Диссертация (1137423), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Пустьln V t (x) =|a|bln V t (x (1 + b)) +ln V t (x (1 + a)) .|a| + b|a| + bОчевидно, что в данном случаеmin ψ (t, x, γ) = min1 ψ 1 (t, x, γ) =ψ 1 (t, x, γ ∗1t ) = ln V t (x) .γ∈R1γ∈RВариант 3. Пустьln V t (x) >|a|bln V t (x (1 + b)) +ln V t (x (1 + a)) .|a| + b|a| + bПусть γ ∗it , i = 2, 3, является решением линейных неоднородных алгебраических уравненийпервого порядка, соответственно:ln V t (x) = ln V t (x (1 + b)) − γ ∗2t xb,ln V t (x) = ln V t (x (1 + a)) + γ ∗3t x |a| .Поскольку функция ψ (t, x, γ) непрерывна и строго выпукла, то очевидно, что для любых(t, x):i) γ ∗2t < γ ∗3t ,1{γ≤γ ∗ } ln V t (x (1 + b)) − γxb2t1{γ≥γ ∗ } ln V t (x (1 + a)) + γx |a| ,3tiii) min1 ψ (t, x, γ) = ln V t (x) .ψ (t, x, γ)ii)=+1{γ ∗ <γ<γ ∗ } ln V t (x)2t3t+γ∈RИз iii) следует, что в момент времени t оптимальным количеством рискового актива являетсялюбое γ ∈ [γ ∗2t , γ ∗3t ] .

Стало быть, для любого α ∈ [0, 1]γ αt , αγ ∗2t + (1 − α) γ ∗3tтакже является оптимальным. Поэтому если выбрать α =γ αt |α=b|a|+bb,|a|+bто легко убедиться в том, что= γ ∗1t . Следовательно для любых (t, x) γ ∗1t −является оптимальным.Следовательно рекуррентное соотношение (2.33) с учетом (2.35) примет видln V t (St ) = max ln V t+1 (St ) ,p∗ ln V t+1 (St (1 + a)) + q ∗ ln V t+1 (St (1 + b)) .(2.38)Из (2.35) следует возможность построения самофинансирующего портфеля с потреблением.Из условия самофинансируемости следует, что количество безрискового актива β ∗t в любоймомент времени t ∈ N0 удовлетворяет рекуррентному соотношению β ∗ = β ∗ − S ∆γ ∗tt−1 β ∗| = β ∗.t t=00t−1t(2.39)59∗Поэтому капитал Xtπ портфеля π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N0 равен∗Xtπ = β ∗t + (St , γ ∗t ) ,причем при t = 0, без ограничения общности, можно считать β ∗0 = ln V 0 (S0 ), а γ ∗0 = 0.Из (2.9) следует, что в любой момент времени t ∈ N0 потребление {Ct∗ , Ft }t∈N0 удовлетворяетрекуррентному соотношению Q-п.н. ∆C ∗ = γ ∗ ∆S − ∆ ln V (S ) ≥ 0ttttt C ∗ | = 0,t t=0(2.40)b π∗ портфелягде ln V t , Ft t∈N0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (2.38), а капитал Xtс потреблением (π ∗ , C ∗ ) допускает представлениеb π∗ = X π∗ − C ∗ = ln V t (St ) ,Xttt(2.41)b π∗ |t=N = ln V N (SN ) = g (SN ).причем XtТогда портфель π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N0 определенный соотношениями (2.35), (2.39) являетсясуперхеджирующим, т.е.

капитал которого обладает следующими свойствами:∗Xtπ = ln V 0 +tXγ ∗i ∆Si ,i=1∗g (SN ) ≤ XNπ P − п.н.,где ln V t , Ft t∈N0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (2.38).Рассмотрим два частных случая когда рекуррентное соотношение (2.38) допускает явноерешение.Случай 1. Пусть g(x)-выпуклая функция. Тогда методом индукции назад легко установить,что для любого t ∈ N0 функция ln V t (x) является выпуклой.

Следовательно, для любого t ∈ N0 ,в силу неравенства Иенсена, из (2.38) следует неравенствоln V t+1 (x) ≤ p∗ ln V t+1 (x (1 + a)) + q ∗ ln V t+1 (x (1 + b)) .(2.42)Поэтому рекуррентное соотношение (2.33), с учетом (2.42), примет видln V t (St ) = p∗ ln V t+1 (St (1 + a)) + q ∗ ln V t+1 (St (1 + b)) .(2.43)Проводя несложные выкладки можно убедиться в том, что решение рекуррентногосоотношения (2.43) имеет видN −t XiN −t−iln V t (St ) = ΦN −t (St ) =g St (1 + a) (1 + b)CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i .i=0(2.44)60(Обоснование этого утверждения установлено в разделе 3.3).Тогда (2.35), с учетом (2.44), можно переписать в видеγ ∗t =1×St−1 (|a| + b)"N −t#oiX nh ×g St−1 (1 + a)i (1 + b)N −t−i+1 − g St−1 (1 + a)i+1 (1 + b)N −t−i CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i .i=0(2.45)Из (2.39)-(2.45) следует, что для любого t ∈ N0 :1) количества рискового актива γ ∗t удовлетворяет (2.45),2) количества безрискового актива β ∗t удовлетворяет рекуррентному соотношению (2.39),btπ∗ самофинансирующего портфеля с потреблением (π ∗ , C ∗ ) имеет вид3) капитал Xb π∗ =XtN −t Xg St (1 + a)i (1 + b)N −t−i CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i ,i=04) потребления Ct∗ удовлетворяет рекуррентному соотношению∆Ct∗ =ρt×|a| + b"N −th Xn×CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i g St−1 (1 + a)i (1 + b)N −t−i+1 −i=0i+1−g St−1 (1 + a)N −t−i(1 + b)ioi−N −t XiN −t−i−g St−1 (1 + ρt ) (1 + a) (1 + b)CNi −t (p∗ )i (q ∗ )N −t−i +i=0+NX−t+1g St−1 (1 + a)i (1 + b)N −t−i+1 CNi −t+1 (p∗ )i (q ∗ )N −t−i+1 ,Ct∗ |t=0 = 0.(2.46)i=0Из вышесказанного следует, что самофинансируемый портфель π ∗={β ∗t , γ ∗t }t∈N0определенный соотношениями (2.35), (2.39) является суперхеджирующим, поскольку:i) для любого t ∈ N0 его капитал допускает представление∗Xtπ=β ∗t+γ ∗t St= ln V 0 +tXγ ∗i ∆Si ,i=1где ln V 0 −стоимость опциона, которая определяется из (2.44),∗ii) g (SN ) ≤ XNπ P −п.н.Случай 2.

Пусть g(x)−вогнутая функция. Тогда, методом индукции назад, легко установить,что для любых t ∈ N0 и x функция ln V t (x) является вогнутой. Из (2.38) следует, что для любогоt ∈ N0 справедливы равенстваln V t (St ) = ln V t+1 (St+1 ) .61Следовательноln V 0 (x) = ln V t (x) = g (x) .Поэтому β ∗t = 0,γ ∗t = 0,Ct∗ = 0 для любого t ∈ N0 .

Стало быть, с этом случае, продавцуопциона не следует его эмитировать, поскольку разумный покупатель может приобрести его влюбой момент времени по цене-спот (равной x).2.5.3 Пример 2. Пример расчета барьерного опциона.В данном пункте мы приводимрешение задачи расчета европейского опциона с платежным 1,SN < λобязательством 1{SN <λ} ,, ∀λ ∈ R+ , на описанном в пункте 2.5.1 неполном 0,SN ≥ λ(1, S)-рынке. Опцион с таким платежным обязательством называют барьерным.

Для этогоопциона построим совершенный самофинансирующийпортфель с потреблением."(#)NXλОбозначим V t ,infsup E Q exp 1{SN <λ} −(γ i , ∆Si ) |FtS . Тогда проводяNγNt+1 ∈Dt+1 Q∈<Ni=t+1рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.5.2.

легко установить, что:λλ1) V t = V t (St ) и удовлетворяет рекуррентному соотношениюh ln V λ (St ) = max ln V λ (St ) ,tt+1 ln V λ (S ) |=1.ttt=Niλλp∗ ln V t+1 (St (1 + a)) + q ∗ ln V t+1 (St (1 + b))(2.47){SN <λ}2) существует самофинансирующий портфель π λ = β λt , γ λt t∈N0 такой, что для любого t ∈N0 γ λt имеет видλγ λt1V (St−1 (1 + b))=,ln λtSt−1 (|a| + b) V (St−1 (1 + a))(2.48)tβ λt удовлетворяет рекуррентному соотношению β λ = β λ − S ∆γ λt−1ttt−1λλ β | =β ,t t=0(2.49)0λпричем β λ0 = ln V 0 (S0 ), γ λ0 = 0,λ3) для любого t ∈ N0 капитал самофинансирующего портфеля π λ , обозначаемый Xtπ ,допускает представлениеλXtπ=β λt+γ λt Stλ0= ln V +tXγ λi ∆Si ,i=1λгде ln V tудовлетворяет рекуррентному соотношению (2.47),t∈N04) потребление Ctλ удовлетворяет рекуррентному соотношению Q-п.н. ∆C λ = γ λ ∆S − ∆ ln V λ (S ) ≥ 0ttttt C λ | = 0,t t=0(2.50)62b πλ самофинансирующего портфеля с потреблением5) капитал Xtπλ, C λдопускаетпредставлениеbtπλ = Xtπλ − Ctλ = ln V λt (St ) ,Xbtπλ |t=N = ln V λN (SN ) = 1{S <λ} .причем XNλСледующее утверждение устанавливает явный вид ln V t (x).Лемма 2.7.

Решение рекуррентного соотношения (2.47) имеет видλtln V (x) = 1{x<λ} +N −tX(p∗ )i 1i=1где 1{x<λ} 1,, 0,x<λ1,λ≤x< λ i(1+a)i−1(1+a) 1,x∈h,(2.51)λ, λ(1+a)i−1 (1+a)ih .λλ 0, x ∈x≥λ/ (1+a),i−1(1+a)iДоказательство леммы 2.7. Докажем, что решение рекуррентного соотношения (2.47)λ≤x< λ i(1+a)i−1(1+a),имеет вид (2.51). Доказательство проведем методом индукции "назад". В силу условияλλln V N (x) = 1{x<λ} . Положим, что в момент времени t ∈ N0 функция ln V t (x) имеет вид (2.51).NX−t+1λПокажем, что ln V t−1 (x) = 1{x<λ} +(p∗ )i 1 λ. Из (2.47) следуют равенстваλ(1+a)i−1i=1hλλln V t−1 (x) = max ln V t (x) ,= max 1{x<λ} +N −tX(p∗ )i 1i=1p∗1{x(1+a)<λ} +N −tX+q ∗1{x(1+b)<λ} +(p∗ )i 1N −tX= max 1{x<λ} +p∗1{x< λ } +1+a(p∗ )i 1N −tXN −tX(+q1{x< λ } +1+bN −tXi=1=λ≤x(1+b)< λ i(1+a)i−1(1+a)(p∗ )i 1λ≤x< λ i(1+a)i−1(1+a),)(p∗ )i 1i=1∗+λ≤x(1+a)< λ i(1+a)i−1(1+a)i=1(,)#i=1"λ≤x< λ i(1+a)i−1(1+a))i=1((1+a)iiλλp∗ ln V t (x (1 + a)) + q ∗ ln V t (x (1 + b)) ="(≤x<+λλ≤x<(1+a)i(1+a)i+1)#∗ i(p ) 1λλ≤x<(1+a)i−1 (1+b)(1+b)(1+a)i.(2.52)Очевидно, что для любого i ∈ N+ и любого j > i имеем неравенство(p∗ )i = (p∗ )i (p∗ + q ∗ ) = (p∗ )i+1 + q ∗ (p∗ )i > (p∗ )i+1 + q ∗ (p∗ )j .(2.53)Поэтому правая часть (2.52), в силу (2.53), примет видеln Vλt−1(x) = 1{x<λ} +N −tXi=1(p∗ )i 1λ≤x< λ i(1+a)i−1(1+a)+ (p∗ )N −t+1 1λλ≤x<(1+a)N −t(1+a)N −t+1=63N −(t−1)X= 1{x<λ} +(p∗ )i 1i=1λ≤x< λ i(1+a)i−1(1+a).(2.54)λСледовательно основной шаг индукции обоснован.

Вместе с ним доказано, что ln V t (x),определяемый (2.51), превращает (2.47) в тождество. Доказательство закончено.λЗамечание 18. Методом индукции назад легко показать, что ln V t (St ), определяемая(2.47), обладает следующими свойствами:λ1) для любого t ∈ N0 функция ln V t (x) монотонно убывающая по x,λλ2) для любого x справедливо неравенство ln V t (x) ≥ ln V t+1 (x).Из утверждения леммы 2.7, а также формул (2.48)-(2.50) следует, что: 1) количестворискового актива γ λt допускает представлениеγ λt =×("N −tX1×St−1 (|a| + b)!#(p∗ )i 1i=1λλ≤St−1 <(1+b)(1+a)i−1(1+b)(1+a)i− 1λλ≤St−1 <(1+a)i(1+a)i+1)− 1{λλ≤St−1 < 1+a1+b.}(2.55)2) количество безрискового актива β λt удовлетворяет рекуррентному соотношению β λ = β λ − S ∆γ λt−1ttt−1. β λ| = β λ,t t=0(2.56)0λ3) капитал самофинансирующего портфеля π λ = β λt , γ λt t∈N0 , обозначаемый Xtπ , допускаетпредставлениеλλXtπ = ln V 0 +tXγ λi ∆Si ,(2.57)i=1λ0где ln V определяется из (2.51),4) потребление Ctλ , удовлетворяет рекуррентному соотношению∆Ctλ =×("N −tXi=1ρt×|a| + b!#(p∗ )i 1λλ≤St−1 <(1+b)(1+a)i−1(1+b)(1+a)i− 1{St <λ} − 1{St−1 <λ} +N −tXi=1− 1λλ≤St−1 <(1+a)i(1+a)i+1)− 1{λλ≤St−1 < 1+a1+b}N −(t−1)(p∗ )i 1λ≤St < λ i(1+a)i−1(1+a)−Xi=1−(p∗ )i 1λ≤St−1 < λ i(1+a)i−1(1+a),(2.58)Ctλ |t=0 = 0.64b πλИз пункта 3) раздела 2.5.3 и (2.51) следует, что для любого t ∈ N0 капитал Xtсамофинансирующего портфеля с потреблением π λ , C λ имеет видbtπλ = 1{St <λ} +XN −tX(p∗ )i 1i=1λ≤St < λ i(1+a)i−1(1+a),b πλ |t=N = ln V λ (SN ) = 1{S <λ} .причем XtNNПолученные выше результаты описывают суперхеджирующий портфель барьерногоопционананеполномсамофинансирующий(1, S) −рынкепортфельдляпоскольку:вышеуказанногоi)(2.55)и(2.56)опциона,ii)1{SN <λ}описывают≤AXNπP −п.н., iii) из утверждения теоремы 2.6 и (2.57) следует, что этот портфель с потреблениемявляется суперхеджирующим.Таким образом мы построили суперхеджирующий портфель для барьерного опциона сплатежным обязательством 1{SN <λ} на неполном (1, S) −рынке.Выводы по главе 2Вданнойглавеобоснованаприменимостьминимаксногоподходакпостроениюсуперхеджирующего портфеля европейского опциона на многомерном неполном1, S (1) , ..., S (d) −рынке.

Установлена связь между решением многошаговой, стохастической,минимаксной задачей (1.4) (которое построено в первой главе диссертации) и решением задачирасчета европейского опциона на неполном многомерном рынке относительно любой меры изкласса эквивалентных. Показано, что построенный портфель описывает разумное поведениеэмитента опциона, функция полезности которого экспоненциальна.

Характеристики

Список файлов диссертации