Диссертация (1137423), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В силу условий теоремы для любых γ t+1 ∈Dt+1 и t ∈ N1 имеем0 ≤ esssup EQh−(γ t+1 ,∆St+1 )eQ∈<N|FtSi< ∞.Тогда, в силу того, что ε > 0−произвольно, для любого γ t+1 ∈ Dt+1 , t ∈ N1 , справедливонеравенствоihV t ≤ esssup E Q V t+1 e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS .(1.21)Q∈<NТак как левая часть (1.21) не зависит от γ t+1 ∈ Dt+1 , то из него следует (1.17).Из неравенств (1.12), (1.17) следует рекуррентное соотношение (1.7).
Очевидно, что V t |t=N =efN (S• ) . Доказательство закончено.1.2.2 Из теоремы 1.1. вытекают следующие утверждения.Следствие 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда справедливы следующиеутверждения.1) Для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N справедливо неравенство P −п.н.V t−1 ≥ essinfγ∈DtSE Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1.(1.22)2) Для любых t ∈ N1 и γ ∈ Dt справедливо неравенство P −п.н.SV t−1 ≤ esssup E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1.(1.23)Q∈<NДоказательство следствия 1.2. 1) Так как для любых t ∈ N0 , γ ∈ Dt и Q ∈ <Nсправедливо неравенство P −п.н.SSesssup E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1≥ E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1,Q∈<Nто из него следует неравенство P −п.н.essinfγ∈DtSesssup E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1≥ essinfQ∈<Nγ∈DtSE Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1.Из (1.7) и последнего неравенства следует (1.22).2) Второе утверждение непосредственно следует из (1.7) и определения существеннойнижней грани. Доказательство закончено.311.2.3 В данном пункте устанавливаются условия при выполнении которых для любого t ∈ N0V̄t −ограниченная случайная величина P −п.н.Теорема 1.3.
Пусть:1) выполнены условия теоремы 1.1,2) существует константа c1 > 0 такая, что для любого x• ∈ RN +1 выполнено неравенство|fN (x• )| ≤ c1 ,3) <N ∩ MN 6= ∅.Тогда для любого t ∈ N1 справедливы неравенства P −п.н.e−c1 ≤ V̄t ≤ ec1 .(1.24)Доказательство теоремы 1.3. Доказательство проведем по индукции. В силу условиятеоремы при t = N (1.24) выполнено, так какe−c1 ≤ V t |t=N = efN (S• ) ≤ ec1 P − п.н.Докажем сначала, что для любого t ∈ N1 выполняется неравенство P −п.н.V t ≤ ec1 .(1.25)Для доказательства основного шага индукции надо установить: если V t ≤ ec1 P −п.н., тоV t−1 ≤ ec1 P −п.н.
Итак, пусть V t ≤ ec1 . Тогда, в силу следствия 1.2 имеем для любого γ ∈ Dtнеравенство P −п.н.Sesssup E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1≤V t−1 = essinfγ∈DtQ∈<NS≤ esssup E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1.Q∈<NПоскольку 0 ∈ Dt , то из последнего неравенства имеем P −п.н.SV t−1 ≤ esssup E Q V t |Ft−1≤ ec1 .Q∈<NТаким образом основной шаг индукции доказан, т.е. установлено, что для любого t ∈ N1справедливо неравенство (1.25).Докажем теперь, что для любого t ∈ N1 выполняется неравенствоV t ≥ e−c1 .(1.26)Доказательство проведем по индукции.
Из условия теоремы следует, что при t = N P −п.н.V t |t=N ≥ e−c1 .32Стало быть необходимо доказать основной шаг индукции, т.е. если V t ≥ e−c1 P −п.н., то надоустановить, что P −п.н. V t−1 ≥ e−c1 . Пусть V t ≥ e−c1 . В силу следствия 1.2 имеем P −п.н.неравенствоV t−1 = essinfγ∈Dt≥ essinfγ∈DtSesssup E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1≥Q∈<NSE Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1≥ essinfγ∈Dt= e−c1 essinfγ∈DtSE Q e−c1 e−(γ,∆St ) |Ft−1=S.E Q e−(γ,∆St ) |Ft−1(1.27)Для завершения доказательства нам потребуются провести дополнительные построения.S−измеримая случайная величинаДля любых t ∈ N1 , γ ∈ Rd , Q ∈ <N определена Ft−1SGQ t, S0t−1 , −γ , ln E Q exp {− (γ, ∆St )} |Ft−1которую называют кумулянтой случайной величины ∆St относительно любой вероятностнойSмеры Q ∈ <N и σ−алгебры Ft−1[34], [35].
Тогда, относительно любой меры Q ∈ <N , учитываяопределение кумулянты, (1.27) можно переписать в видеV t−1 ≥ e−c1 essinfγ∈DtSE Q e−(γ,∆St ) |Ft−1= e−c1 essinft−1eGQ (t,S0,−γ )P − п.н.(1.28)γ∈Dte ∈ <N ∩ MN относительноИз условия <N ∩ MN 6= ∅ следует, что существует мера Qкоторой кумулянта GQe t, S0t−1 , −γ ≥ 0 и выпукла по γ ∈ Dt . Тогда из (1.28) следует (1.26).Следовательно, основной шаг индукции доказан, а с ним доказано, что для любого t ∈ N1справедливо неравенство (1.26). Таким образом из (1.25) и (1.26) следует доказательствотеоремы.Доказательство закончено.1.3 Условия существования минимаксной стратегииВ данном разделе устанавливаются условия существования стратегии на которойдостигается "внешняя"существенная нижняя грань в (1.7).1.3.1 В этом пункте приводятся достаточные условия, того, что "внешняя"существеннаянижняя грань в (1.7) достигается.Теорема 1.4.
Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и <N ∩ MN 6= ∅. Тогда существуетстратегия {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N такая, что для любого t ∈ N1 справедливы равенства P −п.н.33esssup E Q V t+1 e−(γ,∆St+1 ) |FtS =γ∈D1+1Q∈<Nih∗= esssup E Q V t+1 e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS .V t = essinf(1.29)Q∈<NКроме того, для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N справедливо неравенство∗SV t−1 ≥ E Q V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1P − п.н.(1.30)Замечание 7. Из утверждения теоремы 1.4 следует, что для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N дляQ,γ ∗NIt t+1 (S0t ) −оценки t−бистратегии Q, γ Nt+1 справедливо неравенствоQ,γ ∗Nt+1S0tV t ≥ ItQ (P ) − п.н.,Nгде γ ∗Nt+1 ∈ Dt+1 − t-стратегия, определяемая равенством (1.29).1.3.2 Для доказательства теоремы 1.4 нам потребуются вспомогательные утверждения.Лемма 1.5.
Пусть выполнены условия:1) Q ∈ <N ∩ MN (6= ∅) −любая,2) любой γ t −нетривиальный, ограниченный d−мерный вектор.Тогда P −п.н. выполняются неравенства:SQ (γ t , ∆St ) > 0|Ft−1> 0,SQ (γ t , ∆St ) < 0|Ft−1> 0.(1.31)Доказательство леммы 1.5. В силу условия 1) леммы Q−мартингальная мера,следовательно, для любого γ t ∈ Rd справедливо неравенство Q−п.н.1 ≤ exp GQ t, S0t−1 , −γ ,где GQ t, S0t−1 , −γ −кумулянта относительно меры Q. Так как GQ t, S0t−1 , −γ −собственная,0выпуклая по γ функция, то существует γ t ∈ Rd такое, что Q−п.н.no0.1 < exp GQ t, S0t−1 , −γ(1.32)Тогда справедливы соотношения Q−п.н.0− γ t ,∆Ste0− γ t ,∆St=e0hi1{(γ 0 ,∆St )<0} + 1{(γ 0 ,∆St )≥0} ≤tt− γ t ,∆St≤e1{(γ 0 ,∆St )<0} + 1.tSВозьмем условное математическое ожидание E Q •|Ft−1относительно левой и правой частейпоследнего неравенства, имеем:0− γ t ,∆StQS1<E 1+e1{(γ 0 ,∆St )<0} |Ft−1 Q − п.н.t34Отсюда следует неравенство Q−п.н. 0− γ t ,∆StS1{(γ 0 ,∆St )<0} |Ft−1 .0<E eQt(1.33)( N)X00e (A) , E Q 1A (ω) expПусть Q− γ t , ∆St − GQ t, S0i−1 , −γ i, где любое A ∈ FNS .i=1e и Q эквивалентны.
