Диссертация (1137423), страница 14
Текст из файла (страница 14)
выполнено равенство (3.13). Что и требовалось доказать.Замечание 21. Утверждение теоремы 3.3 о дискретности наихудшей меры Q∗ и еедоказательство являются новыми.3.1.4 В данном пункте, мы устанавливаем условия единственности наихудшей меры.Теорема 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда вероятностная мераQ∗ −единственная.Доказательство теоремы 3.4.Достаточнодоказать,чтоусловноераспределениеQ∗ (•|F0 ) на σ−алгебре F0 единственно. Доказательство проведем методом "от противного".Предположим, что условное распределение Q∗ (•|F0 ) не единственно. Это означает, чтонайдутся хотя бы два условных распределения Q∗1 (•|F0 ) и Q∗2 (•|F0 ), являющиеся наихудшимии существует FN −измеримое множество C такое, что Q∗1 (C|F0 ) 6= Q∗2 (C|F0 ). Без ограниченияобщности можно считать, что Q∗1 (C|F0 ) > Q∗2 (C|F0 ).
Из утверждения теоремы 3.3 следует, чтосправедливы равенства∗1C = E Q1 (1C |F0 ) +NPγ ∗Ci , ∆SiQ∗1 − п.н.,(3.20)Q∗2 − п.н.(3.21)i=1∗1C = E Q2 (1C |F0 ) +NPγ ∗Ci , ∆Sii=1Возьмем условное математическое ожидание относительно меры Q∗2 правой и левой части (3.20)и условное математическое ожидание относительно меры Q∗1 правой и левой части (3.21). Тогда,в силу утверждения теоремы 3.1, имеемQ∗1 (C|F0 ) = Q∗2 (C|F0 ) .Получили противоречие, следовательно наше предположение не верно и, следовательно,наихудшая мера единственна. Доказательство закончено.Замечание 22. Утверждение теоремы 3.4, т.е.
единственность экстремальной меры Q∗ , какправило, относится к числу трудно доказуемых утверждений [29].3.1.5 В данном пункте, мы устанавливаем, что наихудшая мера не принадлежит множествуэквивалентных мер.Теорема 3.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда наихудшая вероятностная мераQ∗ не принадлежит множеству эквивалентных мер, т.е. Q∗ ∈/ <N .Доказательство теоремы 3.5. Поскольку Q∗ −вероятностная мера, то она допускаетединственное разложение ЛебегаQ∗ = α1 Q∗d + α2 Q∗abs + α3 Q∗sing ,(3.22)71где Q∗d −дискретная вероятностная мера, Q∗abs −абсолютно непрерывная вероятностная мера,Q∗sing −сингулярная вероятностная мера, αi ≥ 0 i = 1, 2, 3, α1 + α2 + α3 = 1.
Из утверждениятеорем 3.3, 3.4 следует, что Q∗ −дискретная (т.е. Q∗ = Q∗d ) единственная. Отсюда следует, чтоQ∗ ∈/ <N . Доказательство закончено.3.2 Хеджирование относительно наихудшей мерыВ данном разделе мы определяем Q∗ −полный рынок и минимаксный хеджирующийпортфель в задаче расчета европейского опциона на рынке без трения, а также устанавливаемусловия их существования.3.2.1Из1, S (1) , ..., S(d)утверждений−рыноктеорем3.1-3.4относительноследует,единственной,чторассматриваемыймартингальной,неполныйдискретноймерыQ∗ ∈/ <N является полным. Эти утверждения приводят нас к следующему определению.Определение. Пусть 1, S (1) , ..., S (d) -рынок − неполный относительно любой меры Q ∈ <N ./ <N и1, S (1) , ..., S (d) -рынок назовем Q∗ −полным, если существуют вероятностная мера Q∗ ∈∗портфель π ∗ ∈ SF , капитал которого в момент времени N равен XNπ , такие, что для любогоFNS −измеримого, ограниченного платежного обязательства fN (S• )∗XNπ = fN (S• )Q∗ − п.н.3.2.2 В данном пункте мы устанавливаем условия существования Q∗ −полного рынка.Теорема 3.6.
Пусть выполнены условия теорем 2.3, 3.1-3.4. Тогда существует единственнаямартингальная мера Q∗ ∈/ <N относительно которой исходный неполный 1, S (1) , ..., S (d) -рынок(относительно любой меры Q ∈ <N ) является полным.Доказательство утверждения теоремы 3.6 следует из утверждений теорем 2.3, 2.4, 3.13.4 и проводится аналогично доказательству теоремы В из [35].3.2.3 В данном пункте, мы устанавливаем условия того, что стратегия {γ ∗t }t∈N1 ,определяемая (1.29), является единственной.Теорема 3.7.
Пусть выполнены условия теоремы 3.6. Тогда стратегия {γ ∗t }t∈N1 ,определяемая (1.29), является единственной Q∗ −п.н.Доказательство теоремы 3.7.Доказательствопроведемметодомотпротивного.Предположим, что стратегия определяемая (1.29) не является единственной. Последнее72означает, что существует, по крайней мере, две стратегии∗(1)определяемые (1.29) и γ t∗(2)6= γ tno∗(1)γtt∈N1иno∗(2)γtt∈N1. Тогда из утверждения теорем 3.2 и 3.4 следует, чтодля любого FN −измеримого, ограниченного платежного обязательства fN (S• ) справедливыпредставления представленияN P∗fN (S• ) = E Q [fN (S• ) |F0 ] +∗(1)γi, ∆SiQ∗ − п.н.,(3.23)Q∗ − п.н.(3.24)i=1∗fN (S• ) = E Q [fN (S• ) |F0 ] +N P∗(2)γi, ∆Sii=1Из (3.23) и (3.24) имеемzN ,N P∗(1)γi−∗(2)γi, ∆Si = 0 Q∗ − п.н.(3.25)i=1N P, ∆Si −локальный мартингал относительно меры Q∗ , то егоi=1N P∗(2)∗(1)∗(2)∗(1),∆ hS, Sii , γ i − γ iγi − γiхарактеристика является квадратической формой,Поскольку∗(1)γi∗(2)− γii=1∗которая равна нулю Q −п.н.
В силу леммы 1.5 и замечания 8 очевидно, что существует bi ∈ N1∗(1)∗(2)∗(1)∗(2)такое, что ∆ hS, Sibi > 0, т.е.γbi − γbi∆ hS, Sibi , γbi − γbi> 0. Следовательно мы∗(1)пришли к противоречию, т.е. γ i∗(2)= γiдля любого i ∈ N0 . Значит наше предположениене верно и стратегия определяемая (1.29) является единственной.
Доказательство закончено.3.2.4 В данном пункте, основываясь на утверждении теоремы 3.7, мы устанавливаем условиятого, что разложение (3.6) единственно.Следствие 3.8. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда относительно наихудшеймеры Q∗ разложение (3.6) единственно.Доказательство следствия 3.8 следует из единственности наихудшей меры Q∗ иединственности стратегии {γ ∗t }t∈N1 , определяемой (1.29).Замечания 23. 1) Из утверждений теоремы 1.8 и следствия 3.8 следует, что∗∗X0π = ln V 0 = E Q [fN (S• ) |F0 ] = esssup E Q [fN (S• ) |F0 ] .Q∈<N2) Известно [35], что верхняя граница спреда европейского опциона определяетсявыражением esssupE Q [fN (S• ) |F0 ].
