ P − п.н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
