Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137423), страница 10

Файл №1137423 Диссертация (Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке) 10 страницаДиссертация (1137423) страница 102019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Капиталом портфеля с потреблением (π, C) в момент времени t ∈ N0btπ , определяемую равенствомназовем величину, обозначаемую через Xbtπ = Xtπ − Ct .X(2.3)Из вышеприведенных определений немедленно следует, что капитал портфеля спотреблением (π, C) на 1, S (1) , ..., S (d) -рынке в любой момент времени t ∈ N0 допускаетпредставление P −п.н.tbπ = Xb π + P (γ i , ∆Si ) − CtXt0(2.4)i=1Определение.Самофинансирующийпортфельспотреблением(π, C)называютсовершенным, еслиbNπ = fN (S• )XP − п.н.(2.5)Определение. Самофинансирующий портфель π на1, S (1) , ..., S (d) −рынке в задачерасчета европейского опциона с платежным обязательством fN (S• ) называют хеджирующим,если в момент времени N выполняется неравенствоfN (S• ) ≤ XNπP − п.н.2.1.2 В данном пункте приводится формулировка задачи построения хеджирующегосамофинансирующего портфеля европейского опциона на неполном рынке без трения,47имеющего минимальную стоимость и который обеспечивает достоверное исполнениеплатежного обязательства относительно любой меры Q ∈ <N .

Это нас приводит к следующемуопределению.Определение.[35] Ценой европейского опциона на неполном 1, S (1) , ..., S (d) −рынке безтрения с FNS −измеримым платежным обязательством fN (S• ) называют F0S −измеримуюслучайную величину, обозначаемую CN∗ (fN , P ), такую, чтоCN∗ (fN , P ) , essinf {X0 − F0 -измеримая случайная величина:∃π ∈ SF причем X0π = X0 и XNπ ≥ fN (S• ) P − п.н.} .Определение. Портфель π ∈ SF называют суперхеджирующим, если относительно любоймеры Q ∈ <N выполняется неравенствоXNπ ≥ fN (S• ) Q − п.н.причем начальный капитал X0π при которым данное неравенство выполняется являетсяминимальным.Замечания 13.

1) Условие существования суперхеджирующего портфеля европейскогоопциона на неполном рынке без трения было установлено в [70]. Оно следует из опционального(равномерного) разложения Дуба. Подробное описание этого утверждения можно найти в [30],[35].2) В [30], [35], [70] и ряде других работ установлены условия существованиясуперхеджирующих портфелей которые труднопроверяемы. Кроме того, в них отсутствуют:i) конструктивное описание их построения, ii) методика вычисления CN∗ (fN , P ).3) В этой главе предложен и другой подход к решению вышеуказанной задачи, которыйсущественным образом опирается на результаты, полученные в главе 1.2.2 Максиминный подход к решению задачи расчета европейского опциона на многомерномнеполном рынке без трения и задача (1.4)2.2.1 Описание контракта купли (продажи) европейского опциона известно [35].

Из негоследует, что покупатель играет пассивную роль в исполнении этого контракта, котороеполностью зависит от стратегии управления портфелем активовэмитентом в условиях48когда распределение цен рисковых активов, в худшем случае, неизвестно. Поэтому задачарасчета европейского опциона на неполном рынке решается исходя из следующего соображения:эмитент должен извлечь максимальную пользу от его продажи даже в неблагоприятном (дляэмитента) распределении цен рисковых активов.

Эти соображения приводят нас к следующейпостановке задачи.Обозначим Θ (S• ) ,NX(γ i , ∆Si ). Очевидно, что Θ (S• )−FN -измеримая случайная величина,i=1экономический смысл которой - выручка, полученная эмитентом в результате управлениярисковыми активами. Поскольку платежное обязательство fN (S• ) −это выплата которуюдолжен осуществить эмитент опциона в момент его исполнения по требованию покупателяопциона, то, в этом случае, доход эмитента, обозначаемый l (S• ), имеет видl (S• ) , Θ (S• ) − fN (S• ) .Положим ϕ : R+ −→ R+ -функция полезности эмитента - экспоненциальная, т.е. ϕ (x) ,1 − e−x . Естественно предположить, что значение функции полезности эмитента зависят от егодохода, т.е. ϕ (l (S• )) , ϕ (x) |x=l(S• ) .Поскольку опцион торгуется на рынке, то очевидно, что в его исполнении важную рольиграет рынок, который полностью описывается распределением вероятностей цен рисковыхактивов Q.

Как и в главе 1, здесь мы предполагаем, что Q ∈ <N , где <N −множествоэквивалентных вероятностных мер.Предположим, что эмитент опциона разумен в следующем смысле: а) он предполагает,что распределение вероятностей цен рисковых активов такое, что рынок минимизируетего ожидаемую полезность, б) он максимизирует ожидаемую полезность путем выбораNсоответствующей стратегии γ N1 ∈ D1 .Эти предположения приводят нас к следующей задачеE Q ϕ (l (S• )) −→ supinf .(2.6)N Q∈<NγN1 ∈D1Так как функция полезности экспоненциальная, то из (2.6) следуетsupNγN1 ∈D1inf E Q ϕ (l (S• )) = supQ∈<NNγN1 ∈D1inf E Q 1 − e−l(S• ) = 1 − inf"= 1 − inf(sup E Q exp fN (S• ) −NγN1 ∈D1 Q∈<Nsup E Q e−l(S• ) =NγN1 ∈D1 Q∈<NQ∈<NNX)#(γ i , ∆Si ).i=1Стало быть, задача (2.6) эквивалентна минимаксной задаче (1.4).2.2.2 Замечания 14.

1) Отметим теперь, что выбор экспоненциальной функции полезности,зависящей от дохода эмитента, продиктован следующими соображениями: i) во-первых,49это связано с установленными в главе 1 условиями существования решения задачи(2.6), ii) во-вторых, такой выбор функции полезности позволяет "конструктивно"строитьсуперхеджирующий портфель в динамической постановке, т.е. привести описание эволюциихеджирующего портфеля и соответствующего ему капитала, iii) в третьих, как будет видноиз дальнейшего изложения, этот подход позволяет строить суперхеджирующие портфели сминимальным капиталом (смотри раздел 2.4).2)Отметим,чторешениезадачи(2.6)устанавливаетусловиясуществованиясуперхеджирующего портфеля и соответствующего ему капитала, а также устанавливаетзначение стоимости опциона на неполном рынке без трения.3) В вышеуказанных работах используется принцип справедливости, в соответствии скоторым строится теория расчета европейского опциона, и который позволяет определитьстоимость опциона.

Отличительной особенностью, предлагаемого в этой главе подхода,является то, что используется минимаксный принцип в выборе стратегий управленияпортфелем активов.2.3 Условия существования совершенного самофинансирующего портфеля с потреблением взадаче расчета европейского опциона на многомерном неполном рынке без тренияВэтомразделемыустанавливаемусловиясуществованиясовершенногосамофинансирующего портфеля с потреблением. В нем также устанавливается связьмежду решением многошаговой, стохастической, минимаксной задачи (1.4) рассмотренной впервой главе и решением задачи расчета европейского опциона на неполном многомерномрынке без трения когда полезность эмитента экспоненциальна.2.3.1 В данном пункте, основываясь на утверждении теоремы 1.4, приводится способпостроения совершенного самофинансирующего портфеля с потреблением.Теорема 2.3.

Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда существует совершенныйсамофинансирующего портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) такой, что:i) π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N1 −самофинансирующий портфель, где {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −допустимаястратегия, определяемая равенством (1.29), а {β ∗t }t∈N0 −удовлетворяет рекуррентномусоотношению Q−п.н. ∆β ∗ + (S , ∆γ ∗ ) = 0t−1tt β ∗| = β ∗,t t=00(2.7)50где β ∗0 = ln V 0 , а γ ∗0 = 0, причем V t , Ft t∈N0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7);для любого t ∈ N0 капитал допустимого портфеля π ∗ имеет вид∗Xtπ = β ∗t + (γ ∗t , St )Q − п.н.;ii) для любого t ∈ N0 потребление Ct∗ допускает представление Q−п.н. ∆C ∗ = (γ ∗ , ∆S ) − ∆ ln V ≥ 0tttt C ∗ | = 0;(2.8)(2.9)t t=0btπ∗ самофинансирующего портфеля с потреблениемiii) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N капитал X(π ∗ , C ∗ ) допускает представлениеb π∗ = ln V tXtQ − п.н.,(2.10)причем:btπ∗ = Xtπ∗ − Ct∗ Q−п.н.,a) Xb)tb π∗ = ln V 0 + P (γ ∗ , ∆Si ) − C ∗XtitQ − п.н.;(2.11)i=1iv) самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) является совершенным, т.е.относительно любой Q ∈ <Nb π∗ = fN (S• )XNQ − п.н.(2.12)2.3.2 Замечания 15.

1) Утверждение теоремы 2.3. отличается от соответствующихутверждений, приведенных в [30], [35] и ряде других работ тем, что: i) оно справедливоотносительно более широкого класса вероятностных мер Q ∈ <N , причем |<N ∩ MN | ≥ 1, ii) нетребует супермартингальной характеризации цены опциона относительно любой меры Q ∈ <N .2) Теорема 2.3 устанавливает связь между решением минимаксной задачей, рассмотреннойв главе один (см. (1.4)), и задачей построения самофинансирующего портфеля с потреблениемна неполном многомерном рынке без трения.3) Основная трудность, связанная с применением теоремы 2.3, состоит в вычислении ценыевропейского опциона на неполном рынке без транзакционных издержек в любой моментвремени t ∈ N0 , т.е.

нахождении ln V t −решения рекуррентного соотношения (1.7).2.3.3 Доказательство теоремы 2.3. Из утверждения теоремы 1.4. следует, что существуетстратегия {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N , удовлетворяющая (1.29). Поэтому для любого t ∈ N1 , в силу (2.1),определена предсказуемая последовательность {β ∗t }t∈N0∆β ∗t = − (St−1 , ∆γ ∗t ) ,β ∗t |t=0 = β ∗0 .(2.13)51Значение величины β ∗0 мы установим позже. Стало быть, мы построили допустимыйсамофинансирующий портфель π ∗ = (β ∗t , γ ∗t )t∈N0 .

Поэтому, в соответствии с формулой (2.2)∗для любого t ∈ N0 капитал Xtπ портфеля π ∗ имеет вид∗Xtπ = β ∗t + (γ ∗t , St ) .(2.14)∗Значит для любого t ∈ N1 приращение капитала портфеля π ∗ ∆Xtπ t∈N1 имеет вид Q−п.н.∗∗∗π= ∆β ∗t + ∆ (γ ∗t , St ) .∆Xtπ , Xtπ − Xt−1(2.15)(2.15) с учетом (2.13), относительно любой меры Q ∈ <N , можно записать в виде∗∆Xtπ = (γ ∗t , ∆St )Q − п.н.(2.16)Из утверждения теоремы 1.7 (смотри формулу (1.46)) следует, что для любого t ∈ N1(γ ∗t , ∆St ) = ∆ ln V t + ∆Ct∗Q − п.н.,(2.17)где (Ct∗ , Ft )t∈N0 −последовательность такая, что: i) C0∗ = 0, ii) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <Nсправедливо неравенство ∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н.

Характеристики

Список файлов диссертации

Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее