Диссертация (1137423), страница 8
Текст из файла (страница 8)
следует, что для любых t ∈ N1 и γ t ∈ Dt функция Ф(t, γ, ω) ∈Lt∞ , а ρt (Ф (t, γ, ω)) ∈ L∞t , причем из сделанных выше замечаний следует, что Ф(t, γ, ω) =ρt (Ф (t, γ, ω)) P −п.н. В силу (1.37) для любых (t, ω) функция ρt (Ф (t, γ, ω)) неотрицательная,выпуклая по γ. Следовательно, для любых (t, ω) она является непрерывной по γ функцией.Доказательство закончено.1.3.3 Доказательство теоремы 1.4. Сначала заметим, что из леммы 1.6. следует, что длялюбых (t, ω) функция Ф(t, γ, ω) обладает следующими свойствами:1) при каждом t и ω она B Rd −измеримая функция по γ, причемlim Ф (t, γ, ω) = ∞ Q − п.н.;|γ|→∞2) при каждом t и γ она − FtS -измерима.Действительно.
Из определения Ф(t, γ, ω), (1.35) и (1.38) следует неравенство P −п.н.Ф (t, γ, ω) ≥ c3 ec2 |γ|−c1 > 0.(1.40)36Следовательноlim Ф (t, γ, ω) = ∞ P − п.н.|γ|→∞Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы 1.4.Сначала заметим, что из утверждений теорем 1.1, 1.3 и определения существенной нижнейno(k)грани следует, что при каждом t ∈ N1 существует последовательность γ t+1такая, чтоk≥1−c1e≤ V t = essinfesssup Eγ t+1 ∈Dt+1= limk→∞Qh−(γ t+1 ,∆St+1 )V t+1 eQ∈<N(k)− γ t+1 ,∆St+1Sesssup E V t+1 e|Ft ≤ ec1Q|FtSi=(1.41)P − п.н.Q∈<NДоказательство теоремы 1.4.
проведем методом "от противного": предположим, что несуществует FtS −измеримого, ограниченного вектора γ ∗t+1 такого, что выполнено (1.29), т.е. (k) lim γ t+1 = ∞.(1.42)k→∞Из (1.40) и (1.41) имеем P −п.н.c1e ≥VPt(k)P− γ t+1 ,∆St+1Sesssup E V t+1 e|Ft =Q= limk→∞= lim Фk→∞(1.43)Q∈<N(k)t, γ t+1 , ω (k) c2 γ t+1 −c1≥ lim c3 ek→∞= ∞.Мы пришли к противоречию. Это означает, что предположение (1.42) неверно. Следовательноnono(k)(kl )из последовательности γ t+1можно выделить подпоследовательность γ t+1такую,k≥1k≥1что P −п.н.(k )lγ ∗t+1 = lim γ t+1.(1.44)l→∞Проверим, что γ ∗t+1 является FtS −измеримым d−мерным вектором. Действительно, пустьB ⊆ Rd −любой открытый шар в Rd . В силу леммы 1.6 для любых t и ω функция Ф(t, γ, ω)непрерывна по γ, поэтому имеем:[{γ ∗t ∈ B} =q∈Qd ∩B\n 0 oФ (t, q, ω) < Ф t, q , ω ,(1.45)0q ∈Qd \Bгде Qd −пространство d−мерных векторов компоненты которых - рациональные числа.Покажем, что γ ∗t+1 ∈ Dt+1 .
Из следствия 1.2, теоремы 1.3, леммы 1.6 и леммы Фату имеемP −п.н."ec1 ≥ VPt≥ lim E Q Vl→∞(kl )− γ t+1,∆St+1Pet+1#|FtS ≥h Pihi∗∗≥ E Q V t+1 e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS ≥ e−c1 E Q e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS .37ih∗Отсюда следует, что e2c1 ≥ esssup E Q e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS . Отсюда следует, что γ ∗t+1 ∈ Dt+1 .Q∈<NДоказательство закончено.Замечание 9.
Из утверждения теорем 1.3 и 1.4 следует, что для любого t ∈ N0 и Q ∈ <Nимеет место неравенствоQ,γ ∗Nt+1V t ≥ ItS0tQ (P ) − п.н.,Nгде γ ∗Nt+1 ∈ Dt+1 и определяется из (1.29).1.4 S-опциональное разложениеВ данном разделе, основываясь на факте существования минимаксной стратегии (смотритеорему 1.4) будут установлены условия при выполнении которых любая FNS −измеримая,ограниченная случайная величина допускает равномерное разложение Дуба [30].Теорема 1.7. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и для любого t ∈ N0 γ ∗t ∈ Dt такое,что выполнено (1.29). Тогда согласованная последовательность Ct∗ , FtS t∈N0 , удовлетворяющаярекуррентному соотношению∆Ct∗ , (γ ∗t , ∆St ) − ∆ ln V t ,C0∗ = 0 Q − п.н.,(1.46)для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N является неубывающей, т.е.
∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н., где V t , FtS t∈N0удовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7).Кроме того, относительно любой меры Q ∈ <NfN (S• ) = ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si ) − CN∗Q − п.н.(1.47)i=1Определение. Представление (1.47) любой FNS −измеримой, ограниченной, случайнойвеличины fN (S• ) относительно любой вероятностной меры Q∈<N будем называтьS−опциональным.Замечания 10. 1) Пусть Yt , esssup E Q f |FtS , где f − FNS -измеримая, ограниченнаяQ∈<N ∩MNслучайная величина.
В [35] доказано, чтоYt , FtS t∈N0 является супермартингаломотносительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN (6= ∅).2) В [30] доказано, что следующие утверждения эквивалентны:i) Yt , FtS t∈N0 - супермартингал относительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN ,38ii) существуют неубывающая последовательность {Ct∗ }t∈N0 и d−мерная предсказуемаяtP(γ ∗i , ∆Si ) − Ct∗последовательность {γ ∗t }t∈N1 такие, что Yt допускает представление Yt = Y0 +i=1P −п.н. Это представление названо (в [30], [58], [59], [69], [70]) опциональным.Утверждение теоремы 1.7. отличается от приведенных выше тем, что:i) не предполагается, что последовательность ln V t , FtS t∈N0 является супермартингаломотносительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN (6= ∅);ii) она дает конструктивный метод построения d−мерной минимаксной стратегии γ ∗N1и согласованной неубывающей последовательности {Ct∗ }t∈N0 , являющейся неотрицательнымсубмартингалом относительно любой меры Q ∈ <N , участвующих в S−опциональномразложении (1.47);iii) в доказательстве теоремы 1.7 не использованы результаты других работ, например, [30],[58], [59], [69], [70];3) из утверждения теоремы 1.7 следует, что относительно любой меры Q ∈ <N справедливонеравенствоfN (S• ) ≤ ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si )Q − п.н.(1.48)i=1St , FtS t∈N0 является локальным мартингаломотносительно меры Q, то последовательности ln V t , FtS t∈N0 и E Q fN (S• ) |FtS t∈N04) Отметим, что если последовательностьотносительно меры Q являются супермартингалами.Доказательство теоремы 1.7.
Из утверждения теоремы 1.4 следует, что для любых t ∈N1 и Q ∈ <N справедливо неравенство (1.30). Поскольку Q и P −эквивалентные вероятностныемеры, то, в силу теоремы Гирсанова, неравенство (1.30) можно переписать в виде P −п.н.V t−1где zt =dQtdPt∗S≥ E V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1= EPQzt−(γ ∗t ,∆St )SV te|Ft−1 ,zt−1(1.49)(ω).Пусть {gt }t∈N1 - последовательность случайных величин, где gt −любая FtS −измеримая,положительная, ограниченная, случайная величина, а zt , FtS t∈N0 допускает представлениеzt = zt−1EPgt,Sgt |Ft−1zt |t=0 = 1.(1.50)NОчевидно, что {zt }t∈N0 ∈ Z 0 и для любого t ∈ N0 случайная величина zt являетсяFtS −измеримой, причем 0 < zt < ∞ P −п.н.
Поэтому неравенство (1.49) с учетом (1.50) приметвид∗SSV t−1 E P gt |Ft−1≥ E P gt V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1Отсюда следует неравенствоP − п.н.39 V t −(γ ∗t ,∆St )S0 ≥ E gte− 1 |Ft−1 P − п.н.V t−1P(1.51)Так какexp ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) − 1 − ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) ≥ 0 P − п.н.,то неравенство (1.51) можно усилить, имеем P −п.н.n h∗0 ≥ E gt e∆ ln V t −(γ t ,∆St ) − 1 − ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) + ∆ ln V t −P S S− (γ ∗t , ∆St )] |Ft−1≥ E P gt ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) |Ft−1.Отсюда, в силу произвольности положительной случайной величины gt , получаем неравенствоP −п.н.−∆Ct∗ , ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) ≤ 0.(1.52)Из (1.52) следует, что для любого t ∈ N1 существует FtS -измеримая случайная величина ∆Ct∗ ,определенная формулой (1.46).
Из (1.52) также следует, что для любого t ∈ N1 имеет местонеравенство ∆Ct∗ ≥ 0 P −п.н. Без ограничения общности можно считать, что C0∗ = 0. Поэтомудля любого t ≥ s имеем неравенство Ct∗ ≥ Cs∗ P −п.н. Из (1.52) и сделанного замечания следует,что P −п.н.CN∗ ==NPi=1NP∆Ci∗ =N P(γ ∗i , ∆Si ) − ∆ ln V i =(1.53)i=1(γ ∗i , ∆Si ) − ln V N + ln V 0 .i=1Учитывая в (1.53), что ln V N = fN (S• ), получаем (1.47).
Доказательство закончено.1.5 Критерий существования наихудшей мерыВ данном разделе приводим критерий того, что вероятностная мера Q∗ является наихудшей.1.5.1 Определение. Последовательность µt , FtS t∈N0µt , V t exp −tPi=1(γ ∗i , ∆Si ),(1.54)40где V t −удовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7), а {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −минимакснаястратегия, определяемая равенством (1.29), назовем верхней S-оценивающей.Замечание 11. Из утверждения теоремы 1.4. (смотри формулу (1.30)) следует, чтоотносительно любой меры Q ∈ <N верхняя S-оценивающая последовательность являетсясупермартингалом.Теорема 1.8.
Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда следующие утвержденияэквивалентны:i) Q∗ −наихудшая;ii) для любого t ∈ N1 справедливо равенство Q∗ −п.н.∗Q∗ VV t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1t−1 = E(1.55) V |t t=N = exp {fN (S• )} ,iii) верхняя S-оценивающая последовательность µt , FtS t∈N0 является мартингаломотносительно меры Q∗ .1.5.2 Для доказательства импликации i)→ii) теоремы 1.8 нам понадобится вспомогательноеутверждение.Лемма 1.9. Пусть выполнены условия теорем 1.3, 1.4. Тогда справедливы следующиеутверждения:1)NP0 ≤ exp fN (S• ) −(γ ∗i , ∆Si )≤ ec1 P − п.н.,(1.56)i=12) для любого t ∈ N1∗0 ≤ V t e−(γ t ,∆St ) ≤ ec1P − п.н.(1.57)Доказательство леммы 1.9.
1) Установим неравенства (1.56). Из S−опциональногоразложения (1.47) следует равенство Q−п.н.NP∗−CN∗V 0e= exp fN (S• ) −(γ i , ∆Si ) .(1.58)i=1Так как e−c1 ≤ V0 ≤ ec1 и CN∗ ≥ 0 Q−п.н., то из (1.58) следуют неравенства (1.56).2) Установим неравенства в (1.57). Левая часть неравенства (1.57) очевидна. Установимправую часть неравенства (1.57). Из (1.46) следует, чтоV t −(γ ∗t ,∆St )+∆Ct∗eV t−1= 1 Q−п.н. для любых∗t ∈ N1 и Q ∈ <N . Заметим, что ∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н. Тогда справедливо неравенство V t e−(γ t ,∆St ) ≤V t−1 Q−п.н. Тогда из утверждения теоремы 1.3 следует правое неравенство в (1.57).Доказательство закончено.1.5.3 Доказательство теоремы 1.8. 1) Пусть выполнено i) установим ii).
Установимсправедливость равенства (1.55). Пусть∗ξ (ω) = η t−1 V t e−(γ t ,∆St ) ,41Sгде η t−1 − Ft−1-измеримая, ограниченная, положительная случайная величина, V t , FtS t∈N0Sудовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7), а γ ∗t , Ft−1определяется (1.29). Изt∈N1утверждений теоремы 1.3 и леммы 1.9. следует, что для любого t ∈ N1 случайные величины V t∗∗и V t e−(γ t ,∆St ) − FtS -измеримы и ограниченны. Рассмотрим sup E Q η t−1 V t e−(γ t ,∆St ) . Из свойствQ∈<NQSусловного математического ожидания E •|Ft−1 , следует, что, в силу утверждений теоремы1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
