Диссертация (1137423), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Капиталом портфеля с потреблением (π, C) в момент времени t ∈ N0btπ , определяемую равенствомназовем величину, обозначаемую через Xbtπ = Xtπ − Ct .X(2.3)Из вышеприведенных определений немедленно следует, что капитал портфеля спотреблением (π, C) на 1, S (1) , ..., S (d) -рынке в любой момент времени t ∈ N0 допускаетпредставление P −п.н.tbπ = Xb π + P (γ i , ∆Si ) − CtXt0(2.4)i=1Определение.Самофинансирующийпортфельспотреблением(π, C)называютсовершенным, еслиbNπ = fN (S• )XP − п.н.(2.5)Определение. Самофинансирующий портфель π на1, S (1) , ..., S (d) −рынке в задачерасчета европейского опциона с платежным обязательством fN (S• ) называют хеджирующим,если в момент времени N выполняется неравенствоfN (S• ) ≤ XNπP − п.н.2.1.2 В данном пункте приводится формулировка задачи построения хеджирующегосамофинансирующего портфеля европейского опциона на неполном рынке без трения,47имеющего минимальную стоимость и который обеспечивает достоверное исполнениеплатежного обязательства относительно любой меры Q ∈ <N .
Это нас приводит к следующемуопределению.Определение.[35] Ценой европейского опциона на неполном 1, S (1) , ..., S (d) −рынке безтрения с FNS −измеримым платежным обязательством fN (S• ) называют F0S −измеримуюслучайную величину, обозначаемую CN∗ (fN , P ), такую, чтоCN∗ (fN , P ) , essinf {X0 − F0 -измеримая случайная величина:∃π ∈ SF причем X0π = X0 и XNπ ≥ fN (S• ) P − п.н.} .Определение. Портфель π ∈ SF называют суперхеджирующим, если относительно любоймеры Q ∈ <N выполняется неравенствоXNπ ≥ fN (S• ) Q − п.н.причем начальный капитал X0π при которым данное неравенство выполняется являетсяминимальным.Замечания 13.
1) Условие существования суперхеджирующего портфеля европейскогоопциона на неполном рынке без трения было установлено в [70]. Оно следует из опционального(равномерного) разложения Дуба. Подробное описание этого утверждения можно найти в [30],[35].2) В [30], [35], [70] и ряде других работ установлены условия существованиясуперхеджирующих портфелей которые труднопроверяемы. Кроме того, в них отсутствуют:i) конструктивное описание их построения, ii) методика вычисления CN∗ (fN , P ).3) В этой главе предложен и другой подход к решению вышеуказанной задачи, которыйсущественным образом опирается на результаты, полученные в главе 1.2.2 Максиминный подход к решению задачи расчета европейского опциона на многомерномнеполном рынке без трения и задача (1.4)2.2.1 Описание контракта купли (продажи) европейского опциона известно [35].
Из негоследует, что покупатель играет пассивную роль в исполнении этого контракта, котороеполностью зависит от стратегии управления портфелем активовэмитентом в условиях48когда распределение цен рисковых активов, в худшем случае, неизвестно. Поэтому задачарасчета европейского опциона на неполном рынке решается исходя из следующего соображения:эмитент должен извлечь максимальную пользу от его продажи даже в неблагоприятном (дляэмитента) распределении цен рисковых активов.
Эти соображения приводят нас к следующейпостановке задачи.Обозначим Θ (S• ) ,NX(γ i , ∆Si ). Очевидно, что Θ (S• )−FN -измеримая случайная величина,i=1экономический смысл которой - выручка, полученная эмитентом в результате управлениярисковыми активами. Поскольку платежное обязательство fN (S• ) −это выплата которуюдолжен осуществить эмитент опциона в момент его исполнения по требованию покупателяопциона, то, в этом случае, доход эмитента, обозначаемый l (S• ), имеет видl (S• ) , Θ (S• ) − fN (S• ) .Положим ϕ : R+ −→ R+ -функция полезности эмитента - экспоненциальная, т.е. ϕ (x) ,1 − e−x . Естественно предположить, что значение функции полезности эмитента зависят от егодохода, т.е. ϕ (l (S• )) , ϕ (x) |x=l(S• ) .Поскольку опцион торгуется на рынке, то очевидно, что в его исполнении важную рольиграет рынок, который полностью описывается распределением вероятностей цен рисковыхактивов Q.
Как и в главе 1, здесь мы предполагаем, что Q ∈ <N , где <N −множествоэквивалентных вероятностных мер.Предположим, что эмитент опциона разумен в следующем смысле: а) он предполагает,что распределение вероятностей цен рисковых активов такое, что рынок минимизируетего ожидаемую полезность, б) он максимизирует ожидаемую полезность путем выбораNсоответствующей стратегии γ N1 ∈ D1 .Эти предположения приводят нас к следующей задачеE Q ϕ (l (S• )) −→ supinf .(2.6)N Q∈<NγN1 ∈D1Так как функция полезности экспоненциальная, то из (2.6) следуетsupNγN1 ∈D1inf E Q ϕ (l (S• )) = supQ∈<NNγN1 ∈D1inf E Q 1 − e−l(S• ) = 1 − inf"= 1 − inf(sup E Q exp fN (S• ) −NγN1 ∈D1 Q∈<Nsup E Q e−l(S• ) =NγN1 ∈D1 Q∈<NQ∈<NNX)#(γ i , ∆Si ).i=1Стало быть, задача (2.6) эквивалентна минимаксной задаче (1.4).2.2.2 Замечания 14.
1) Отметим теперь, что выбор экспоненциальной функции полезности,зависящей от дохода эмитента, продиктован следующими соображениями: i) во-первых,49это связано с установленными в главе 1 условиями существования решения задачи(2.6), ii) во-вторых, такой выбор функции полезности позволяет "конструктивно"строитьсуперхеджирующий портфель в динамической постановке, т.е. привести описание эволюциихеджирующего портфеля и соответствующего ему капитала, iii) в третьих, как будет видноиз дальнейшего изложения, этот подход позволяет строить суперхеджирующие портфели сминимальным капиталом (смотри раздел 2.4).2)Отметим,чторешениезадачи(2.6)устанавливаетусловиясуществованиясуперхеджирующего портфеля и соответствующего ему капитала, а также устанавливаетзначение стоимости опциона на неполном рынке без трения.3) В вышеуказанных работах используется принцип справедливости, в соответствии скоторым строится теория расчета европейского опциона, и который позволяет определитьстоимость опциона.
Отличительной особенностью, предлагаемого в этой главе подхода,является то, что используется минимаксный принцип в выборе стратегий управленияпортфелем активов.2.3 Условия существования совершенного самофинансирующего портфеля с потреблением взадаче расчета европейского опциона на многомерном неполном рынке без тренияВэтомразделемыустанавливаемусловиясуществованиясовершенногосамофинансирующего портфеля с потреблением. В нем также устанавливается связьмежду решением многошаговой, стохастической, минимаксной задачи (1.4) рассмотренной впервой главе и решением задачи расчета европейского опциона на неполном многомерномрынке без трения когда полезность эмитента экспоненциальна.2.3.1 В данном пункте, основываясь на утверждении теоремы 1.4, приводится способпостроения совершенного самофинансирующего портфеля с потреблением.Теорема 2.3.
Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда существует совершенныйсамофинансирующего портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) такой, что:i) π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N1 −самофинансирующий портфель, где {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −допустимаястратегия, определяемая равенством (1.29), а {β ∗t }t∈N0 −удовлетворяет рекуррентномусоотношению Q−п.н. ∆β ∗ + (S , ∆γ ∗ ) = 0t−1tt β ∗| = β ∗,t t=00(2.7)50где β ∗0 = ln V 0 , а γ ∗0 = 0, причем V t , Ft t∈N0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7);для любого t ∈ N0 капитал допустимого портфеля π ∗ имеет вид∗Xtπ = β ∗t + (γ ∗t , St )Q − п.н.;ii) для любого t ∈ N0 потребление Ct∗ допускает представление Q−п.н. ∆C ∗ = (γ ∗ , ∆S ) − ∆ ln V ≥ 0tttt C ∗ | = 0;(2.8)(2.9)t t=0btπ∗ самофинансирующего портфеля с потреблениемiii) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N капитал X(π ∗ , C ∗ ) допускает представлениеb π∗ = ln V tXtQ − п.н.,(2.10)причем:btπ∗ = Xtπ∗ − Ct∗ Q−п.н.,a) Xb)tb π∗ = ln V 0 + P (γ ∗ , ∆Si ) − C ∗XtitQ − п.н.;(2.11)i=1iv) самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) является совершенным, т.е.относительно любой Q ∈ <Nb π∗ = fN (S• )XNQ − п.н.(2.12)2.3.2 Замечания 15.
1) Утверждение теоремы 2.3. отличается от соответствующихутверждений, приведенных в [30], [35] и ряде других работ тем, что: i) оно справедливоотносительно более широкого класса вероятностных мер Q ∈ <N , причем |<N ∩ MN | ≥ 1, ii) нетребует супермартингальной характеризации цены опциона относительно любой меры Q ∈ <N .2) Теорема 2.3 устанавливает связь между решением минимаксной задачей, рассмотреннойв главе один (см. (1.4)), и задачей построения самофинансирующего портфеля с потреблениемна неполном многомерном рынке без трения.3) Основная трудность, связанная с применением теоремы 2.3, состоит в вычислении ценыевропейского опциона на неполном рынке без транзакционных издержек в любой моментвремени t ∈ N0 , т.е.
нахождении ln V t −решения рекуррентного соотношения (1.7).2.3.3 Доказательство теоремы 2.3. Из утверждения теоремы 1.4. следует, что существуетстратегия {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N , удовлетворяющая (1.29). Поэтому для любого t ∈ N1 , в силу (2.1),определена предсказуемая последовательность {β ∗t }t∈N0∆β ∗t = − (St−1 , ∆γ ∗t ) ,β ∗t |t=0 = β ∗0 .(2.13)51Значение величины β ∗0 мы установим позже. Стало быть, мы построили допустимыйсамофинансирующий портфель π ∗ = (β ∗t , γ ∗t )t∈N0 .
Поэтому, в соответствии с формулой (2.2)∗для любого t ∈ N0 капитал Xtπ портфеля π ∗ имеет вид∗Xtπ = β ∗t + (γ ∗t , St ) .(2.14)∗Значит для любого t ∈ N1 приращение капитала портфеля π ∗ ∆Xtπ t∈N1 имеет вид Q−п.н.∗∗∗π= ∆β ∗t + ∆ (γ ∗t , St ) .∆Xtπ , Xtπ − Xt−1(2.15)(2.15) с учетом (2.13), относительно любой меры Q ∈ <N , можно записать в виде∗∆Xtπ = (γ ∗t , ∆St )Q − п.н.(2.16)Из утверждения теоремы 1.7 (смотри формулу (1.46)) следует, что для любого t ∈ N1(γ ∗t , ∆St ) = ∆ ln V t + ∆Ct∗Q − п.н.,(2.17)где (Ct∗ , Ft )t∈N0 −последовательность такая, что: i) C0∗ = 0, ii) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <Nсправедливо неравенство ∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
