Диссертация (1137423), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Приведены новые примерырасчета европейского опциона на неполном одномерном рынке без трения, которые допускаютявное решение.65ГЛАВА 3 Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке без тренияВведениеВ первой главе диссертации была сформулирована многошаговая, стохастическая,минимаксная задача и установлены условия существования ее решения.
В рамках этого подходабыла определена наихудшая мера и установлен критерий ее существования. Во второй главебыла установлена связь между решением многошаговой, стохастической, минимаксной задачии решением задачи расчета европейского опциона на неполном рынке без трения относительнолюбой меры из класса эквивалентных. В данной главе строится решение задачи расчетаевропейского опциона на многомерном неполном рынке без трения относительно наихудшеймеры.
Поэтому здесь исследуются свойства наихудшей меры. Также показано, что исходныйнеполный рынок, относительно любой меры Q ∈ <N , является полным относительно наихудшеймеры. Приводится вид минимаксного хеджирующего портфеля и капитала, соответствующегоданному портфелю. Приведены новые примеры расчета европейского опциона относительнонаихудшей меры на одномерном компактном рынке, которые допускают явное решение.В разделе 3.1 устанавливаются свойства наихудшей меры Q∗ : мартингальность,дискретность, единственность.
Здесь будет доказано, что наихудшая мера не принадлежитклассу эквивалентных мер <N .В разделе 3.2 устанавливается, что относительно меры Q∗ исходный 1, S (1) , ..., S (d) −рынокявляется полным.В разделе 3.3 строится решение задачи расчета европейского опциона на одномерномконечном неполном марковском рынке без трения относительно наихудшей меры.
Также здесьустанавливается, что эволюция стоимости рискового актива относительно наихудшей меры марковская, а также явный вид ее переходной вероятности за один шаг. Кроме того, приводитсявид минимаксного хеджирующего портфеля и его капитала.В разделе 3.4 приводятся новые примеры расчета минимаксного хеджирующего портфеляевропейского опциона на компактном (1, S) −рынке без трения относительно наихудшей меры.663.1 Свойства наихудшей мерыВ разделе 1.5 был установлен критерий существования наихудшей меры Q∗ на которой"внутренняя"существенная верхняя грань достигается (см. теорему 1.8).
В данном разделе мыустанавливаем такие свойства этой меры как: мартингальность, дискретность, единственность,а также доказываем, что она не принадлежит классу эквивалентных мер <N .3.1.1 В данном пункте установлены условия того, что наихудшая мера Q∗ являетсямартингальной.−минимаксная бистратегия и выполнено любое из условийТеорема 3.1. Пусть Q∗ , γ ∗N1теоремы 1.8, т.е. выполняется равенство Q∗ −п.н.∗Q∗ VV t e−(γ t ,∆St ) |Ft−1t−1 = E V |= exp {f (S )} .t t=NN(3.1)•Тогда Q∗ − мартингальная мера.Доказательство теоремы 3.1. 1) Из утверждений следствия 1.2 и теоремы 1.8,аналогично доказательству теоремы 1.8, легко установить, что для любых γ ∈ Dt и t ∈ N0справедливо неравенство Q∗ −п.н.∗ SSV t−1 ≤ esssupE Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1= E Q V t e−(γ,∆St ) |Ft−1.(3.2)Q∈<NS-измеримыйБез ограничения общности, можно считать, что γ , γ ∗t + hγ t ∈ Dt , γ t ∈ Dt − Ft−1случайный вектор, h ∈ (0, 1], причем |γ t | ≤ 1−любое.
Тогда из (3.2) следует, что Q∗ −п.н.∗ ