Диссертация (1137423), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Последнее означает, чтовероятностная мера, описывающая неполный рынок – неединственна. Поэтому эмитент дляисполнения платежного обязательства должен: 1) выбрать вероятностную меру относительнокоторой следует проводить расчет европейского опциона, 2) построить портфель рисковыхактивов, обеспечивающий исполнение платежного обязательства с заданной вероятностью, 3)сформировать цену опциона.Актуальность темыДля проведения расчета европейского опциона на неполных рынках в [30], [35] обычноиспользуют принцип справедливой цены. В диссертации, в отличие от выше указанных работ,использован принцип минимакса.
Выбор этого принципа основан на следующих соображениях.Априори эмитенту не известно распределение вероятностей наблюдаемой последовательностицен рисковых активов. Предполагается, что функция риска эмитента экспоненциальная изависит от его дохода (отметим, что такой выбор функции риска обосновывается во второйглаве диссертации). Он (эмитент) минимизирует ожидаемое значение экспоненциального риска.Последнее может достигаться за счет такого портфеля, который давал бы возможностьэмитенту парировать любые неблагоприятные для него распределения вероятностей рисковыхактивов. Для реализации этого подхода потребовалось обосновать возможность применениястохастического варианта метода динамического программирования, когда наблюдаетсясогласованная последовательность, а целевой функционал мультипликативен.
Стало быть, мыпришли к минимаксной задаче оптимального стохастического управления портфелем, котораяв научной литературе не рассматривалась.В рамках этого подхода удается установить новые условия существования: 1) оптимальныхпортфелей, являющихся предсказуемыми случайными последовательностями и инвариантнымиотносительно любой меры из класса эквивалентных вероятностных мер, 2) равномерногоразложения Дуба относительно любой вероятностной меры из класса эквивалентных7вероятностных мер для измеримых ограниченных функционалов, заданных на траекторияхсогласованных случайных последовательностей, 3) экстремальных мер, доставляющихнаибольшее значение ожидаемому риску и установить свойства этих мер, а также доказать(впервые), что относительно экстремальной меры исходный неполный рынок оказываетсяполным.Вышеуказанные результаты позволяют провести конструктивный расчет опционовевропейского типа на неполных рынках.Отсюда следует актуальность как темы, так и результатов диссертационного исследования.Целью исследования являются нахождение: 1) минимаксного значения ожидаемогоэкспоненциального риска эмитента, 2) конструктивных условий существования хеджирующего(суперхеджирующего, квантильного хеджирующего, квантильного суперхеджирующего)портфеля европейского опциона на неполном рынке без трения.Результаты выносимые на защиту:1)рекуррентноесоотношениебеллмановскоготипа,которомуудовлетворяетпоследовательность верхних гарантированных значений ожидаемого экспоненциального рискаэмитента на неполном многомерном рынке без трения;2)условиясуществованиясуперхеджирующего,квантильногосуперхеджирующегопортфелей европейского опциона на многомерном неполном рынке без трения относительнолюбой меры из класса эквивалентных;3) критерий существования вероятностной меры (наихудшей меры), доставляющейсущественную верхнюю грань ожидаемого экспоненциального риска эмитента, и ее свойства;4) условия существования минимаксного и квантильного минимаксного портфелей.Научная новизнаКак правило, в теории расчета европейских опционов на неполных рынках без трениярассматривается статическая постановка задачи.
В диссертации рассматривается динамическаяпостановка:1) впервые, для случая дискретного времени, обоснована применимость стохастическоговариантаметодадинамическогопрограммированиядлянемарковскихсистемсмультипликативной функции риска. Последнее позволило установить, что эволюция верхнегогарантированного значения ожидаемого экспоненциального риска эмитента описываетсярекуррентным соотношением беллмановского типа, даже для последовательностей ценрисковых активов которые являются семимартингалами;2) получены новые условия существования равномерного разложения Дуба;3)установленыусловиясуществованиясуперхеджирующего,квантильногосуперхеджирующего портфеля европейского опциона на многомерном неполном рынке без8трения относительно любой эквивалентной вероятностной меры;4) установлен критерий существования экстремальной вероятностной меры, котораядоставляет максимальное значение ожидаемого экспоненциального риска эмитента, и еесвойства.Теоретическая значимостьРабота носит теоретический характер.