Отсюда, в силу теоремы Гирсанова, и (1.33) имеем Q−п.н.Очевидно, что Qohin0eQSt−100 < exp GQ t, S0 , −γ t E 1{(γ ,∆St )<0} |Ft−1 =to h 0in0e γ , ∆St < 0|F S .= exp GQ t, S0t−1 , −γ t Qtt−1(1.34)e γ 0 , ∆St < 0|F S Q−п.н.eСледовательно, в силу (1.32) из (1.33) следует, что 0 < QТак какtt−1e и Q эквивалентны, то имеем 0 < Q (γ t , ∆St ) < 0|F S Q−п.н.меры Qt−1SQ−п.н.Аналогичным образом устанавливается неравенство 0 < Q (γ t , ∆St ) > 0|Ft−1Доказательство закончено.Замечание 8. Предположим, что γ t,γt,|γ t |где γ t −ограниченный, нетривиальныйd−мерный вектор. Заметим, что для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N ∩ MN существует регулярная,Sнепрерывная справа версия условного распределения Q (γ t , ∆St ) ≤ x|Ft−1.
Поэтому из (1.31)следует, что для любого t ∈ N0 существуют положительные константы c2 и c3 такие, что Q−п.н.SQ − (γ t , ∆St ) ≥ c2 |γ t | |Ft−1≥ c3 > 0.(1.35)SФ (t, γ, ω) , esssup E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1,(1.36)ОбозначимQ∈<Nгде любые t ∈ N1 , γ ∈ Dt .Лемма 1.6. Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда для любого t ∈ N1 справедливыследующие утверждения:1) существуют положительные константы c2 и c3 такие, что Q−п.н.Ф (t, γ, ω) ≥ c3 ec2 |γ|−c1 ,(1.37)2) существует версия функции Ф(t, γ, ω) такая, что для любого ω ∈ Ω функцияФ(t, γ, ω) −выпукла и непрерывна по γ.Доказательство леммы 1.6.
1) Из (1.36), следствия 1.2 и утверждения теоремы 1.3.следует, что для любого γ ∈ Dt+1 и Q ∈ <N ∩ MN выполнены неравенства P −п.н.Ф (t + 1, γ, ω) ≥ E Q V t+1 e−(γ,∆St+1 ) |FtS ≥ e−c1 E Q e−(γ,∆St+1 ) |FtS ≥≥ e−c1 E Q e−(γ,∆St+1 ) 1{−(γ,∆St+1 )≥c2 |γ|} |FtS ≥(1.38)35≥ ec2 |γ|−c1 Q − (γ, ∆St+1 ) ≥ c2 |γ| |FtS .Неравенство (1.37) следует из неравенств (1.35) и (1.38) (смотри замечание 8).2) Из (1.36), следствия 1.2, теоремы 1.3, свойств существенной верхней грани, выпуклостифункции e−(γ,x) для любого t ∈ N1 имеем неравенства P −п.н.Ф (t, γ α , ω) ≤ αФ (t, γ 1 , ω) + (1 − α) Ф (t, γ 2 , ω)(1.39)где α ∈ [0, 1], γ α , αγ 1 + (1 − α) γ 2 , γ 1 , γ 2 ∈ Dt .Очевидно, что для любого t ∈ N0 функция Ф(t, γ, ω) измерима относительно B Rd ⊗ FtS иконечна для любого γ ∈ Dt .Для дальнейших построений нам понадобятся следующие обозначения и замечания.
Положим: (i) Lt∞ , Lt∞ Rdt , B Rdt , P −нормированное пространство P −п.н. конечныхB Rdt −измеримых функций,∞Rdt , B Rdt −нормированное пространство B Rdt −измеримых функций с(ii) L∞t , Ltконечной равномерной нормой.Отсюда следует, что для любого t ∈ N0 определено отображение ρt : Lt∞ → L∞t , называемоелифтингом [74], которое обладает следующими свойствами: если ϕt ∈ Lt∞ , то:а) ρt (ϕt ) = ϕt P −п.н.,б) если ϕt (ω) = 0 P −п.н., то для любого ω имеем ρt (ϕt (ω)) = 0,в) ρt 1{Rdt } (ω) = 1{Rdt } (ω).Из результатов, приведенных в [74] следует, что, в данном случае, лифтинг существует,причем kρt k = 1 и ρ2t = ρt (т.е. ρt −проектор).Из доказательства теоремы 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