Поэтому последнее равенство является оценкой сверхуQ∈<N ∩MNверхней границы спреда.3.2.5 В данном разделе, основываясь на утверждениях теорем 3.1-3.7, мы устанавливаем видминимаксного хеджирующего портфеля и его капитала. ∗Определение. Портфель π ∗ ∈ SF такой, что Q∗ XNπ = fN (S• ) = 1 назовем минимакснымхеджирующим.73Теорема 3.9. Пусть выполнены условия теоремы 3.7, а π ∗ ∈ SF −хеджирующий портфелькоторый допускает представление (1.29) и (2.1).
Тогда π ∗ ∈ SF −минимаксный хеджирующийпортфель относительно меры Q∗ , причем:1) β ∗0 = ln V 0 , γ ∗0 = 0, где V t , FtS удовлетворяет рекуррентному соотношению (3.1),∗2) Xtπ −капитал портфеля π ∗ в любой момент времени t ∈ N0 допускает представление∗Xtπ = ln V t .Доказательство теоремы 3.9 следует из доказательств утверждений 2.3, 2.4, 3.1-3.8.3.3 Минимаксный хеджирующий портфель европейского опциона на одномерном конечномрынке без тренияВ данном разделе строится минимаксный хеджирующий портфель европейского опционана конечном (1, S) −рынке, в предположении, что доходность рискового актива представляетсобой последовательность независимых в совокупности одинаково распределенных случайныхвеличин, принимающих конечное число значений относительно базовой меры P .
Здесьустанавливается, что относительно наихудшей меры Q∗ последовательность, описывающаяэволюцию цены рискового актива, обладает марковским свойством, и находится явный видее переходных вероятностей за один шаг. Кроме того, в нем, строится решение задачи расчетаевропейского опциона на таком (1, S) −рынке.3.3.1 В данном пункте приводится описание конечного (1, S) −рынка.Пусть на стохастическом базисе Ω, F, (Ft )t∈N0 , P задана одномерная последовательностьслучайных величин St , FtS t∈N0 , которая для любого t ∈ N0 допускает представлениеSt = St−1 (1 + ρt ) ,St |t=0 = S0 > 0,(3.26)где S0 −неслучайно, {ρt }t∈N1 − последовательность случайных величин. Экономический смыслслучайной величины ρt −доходность рискового актива в момент времени t ∈ N1 .
Предположим,что0 < S 0 ≤ c2 .(3.27)Будем предполагать, что последовательность {ρt }t∈N1 удовлетворяет следующим условиям.Условия (ρ): 1) {ρt }t∈N1 − последовательность независимых в совокупности одинаковораспределенных случайных величин (относительно фильтрации (Ft )t∈N0 и меры P );742) для любого t ∈ N1 случайная величина ρt , принимает значения в множестве Γ , {a1 , ..., al }с вероятностями p1 , ..., pl , где pi = P (ρt = ai ) ,i = 1, l, соответственно, причем:а) 2 ≤ l < ∞;б) −1 <inf ai ,i∈{1,...,l}sup ai < ∞;i∈{1,...,l}в) не существует i ∈ {1, ..., l} : ai = 0;г) существует хотя бы одно j ∈ {1, ..., l}: aj < 0;д) существует не менее одного k ∈ {1, ..., l}: ak > 0.Очевидно, что ρt − l-значная случайная величина и допускает представлениеρt =lPi=1где 1{ρt =ai } 1,= 0,ai 1{ρt =ai } ,ρt = ai;ρt 6= aiБез ограничения общности можно считать, что: i) −1 < a1 < 0 < a2 < ...
< al < ∞;ii) для любого t ∈ N0 случайная величина St > 0;iii) относительно базовой вероятностной меры P последовательность {St }t∈N0 , определеннаярекуррентным соотношением (3.26), является однородной марковской цепью.3.3.2 Для проведения дальнейших построений нам понадобиться ряд обозначений, а такжезамечаний.Очевидно, что описанный выше (1, S) −рынок является неполным уже при l ≥ 3.Обозначим (ρ<N,l ) −множество эквивалентных вероятностных мер на траекторияхслучайных последовательностей {ρt }t∈N1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
