Диссертация (1137423), страница 9
Текст из файла (страница 9)
и свойств существенной верхней грани, следуют равенства∗∗Ssup E Q η t−1 V t e−(γ t ,∆St ) = sup E Q η t−1 E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1=Q∈<NQ∈<N∗S= sup E Q η t−1 ess supE Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1= sup E Q η t−1 V t−1 .Q∈<NQ∈<N(1.59)Q∈<NВ силу того, что Q∗ −наихудшая мера, следует, что справедливо равенство∗sup E Q ζ (ω) = E Q ζ (ω) .(1.60)Q∈<NТогда, в силу (1.60), имеем равенства:∗sup E Q η t−1 V t−1 = E Q η t−1 V t−1 ,(1.61)∗Ssup E Q η t−1 esssup E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1=(1.62)Q∈<NQ∈<N=EQ∈<NQ∗−(γ ∗t ,∆St )S|Ft−1 .η t−1 esssup E V t eQQ∈<NС одной стороны, из (1.59)-(1.62) и произвольности случайной величины η t−1 следует, что длялюбого t ∈ N1 имеем равенство∗SV t−1 = esssup E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1Q∗ − п.н.(1.63)Q∈<NС другой стороны, в силу (1.60) и свойств условного математического ожидания имеем∗∗∗sup E Q η t−1 V t e−(γ t ,∆St ) = E Q η t−1 V t e−(γ t ,∆St ) =(1.64)Q∈<N∗∗ ∗S= E Q η t−1 E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1.Из равенств (1.59), (1.61) и (1.64) имеем∗∗∗ ∗SE Q η t−1 V t−1 = E Q η t−1 E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1.(1.65)Из (1.65), в силу произвольности η t−1 , следует, что для любого t ∈ N1∗ ∗SV t−1 = E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1Q∗ − п.н.(1.66)42Заметим, что V t |t=N = exp {fN (S• )}.
Из рекуррентного соотношения (1.66) следует, что длялюбого t ∈ N1 справедливы равенства"(Vt =EQ∗exp fN (S• ) −NX)#Q∗ ,γ ∗Nt+1(γ ∗t , ∆St ) |FtS = ItS0t Q∗ − п.н.i=t+12)выполненоii), установим iii). Умножим левую и правую части (1.55) на Пустьt−1P ∗exp − (γ i , ∆Si ) . Отсюда, свойств условного математического ожидания и определенияi=1последовательности µt , FtS t∈N0 имеем Q∗ −п.н.µt−1 t−1P ∗= V t−1 exp − (γ i , ∆Si ) =i=1=EQ∗ tP ∗∗ SSV t exp − (γ i , ∆Si ) |Ft−1 = E Q µt |Ft−1.i=1∗Из утверждений теорем 1.3, 1.4 следует, что E Q µt < ∞. Значит, относительно меры Q∗последовательность µt , FtS t∈N0 является мартингалом.3) Пусть выполнено iii), установим i).
Из определения S-оценивающей последовательностиµt , FtS t∈N0 и условий теоремы имеем Q∗ −п.н.:NP∗(γ i , ∆Si ) ,а) µN = exp fN (S• ) −i=1Q,γ Nб) µ0 = V 0 = essinf esssup I0 1 (S0 ),NNQ∈<N γ 1 ∈D1Sв) µt , Ft t∈N0 - мартингал относительно меры Q∗ .Отсюда следует (1.55). Из (1.55) вытекает, что Q∗ −п.н.Q∗ ,γ ∗Nt+1V t = ItS0t .(1.67)Из замечания 11 следует, что для любых t ∈ N0 и меры Q ∈ <N справедливо неравенствоµt ≥ E Q µt+1 |FtSQ − п.н.(1.68)Поэтому для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N , в силу (1.46), (1.67), (1.68) и рекуррентного соотношения(1.8), имеют место неравенстваQ∗ ,γ ∗NIt t+1S0t=Vt ≥EQh−(γ ∗t+1 ,∆St+1 )V t+1 e|FtSh Q,γ ∗Ni∗Q,γ ∗N≥ E Q It+1 t+2 S0t+1 e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS = It t+1 S0ti≥Q∗ − п.н.Значит, мера Q∗ − наихудшая.
Доказательство закончено.1.5.4 Следствие 1.10. Пусть Q∗ − наихудшая мера. Тогда для любого t ∈ N0 разложение(1.46) справедливо относительно меры Q∗ , т.е.∆ ln V t = (γ ∗t , ∆St ) − ∆Ct∗Q∗ − п.н.(1.69)43Доказательство следствия 1.10. Для удобства изложения обозначимGt , ω ∈ Ω :∆ ln V t (ω) = (γ ∗t , ∆St ) (ω) − ∆Ct∗ (ω) .Очевидно, что Gt − FtS -измеримое множество.
Если выполнено любое из условий теоремы1.8, то существуют последовательности Q(n) n≥1 , Q(n) ∈ <N и вероятностная мера Q∗ ∈M (Ω, F) такая, что для любого A ∈ FNS справедливо равенство Q∗ (A) = lim Q(n) (A). Изn→∞утверждения теоремы 1.7 следует, что Q(n) (Gt ) = 1 для любого n ≥ 1. СледовательноQ∗ (Gt ) = lim Q(n) (Gt ) = 1. Доказательство закончено.n→∞1.6 Условия существования решения многошаговой, стохастической, минимаксной задачиВ данном разделе приводятся условия существования решения, описанной в первомпараграфе, многошаговой, стохастической, минимаксной задачи (1.4).Теорема 1.11.
Пусть выполнены условия теоремы 1.8. Тогда существует решениеминимаксной задачи (1.4).Доказательство теоремы 1.11 следует из утверждений теорем 1.1-1.8.Вывод по главе 1В данной главе была рассмотрена многошаговая, стохастическая, минимаксная задача (1.4).Отметим, что в известной литературе такая задача и способ ее решения не рассматривались. Вней установлены: а) возможность применения стохастического варианта метода динамическогопрограммирования к построению решения задачи (1.4), б) условия существования минимакснойстратегии, в) новые условия существования опционального разложения любой FNS −измеримой,ограниченной случайной величины, г) критерий существования экстремальной вероятностноймеры, являющейся наихудшей, на которой "внутренняя"существенная верхняя граньдостигается.
Основываясь на этих результатах были получены условия существования решениясформулированной многошаговой, стохастической, минимаксной задачи (1.4).44ГЛАВА 2 Минимаксное хеджирование европейского опциона на многомерном неполном рынкебез трения в дискретном времениВведениеДанная глава посвящена теории расчета европейских опционов на неполных многомерныхрынках с дискретным временем без трения. В ней излагается минимаксный подход кпостроению суперхеджирующего портфеля и его капитала.Известно [30], что в теории суперхеджирования решается задача построения такогосамофинансирующегопортфеляиминимальногоначальногокапитала,которыебыобеспечивали исполнение платежного обязательства на неполном рынке без трения.
Этатеория опирается на равномерное разложение Дуба [30].Глава состоит из пяти разделов.В разделе 2.1 приводятся обозначения и определения, необходимые для формулировки ипостановки задачи расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке без тренияв дискретном времени, а также формулировки утверждений.В разделе 2.2 формулируется максиминная задача для ожидаемой экспоненциальнойполезности дохода эмитента и устанавливается ее связь с задачей (1.4), описанной в главе 1.В разделе 2.3 устанавливается связь между решением многошаговой, стохастической,минимаксной задачей (1.4) и теорией расчета европейского опциона на неполном многомерномрынке без трения. Кроме того, в нем устанавливаются условия существования совершенногосамофинансирующего портфеля с потреблением на неполном рынке без трения.Вразделе2.4самофинансирующийдоказывается,портфельсчтопостроенныйпотреблениемвявляетсяпредыдущемпараграфеминимальным.Последнееявляется оправданием выбора экспоненциальной функции риска эмитента.
Кроме того, здесьприводится решение задачи построения суперхеджирующего портфеля.В разделе 2.5 приведены примеры построения суперхеджирующего портфеля на неполномодномерном рынке.452.1 Сведения из стохастической финансовой математики. Постановка задачи построениясуперхеджирующего портфеля европейского опциона на неполном рынке2.1.1 В данном пункте приводятся сведения, необходимые для описания европейскогоопциона на неполном рынке с дискретным временем без трения.Пусть на стохастическом базисе Ω, F, FtS t∈N0 , Pзадана согласованная d-мернаяслучайная последовательность St , FtS t∈N0 , которая описывает эволюцию стоимости d (< ∞)(i)различных рисковых активов, причем St обозначает стоимость единицы i-ого рискового активав момент времени t .Пусть(Bt , Ft )t∈N0 − F S -предсказуемаяпоследовательностьсозначениямивR+ ,описывающая эволюцию стоимости безрискового актива.
Без ограничения общности можносчитать, что Bt ≡ 1 [35].Определение [35]. 1, S (1) , ..., S (d) -рынком называют набор активов, состоящий из одногобезрискового актива, стоимость которого тождественно равна единице, и d рисковых активов,стоимости которых описываются d−мерной согласованной последовательностью St , FtS t∈N0 ,no(1)(d)St , , ..., St , FtS.t∈N0Пусть β • , {β t }t∈N0 - F S -предсказуемая, одномерная последовательность.
Значение β t вкаждый момент времени t ∈ N0 интерпретируют [35] как количество безрискового актива.Пусть γ • , {γ t }t∈N1 − F S -предсказуемая d−мерная последовательность (которую в главе 1,мы назвали стратегией), причем i−ую i = 1, d компоненту вектора γ t интерпретируют какколичество i−ого рискового актива в момент времени t ∈ N1 [35].Определение. F S -предсказуемую последовательность π=(β t , γ t )t∈N0называютпортфелем.Определение. Портфель π называют самофинансирующим, если для любого t ∈ N1выполнено равенство∆β t + (St−1 , ∆γ t ) = 0 P − п.н.(2.1)Множество самофинансирующих портфелей обозначают через SF.Определение. Капиталом портфеля π в момент времени t ∈ N0 на 1, S (1) , ..., S (d) -рынкеназывают Ft −измеримую, случайную величину, обозначаемую Xtπ и определяемую равенствомXtπ = β t + (St , γ t ) .Определение.[35](2.2)1, S (1) , ..., S (d) -рынок называют безарбитражным, если для любогосамофинансирующего портфеля π, его капитал удовлетворяет условию: P (XNπ = 0|X0π = 0) = 1.46Известно следующее утверждение.Теорема 2.1.[35] Следующие утверждения эквивалентны:(i) 1, S (1) , ..., S (d) −рынок является безарбитражным;(ii) множество эквивалентных мартингальных мер MN ∩ <N −непусто (MN ∩ <N 6= ∅).Определение.[35] FNS -измеримую случайную величину fN (S• ) (−терминальную функцию),называют платежным обязательством европейского опциона с конечным неслучайныммоментом исполнения N ∈ N+ .Определение.
1, S (1) , ..., S (d) -рынок называют полным, если найдется портфель π ∈ SFтакой, что P −п.н. fN (S• ) = XNπ .Известно следующее утверждение.Теорема 2.2. [35] Безарбитражный 1, S (1) , ..., S (d) -рынок является полным тогда и толькотогда, когда |MN ∩ <N | = 1.Замечание 12. Из утверждения теоремы 2.2. следует, что безарбитражный рынок являетсянеполным если |MN ∩ <N | > 1.Определение. [35] Согласованную неубывающую последовательность C , Ct , FtSt∈N0сCt |t=0 = 0 называют потреблением, а набор (π, C) , где π ∈ SF, −портфелем с потреблением.Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
