Диссертация (1137423), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Поэтому (2.16) с учетом (2.17) примет вид Q−п.н.∗∆ Xtπ − ln V t − Ct∗ = 0.Из последнего равенства следует, что для любого t ∈ N0∗∗Xtπ − ln V t − Ct∗ = X0π − ln V 0 − C0∗Q − п.н.(2.18)Положим∗X0π = ln V 0Q − п.н.(2.19)Тогда из (2.18), (2.19) и равенства C0∗ = 0 следует, что для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N справедливоравенство∗Xtπ − Ct∗ = ln V tТак как Ct∗ , FtSt∈N0Q − п.н.(2.20)btπ∗ =−неубывающая последовательность с C0∗ = 0, то, в силу (2.3), X∗Xtπ − Ct∗ является капиталом портфеля π ∗ ∈ SF с потреблением Ct∗ в момент времени t ∈ N0 ,b π∗ = ln V t −капитал самофинансирующего портфеля с потреблением (π ∗ , C ∗ ).а, в силу (2.20), Xt∗Поскольку X0π = ln V 0 , то, без ограничения общности, можно считать, что β ∗0 = ln V 0 , а γ ∗0 = 0.b π∗ = ln V N = fN (S• )Из утверждения теоремы 1.7 (смотри формулу (1.46)) следует, что XNQ−п.н.

относительно любой меры Q ∈ <N . Поэтому имеемfN (S• ) = ln V N = ln V 0 +NPt=1(γ ∗t , ∆St ) − CN∗Q − п.н.52Стало быть самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) является совершенным.Доказательство закончено.2.4 Существование минимального самофинансирующего портфеля с потреблением исуперхеджирующего портфеля у европейского опционаВ данном разделе устанавливается условия при выполнении которых совершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) является минимальным. Тем самыммы получаем еще одно обоснование выбора экспоненциальной функции полезности.2.4.1 Определение.

Совершенный самофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ),b π∗ , назовем минимальным совершеннымкапитал которого в момент времени t ∈ N0 равен Xtсамофинансирующим портфелем с потреблением, если для любого другого совершенногосамофинансирующего портфеля с потреблением (π, C) (т.е. (π, C) 6= (π ∗ , C ∗ )), капитал которогоbtπ , для любого t ∈ N0 справедливо неравенство P −п.н.в момент времени t ∈ N0 равен Xb π∗ ≤ Xb π.Xtt(2.21)2.4.2 Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.3. Тогда совершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ), определенный соотношениями (1.29),(2.7) является минимальным (в смысле определения 2.4.1).Замечание 16.

Утверждение теоремы 2.4 в литературе не описано.2.4.3Лемма 2.5.Пусть(π ∗ , C ∗ ) −совершенныйсамофинансирующийпортфельспотреблением, определяемый (1.29), (2.7), (2.9), а (π, C) любой другой совершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением. Тогда для любых t ∈ N0 и Q ∈ <Nсправедливо неравенство Q−п.н.n ∗obπ − Xbπ .1 ≥ exp Xtt(2.22)Доказательство леммы 2.5. Из утверждений теорем 1.4.

и 2.3 следует, что платежноеобязательство fN (S• ) допускает относительно любой меры Q ∈ <N представленияNbtπ∗ + P (γ ∗i , ∆Si ) − CN∗ − Ct∗ =fN (S• ) = X00i=t0 +1Nbtπ + P (γ i , ∆Si ) − (CN − Ct0 )= X0i=t0 +1Q − п.н.,53где t0 ∈ N0 - любое. Из этих равенств следует, что относительно любой меры Q ∈ <N имеетместо равенствоNNb π∗ − Xb π − P ∆C ∗ = P (γ i − γ ∗ , ∆Si ) − (CN − Ct0 )Xt0t0iii=t0 +1Q − п.н.(2.23)i=t0 +1Так как CN − Ct0 ≥ 0 Q−п.н., то из (2.23) следует неравенствоNNb π∗ − Xb π − P ∆C ∗ ≤ P (γ i − γ ∗ , ∆Si )Xt0t0iii=t0 +1Q − п.н.(2.24)i=t0 +1b π∗ = ln V tВ силу теоремы 2.3, для любого t ∈ N1 , капитал портфеля с потреблением (π ∗ , C ∗ ) XtP −п.н.

Тогда, в силу (1.46), имеем P −п.н.∗b π = (γ ∗ , ∆St ) − ∆C ∗ .∆XtttПоэтому неравенство (2.24), с учетом последнего равенства, можно переписать в видеhiNbiπ∗ − (γ i , ∆Si ) ≤ 0 P − п.н.btπ + P ∆Xbtπ∗ − XX00i=t0 +1Отсюда следует неравенствоhiNP∗∗πππbt − Xbt +bi − (γ i , ∆Si ) ≤ 1 P − п.н.∆Xexp X00(2.25)i=t0 +1Возьмем условное математическое ожидание E Q •|FtS0 , где любая мера Q ∈ <N , относительноb π∗ = ln V t0 , Xb π∗ = fN (S• ) а такжелевой и правой частей неравенства (2.25), учитывая, что Xt0N(1.1), в результате имеем неравенство Q−п.н.n ∗oNPSππQπ∗bbb(γ i , ∆Si ) |Ft0 =1 ≥ exp Xt0 − Xt0 E exp XN − ln V t0 −i=t0 +1noπ∗πbbexp Xt0 − Xt0NPQSE exp fN (S• ) −(γ i , ∆Si ) |Ft0 ==V t0i=t0 +1Nn ∗o I Q,γ t0 +1 S t0 t00bπ − Xbπ.= exp Xt0t0V t0Поскольку левая часть последнего неравенства не зависит от Q ∈ <N , то для любого γ Nt0 +1 ∈DtN0 +1 справедливо неравенствоQ,γ Nt +1n ∗bπ − Xbπ1 ≥ exp Xt0t0o esssup It00Q∈<NS0t0Q − п.н.V t0(2.26)Из (2.26), в свою очередь, следует, что для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N имеем неравенствоQ−п.н.Q,γ Nt +1essinf esssup It0n ∗o γ N ∈DNbtπ − Xbtπ t0 +1 t0 +11 ≥ exp X00n ∗obtπ − Xbtπ .= exp X00Q∈<NV t00S0t0=54Таким образом неравенство (2.22) установлено.

Доказательство закончено.2.4.4 Доказательство теоремы 2.4. Установим, что (π ∗ , C ∗ ) является минимальнымсовершенным самофинансирующим портфелем с потреблением. Доказательство этого мыпроведем методом "от противного". Последнее означает, что найдутся момент времени t0 ∈ N0 ,мера Q ∈ <N и совершенный самофинансирующий портфель с потреблением (π, C) такие, чтоbt(π∗ ) > Xbt(π) > 0. С другой стороны, в силу неравенства (2.22), Q Xbt(π∗ ) > Xbt(π) = 0.Q X0000Мы пришли к противоречию. Значит наше предположение неверно. Поэтому совершенныйсамофинансирующий портфель с потреблением (π ∗ , C ∗ ) является минимальным совершеннымсамофинансирующим портфелем с потреблением.

Доказательство закончено.2.4.5 Из теорем 2.3 и 2.4 немедленно следует простое, но важное утверждение, позволяющеерассчитать опцион относительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN .Теорема 2.6. Пусть выполнены условия теорем 2.3 и 2.4. Тогда справедливы следующиеутверждения:1) существует портфель π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N0 ∈ SF такой, что для любого t ∈ N0 γ ∗tудовлетворяет (1.29), β ∗t −удовлетворяет рекуррентному соотношению (2.7). ∗2) капитал Xtπ t∈N0 портфеля π ∗ ∈ SF относительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN допускаетпредставление∗Xtπ=∗X0π+tX(γ ∗i , ∆Si ) .i=1Кроме того, если∗X0π= ln V 0 , где VSt , Ft t∈N0−решения рекуррентного соотношения (1.7), то∗∗портфель π ∗ ∈ SF является суперхеджирующим, т.е. P −п.н. fN (S• ) ≤ XNπ и X0π ≤ X0πb , гдеπb ∈ SF −любой такой, что XNπb ≥ fN (S• ) P −п.н.2.5 Примеры, допускающие явный вид, совершенных суперхеджирующих портфелейевропейского опциона на неполном одномерном рынке без тренияВ данном разделе строятся новые примеры суперхеджирующих портфелей в задаче расчетаевропейского опциона на одномерном неполном (1,S)-рынке.2.5.1 В данном пункте приводится описание неполного (1, S)-рынка, рассматриваемого вданном параграфе.ПустьΩ, F, {Ft }t∈N0 −фильтрованное вероятностное пространство.

Пусть 0 < S0 −F0 −измеримая случайная величина, {ρt }t∈N0 −семейство дискретных случайных величин,55принимающих три значения: a, 0, b, причем −1 < a < 0 < b < ∞. Без ограничения общностиможно считать, что Ft = σ {S0 , ρss ≤ t}. Пусть любая мера Q ∈ <N .Условие (<). Относительно любых t ∈ N1 и Q ∈ <N случайные величины {ρt }t∈N1независимы в совокупности.Замечание 17. Если выполнено условие (<), то вероятности q1 , Q(ρt = a), q2 , Q(ρt = 0),q3 , Q(ρt = b) не зависят от t ∈ N1 .Пусть эволюция стоимости рискового актива {St }t∈N0описывается рекуррентнымсоотношениемSt |t=0 = S0 > 0,St = St−1 (1 + ρt ) ,(2.27)Условие (S<). Относительно любой меры Q ∈ <N случайные величины S0 и ρt , где любоеt ∈ N1 , независимы.Очевидно, что если выполнены условия (<) и (S<), то последовательность {St , Ft }t∈N0относительно любой меры Q ∈ <N является однородной марковской.Будем предполагать, что стоимость безрискового актива в любой момент времени t ∈ N0удовлетворяет соотношениюBt ≡ 1.Очевидно,чтовышеописанный(1, S) −рынокявляетсянеполным.Действительно,поскольку qi ∈ [0, 1], i = 1, 3, −вероятности которые удовлетворяют системе линейныхнеоднородных алгебраических уравнений aq + bq = 013 q + q + q = 1,12(2.28)3решение которой имеет видq1 = (1 − q2 ) p∗ ,где p∗ =b,|a|+bq∗ =|a|,|a|+bq3 = (1 − q2 ) q ∗ ,(2.29)любое q2 ∈ (0, 1), то из (2.29) следует, что рассматриваемый (1, S)-рынок − неполный.

Из (2.29) также следует, что он является безарбитражным.2.5.2 Пример 1. Здесь мы приводим пример расчета европейского опциона с платежнымобязательством g(SN ), где g : R+ → R1 -любая ограниченная борелевская функция, наописанном в пункте 2.5.1. неполном (1, S)−рынке."(Обозначим V t ,infsup E Q exp g (SN ) −NγNt+1 ∈Dt+1 Q∈<NNX)#(γ i , ∆Si ) |FtS . Из утвержденияi=t+1теоремы 1.1 следует, что V t в любой момент времени t ∈ N1 удовлетворяет рекуррентному56соотношению V t = infγ∈Dtsup E Q V t+1 e−γSt ρt+1 |FtS(2.30)Q∈<N V t |t=N = exp {g (SN )} .Сначала сделаем несколько замечаний.

Для любого t ∈ N1 :1) последовательность V t , FtS t∈N0 является марковской, ограниченной, случайнойфункцией относительно любой меры Q, определяемой (2.28),2) в силу теоремы Бореля, для любого t ∈ N0 существует измеримая функция, V t (x) такая,что V t = V t (x) |x=St , V t (St ),3) Dt = R1 .Доказательство этих утверждений будет приведено ниже (раздел 3.3).Из (2.30) следует, что V t (St ) для любого tсоотношению:∈N0 удовлетворяет рекуррентному V t (St ) = inf sup E Q V t+1 (St+1 ) e−γSt ρt+1 |FtS1γ∈R Q∈<N(2.31) V t (St ) |t=N = exp {g (SN )} .Так как ρt −дискретная случайная величина, принимающая три значения, то выражение,стоящее под знаком inf можно, в силу (2.28) и сделанных выше замечаний, записать в видеsup E Q V t+1 (St+1 ) e−γSt ρt+1 |FtS =Q∈<N=8sup>>><0 ≤ qi ≤ 1 i = 1, 39>>>=>>>:q1 + q2 + q3 = 1>>>;>>><max0 ≤ qi ≤ 1 i = 1, 39>>>=>>>:q1 + q2 + q3 = 1>>>;=8V t+1 (St (1 + a)) eγSt |a| q1 + V t+1 (St ) q2 + V t+1 (St (1 + b)) e−γSt b q3 =V t+1 (St (1 + a)) eγSt |a| q1 + V t+1 (St ) q2 + V t+1 (St (1 + b)) e−γSt b q3 == max V t+1 (St (1 + a)) eγSt |a| ,V t+1 (St ) ,V t+1 (St (1 + b)) e−γSt b .(2.32)Тогда (2.31), с учетом (2.32), примет вид ln V t (St ) = inf max ln V t+1 (St ) ,1γ∈Rln V t+1 (St (1 + a)) + γSt |a| ,ln V t+1 (St (1 + b)) − γSt bln V t (St ) |t=N = g (SN ) .(2.33)Обозначимψ (t + 1, x, γ) , max ln V t+1 (x (1 + a)) + γx |a| ,ln V t+1 (x) ,ln V t+1 (x (1 + b)) − γxb .57Очевидно, что для любых (t, x) функция ψ (t, x, γ), является верхней огибающей по γ ∈ R1набора функций ln V t (x), ln V t (x (1 + a)) + γx |a|, ln V t (x (1 + b)) − γxb и поэтому являетсявыпуклой, непрерывной, ограниченной снизу по γ функцией, причемψ (t, x, γ) → ∞.|γ|→∞Следовательно, для для любых (t, x), существует γ ∗t такое, что справедливо равенствоinf1 ψ (t, x, γ) = ψ (t, x, γ ∗t ) .γ∈RДля нахождения явного вида γ ∗t нам понадобятся дополнительные построения.

Обозначимψ 1 (t, x, γ) , max ln V t (x (1 + b)) − γxb,ln V t (x (1 + a)) + γx |a| .(2.34)Очевидно, что из выпуклости по γ функции ψ (t, x, γ) следует, что ψ (t, x, γ) = ψ 1 (t, x, γ) идля любых (t, x) является непрерывной и строго выпуклой по γ. Поэтому существует γ ∗1t ∈ R1такое, чтоmin ψ 1 (t, x, γ) = ψ 1 (t, x, γ ∗1t ) ,γ∈R1причем γ ∗1t допускает представлениеγ ∗1t =ln V t (x (1 + b)) − ln V t (x (1 + a)).x (|a| + b)(2.35)Следовательно, в силу (2.34) и (2.35), для любых (t, x) ψ 1 (t, x, γ ∗t ) примет видψ 1 (t, x, γ ∗t ) = ln V t (x (1 + b)) − γ ∗1t xb = ln V t (x (1 + a)) + γ ∗1t x |a| ==|a|bln V t (x (1 + b)) +ln V t (x (1 + a)) .|a| + b|a| + b(2.36)Из определения функции ψ (t, x, γ) следует, что возможны три варианта.Вариант 1. Пустьln V t (x) <|a|bln V t (x (1 + b)) +ln V t (x (1 + a)) .|a| + b|a| + bТогда очевидно, что функция ψ 1 (t, x, γ) допускает представлениеψ 1 (t, x, γ) = 1{γ≤γ ∗ } ln V t (x (1 + b)) − γxb + 1{γ>γ ∗ } ln V t (x (1 + a)) + γx |a| .1t1tПоэтому, в силу (2.34)-(2.36), имеемmin1 ψ (t, x, γ) = min1 ψ 1 (t, x, γ) =ψ 1 (t, x, γ ∗1t ) =γ∈R=γ∈Rb|a|ln V t (x (1 + b)) +ln V t (x (1 + a)) ,|a| + b|a| + b(2.37)58где γ ∗1t имеет вид (2.35).Вариант 2.

Характеристики

Список файлов диссертации