Результаты, изложенные в диссертации, относятсяк области стохастического оптимального управления. Они могут быть использованы какв стохастической теории оптимального управления, так и в стохастической финансовойматематике. Теоретическая значимость результатов состоит в следующем:1) найдены условия при выполнении которых эволюция верхнего гарантированного значенияожидаемого экспоненциального риска эмитента удовлетворяет рекуррентному соотношениюбеллмановского типа когда цены рисковых активов являются семимартингалами,2) доказано, что любое ограниченное платежное обязательство допускает равномерноеразложение Дуба, которое справедливо относительно любой вероятностной меры из классаэквивалентных вероятностных мер,3) построен критерий существования экстремальных вероятностной меры и портфелякоторые доставляют минимаксное значение ожидаемому экспоненциальному риску эмитента,причем доказано, что относительно этой экстремальной меры исходный неполный рынококазывается полным,4) доказано, что для случая неполных многомерных рынков без трения с дискретнымвременем решение задачи квантильного хеджирования (суперхеджирования) сводится крешению двух задач совершенного хеджирования (суперхеджирования).Практическая значимость1) поскольку последовательности цен рисковых активов, как правило, являютсясемимартингалами, то полученные утверждения могут быть использованы для выбораминимаксного управления портфелем активов,2) установлен критерий существования экстремальной вероятностной меры, относительнокоторой: а) исходный рынок является полным; б) найдена верхняя граница стоимости опциона,в) построен хеджирующий портфель,3) для неполных рынков без трения полученные результаты позволяют строить квантильныйхеджирующий портфель.Метод исследованияВ работе применяются методы функционального анализа, теории вероятностей, теориислучайных процессов и стохастического анализа.9Апробация работыОсновные результаты диссертационной работы докладывались на:1) научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистовМИЭМ:Зверев О.В.
Расчет Европейского опциона на биномиальном (B, S)-рынке с квантильнымкритерием (Москва, МИЭМ, 21 февраля 2006 г.),Зверев О.В. Расчет Европейского опциона на полном биномиальном (B, S)-рынке сквантильным критерием (Москва, МИЭМ, 20 февраля 2007 г.),2) Первом российском экономическом конгрессе:Зверев О. В., Хаметов В. М. Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейскогоопциона (Москва, МГУ им. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.),3) семинаре "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике,финансах и страховании", проводимом в ЦЭМИ РАН под руководством Аркина В. М. иПресмана Э.
Л.:Зверев О.В., Хаметов В.М. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа нанеполных рынках (Дискретное время) (23 ноября 2010 г., 22 марта 2011 г.),Зверев О.В., Хаметов В.М. Минимаксное хеджирование европейского опциона на конечном(1,S)-рынке (5 апреля 2011 г.),Зверев О.В., Хаметов В.М. Расчет европейского опциона с квантильным критерием нанеполном рынке (11, 25 февраля 2014 г.),4) VIII Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2016):O.V. Zverev Quantile hedging of European option in multidimensional incomplete market withouttransaction costs (discrete time) (Москва, МГУ им.
Ломоносова, 17-22 октября 2016 г.).5) конференции "Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых":Зверев О. В. Квантильное хеджирование европейского опциона на полном рынке без трения(дискретное время) (Москва, ЦЭМИ РАН, 7 декабря 2016 г.).Зверев О. В.
Построение множества успешного хеджирования в задаче расчета европейскогоопциона на неполном многомерном рынке без трения (дискретное время) (Москва, ЦЭМИ РАН,1 декабря 2017 г.).ПубликацииПо теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 3 работы в изданиях,входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ.Объем и структура работыДиссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованнойлитературы. Общий объем диссертации составляет 116 страницы машинописного текста.10Список использованной литературы содержит 85 наименований.Степень проработанности проблемы исследованияПолные рынки без трения с дискретным временем.Совершенное хеджирование. Теории расчета европейского опциона на одномерном полномрынке без трения с дискретным временем посвящено большое количество работ.
Приведемосновные из них. Это работы Кокса Дж., Росса Р., Рубинштейна М.[49], Харрисона Дж. иКрепса Д.[64], Ширяева А. Н., Кабанова Ю. М., Крамкова Д. О.[35], [36], Фельмера Г. и ШидаА. [30]. В них установлена единственность мартингальной меры и приведен ее явный вид.Показано, что платежное обязательство допускает S-представление [35]. Это позволило найтистоимость опциона и построить совершенный хеджирующий портфель.Квантильное хеджирование. Теории расчета европейского опциона с квантильнымкритерием на одномерном полном рынке посвящены работы ряда авторов. Приведем основные.В статье Новикова А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
