Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137423), страница 8

Файл №1137423 Диссертация (Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке) 8 страницаДиссертация (1137423) страница 82019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

следует, что для любых t ∈ N1 и γ t ∈ Dt функция Ф(t, γ, ω) ∈Lt∞ , а ρt (Ф (t, γ, ω)) ∈ L∞t , причем из сделанных выше замечаний следует, что Ф(t, γ, ω) =ρt (Ф (t, γ, ω)) P −п.н. В силу (1.37) для любых (t, ω) функция ρt (Ф (t, γ, ω)) неотрицательная,выпуклая по γ. Следовательно, для любых (t, ω) она является непрерывной по γ функцией.Доказательство закончено.1.3.3 Доказательство теоремы 1.4. Сначала заметим, что из леммы 1.6. следует, что длялюбых (t, ω) функция Ф(t, γ, ω) обладает следующими свойствами:1) при каждом t и ω она B Rd −измеримая функция по γ, причемlim Ф (t, γ, ω) = ∞ Q − п.н.;|γ|→∞2) при каждом t и γ она − FtS -измерима.Действительно.

Из определения Ф(t, γ, ω), (1.35) и (1.38) следует неравенство P −п.н.Ф (t, γ, ω) ≥ c3 ec2 |γ|−c1 > 0.(1.40)36Следовательноlim Ф (t, γ, ω) = ∞ P − п.н.|γ|→∞Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы 1.4.Сначала заметим, что из утверждений теорем 1.1, 1.3 и определения существенной нижнейno(k)грани следует, что при каждом t ∈ N1 существует последовательность γ t+1такая, чтоk≥1−c1e≤ V t = essinfesssup Eγ t+1 ∈Dt+1= limk→∞Qh−(γ t+1 ,∆St+1 )V t+1 eQ∈<N(k)− γ t+1 ,∆St+1Sesssup E V t+1 e|Ft ≤ ec1Q|FtSi=(1.41)P − п.н.Q∈<NДоказательство теоремы 1.4.

проведем методом "от противного": предположим, что несуществует FtS −измеримого, ограниченного вектора γ ∗t+1 такого, что выполнено (1.29), т.е. (k) lim γ t+1 = ∞.(1.42)k→∞Из (1.40) и (1.41) имеем P −п.н.c1e ≥VPt(k)P− γ t+1 ,∆St+1Sesssup E V t+1 e|Ft =Q= limk→∞= lim Фk→∞(1.43)Q∈<N(k)t, γ t+1 , ω (k) c2 γ t+1 −c1≥ lim c3 ek→∞= ∞.Мы пришли к противоречию. Это означает, что предположение (1.42) неверно. Следовательноnono(k)(kl )из последовательности γ t+1можно выделить подпоследовательность γ t+1такую,k≥1k≥1что P −п.н.(k )lγ ∗t+1 = lim γ t+1.(1.44)l→∞Проверим, что γ ∗t+1 является FtS −измеримым d−мерным вектором. Действительно, пустьB ⊆ Rd −любой открытый шар в Rd . В силу леммы 1.6 для любых t и ω функция Ф(t, γ, ω)непрерывна по γ, поэтому имеем:[{γ ∗t ∈ B} =q∈Qd ∩B\n 0 oФ (t, q, ω) < Ф t, q , ω ,(1.45)0q ∈Qd \Bгде Qd −пространство d−мерных векторов компоненты которых - рациональные числа.Покажем, что γ ∗t+1 ∈ Dt+1 .

Из следствия 1.2, теоремы 1.3, леммы 1.6 и леммы Фату имеемP −п.н."ec1 ≥ VPt≥ lim E Q Vl→∞(kl )− γ t+1,∆St+1Pet+1#|FtS ≥h Pihi∗∗≥ E Q V t+1 e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS ≥ e−c1 E Q e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS .37ih∗Отсюда следует, что e2c1 ≥ esssup E Q e−(γ t+1 ,∆St+1 ) |FtS . Отсюда следует, что γ ∗t+1 ∈ Dt+1 .Q∈<NДоказательство закончено.Замечание 9.

Из утверждения теорем 1.3 и 1.4 следует, что для любого t ∈ N0 и Q ∈ <Nимеет место неравенствоQ,γ ∗Nt+1V t ≥ ItS0tQ (P ) − п.н.,Nгде γ ∗Nt+1 ∈ Dt+1 и определяется из (1.29).1.4 S-опциональное разложениеВ данном разделе, основываясь на факте существования минимаксной стратегии (смотритеорему 1.4) будут установлены условия при выполнении которых любая FNS −измеримая,ограниченная случайная величина допускает равномерное разложение Дуба [30].Теорема 1.7. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и для любого t ∈ N0 γ ∗t ∈ Dt такое,что выполнено (1.29). Тогда согласованная последовательность Ct∗ , FtS t∈N0 , удовлетворяющаярекуррентному соотношению∆Ct∗ , (γ ∗t , ∆St ) − ∆ ln V t ,C0∗ = 0 Q − п.н.,(1.46)для любых t ∈ N1 и Q ∈ <N является неубывающей, т.е.

∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н., где V t , FtS t∈N0удовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7).Кроме того, относительно любой меры Q ∈ <NfN (S• ) = ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si ) − CN∗Q − п.н.(1.47)i=1Определение. Представление (1.47) любой FNS −измеримой, ограниченной, случайнойвеличины fN (S• ) относительно любой вероятностной меры Q∈<N будем называтьS−опциональным.Замечания 10. 1) Пусть Yt , esssup E Q f |FtS , где f − FNS -измеримая, ограниченнаяQ∈<N ∩MNслучайная величина.

В [35] доказано, чтоYt , FtS t∈N0 является супермартингаломотносительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN (6= ∅).2) В [30] доказано, что следующие утверждения эквивалентны:i) Yt , FtS t∈N0 - супермартингал относительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN ,38ii) существуют неубывающая последовательность {Ct∗ }t∈N0 и d−мерная предсказуемаяtP(γ ∗i , ∆Si ) − Ct∗последовательность {γ ∗t }t∈N1 такие, что Yt допускает представление Yt = Y0 +i=1P −п.н. Это представление названо (в [30], [58], [59], [69], [70]) опциональным.Утверждение теоремы 1.7. отличается от приведенных выше тем, что:i) не предполагается, что последовательность ln V t , FtS t∈N0 является супермартингаломотносительно любой меры Q ∈ <N ∩ MN (6= ∅);ii) она дает конструктивный метод построения d−мерной минимаксной стратегии γ ∗N1и согласованной неубывающей последовательности {Ct∗ }t∈N0 , являющейся неотрицательнымсубмартингалом относительно любой меры Q ∈ <N , участвующих в S−опциональномразложении (1.47);iii) в доказательстве теоремы 1.7 не использованы результаты других работ, например, [30],[58], [59], [69], [70];3) из утверждения теоремы 1.7 следует, что относительно любой меры Q ∈ <N справедливонеравенствоfN (S• ) ≤ ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si )Q − п.н.(1.48)i=1St , FtS t∈N0 является локальным мартингаломотносительно меры Q, то последовательности ln V t , FtS t∈N0 и E Q fN (S• ) |FtS t∈N04) Отметим, что если последовательностьотносительно меры Q являются супермартингалами.Доказательство теоремы 1.7.

Из утверждения теоремы 1.4 следует, что для любых t ∈N1 и Q ∈ <N справедливо неравенство (1.30). Поскольку Q и P −эквивалентные вероятностныемеры, то, в силу теоремы Гирсанова, неравенство (1.30) можно переписать в виде P −п.н.V t−1где zt =dQtdPt∗S≥ E V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1= EPQzt−(γ ∗t ,∆St )SV te|Ft−1 ,zt−1(1.49)(ω).Пусть {gt }t∈N1 - последовательность случайных величин, где gt −любая FtS −измеримая,положительная, ограниченная, случайная величина, а zt , FtS t∈N0 допускает представлениеzt = zt−1EPgt,Sgt |Ft−1zt |t=0 = 1.(1.50)NОчевидно, что {zt }t∈N0 ∈ Z 0 и для любого t ∈ N0 случайная величина zt являетсяFtS −измеримой, причем 0 < zt < ∞ P −п.н.

Поэтому неравенство (1.49) с учетом (1.50) приметвид∗SSV t−1 E P gt |Ft−1≥ E P gt V t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1Отсюда следует неравенствоP − п.н.39 V t −(γ ∗t ,∆St )S0 ≥ E gte− 1 |Ft−1 P − п.н.V t−1P(1.51)Так какexp ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) − 1 − ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) ≥ 0 P − п.н.,то неравенство (1.51) можно усилить, имеем P −п.н.n h∗0 ≥ E gt e∆ ln V t −(γ t ,∆St ) − 1 − ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) + ∆ ln V t −P S S− (γ ∗t , ∆St )] |Ft−1≥ E P gt ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) |Ft−1.Отсюда, в силу произвольности положительной случайной величины gt , получаем неравенствоP −п.н.−∆Ct∗ , ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) ≤ 0.(1.52)Из (1.52) следует, что для любого t ∈ N1 существует FtS -измеримая случайная величина ∆Ct∗ ,определенная формулой (1.46).

Из (1.52) также следует, что для любого t ∈ N1 имеет местонеравенство ∆Ct∗ ≥ 0 P −п.н. Без ограничения общности можно считать, что C0∗ = 0. Поэтомудля любого t ≥ s имеем неравенство Ct∗ ≥ Cs∗ P −п.н. Из (1.52) и сделанного замечания следует,что P −п.н.CN∗ ==NPi=1NP∆Ci∗ =N P(γ ∗i , ∆Si ) − ∆ ln V i =(1.53)i=1(γ ∗i , ∆Si ) − ln V N + ln V 0 .i=1Учитывая в (1.53), что ln V N = fN (S• ), получаем (1.47).

Доказательство закончено.1.5 Критерий существования наихудшей мерыВ данном разделе приводим критерий того, что вероятностная мера Q∗ является наихудшей.1.5.1 Определение. Последовательность µt , FtS t∈N0µt , V t exp −tPi=1(γ ∗i , ∆Si ),(1.54)40где V t −удовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7), а {γ ∗t }t∈N1 ∈ D1N −минимакснаястратегия, определяемая равенством (1.29), назовем верхней S-оценивающей.Замечание 11. Из утверждения теоремы 1.4. (смотри формулу (1.30)) следует, чтоотносительно любой меры Q ∈ <N верхняя S-оценивающая последовательность являетсясупермартингалом.Теорема 1.8.

Пусть выполнены условия теоремы 1.4. Тогда следующие утвержденияэквивалентны:i) Q∗ −наихудшая;ii) для любого t ∈ N1 справедливо равенство Q∗ −п.н.∗Q∗ VV t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1t−1 = E(1.55) V |t t=N = exp {fN (S• )} ,iii) верхняя S-оценивающая последовательность µt , FtS t∈N0 является мартингаломотносительно меры Q∗ .1.5.2 Для доказательства импликации i)→ii) теоремы 1.8 нам понадобится вспомогательноеутверждение.Лемма 1.9. Пусть выполнены условия теорем 1.3, 1.4. Тогда справедливы следующиеутверждения:1)NP0 ≤ exp fN (S• ) −(γ ∗i , ∆Si )≤ ec1 P − п.н.,(1.56)i=12) для любого t ∈ N1∗0 ≤ V t e−(γ t ,∆St ) ≤ ec1P − п.н.(1.57)Доказательство леммы 1.9.

1) Установим неравенства (1.56). Из S−опциональногоразложения (1.47) следует равенство Q−п.н.NP∗−CN∗V 0e= exp fN (S• ) −(γ i , ∆Si ) .(1.58)i=1Так как e−c1 ≤ V0 ≤ ec1 и CN∗ ≥ 0 Q−п.н., то из (1.58) следуют неравенства (1.56).2) Установим неравенства в (1.57). Левая часть неравенства (1.57) очевидна. Установимправую часть неравенства (1.57). Из (1.46) следует, чтоV t −(γ ∗t ,∆St )+∆Ct∗eV t−1= 1 Q−п.н. для любых∗t ∈ N1 и Q ∈ <N . Заметим, что ∆Ct∗ ≥ 0 Q−п.н. Тогда справедливо неравенство V t e−(γ t ,∆St ) ≤V t−1 Q−п.н. Тогда из утверждения теоремы 1.3 следует правое неравенство в (1.57).Доказательство закончено.1.5.3 Доказательство теоремы 1.8. 1) Пусть выполнено i) установим ii).

Установимсправедливость равенства (1.55). Пусть∗ξ (ω) = η t−1 V t e−(γ t ,∆St ) ,41Sгде η t−1 − Ft−1-измеримая, ограниченная, положительная случайная величина, V t , FtS t∈N0Sудовлетворяет рекуррентному соотношению (1.7), а γ ∗t , Ft−1определяется (1.29). Изt∈N1утверждений теоремы 1.3 и леммы 1.9. следует, что для любого t ∈ N1 случайные величины V t∗∗и V t e−(γ t ,∆St ) − FtS -измеримы и ограниченны. Рассмотрим sup E Q η t−1 V t e−(γ t ,∆St ) . Из свойствQ∈<NQSусловного математического ожидания E •|Ft−1 , следует, что, в силу утверждений теоремы1.4.

Характеристики

Список файлов диссертации

Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее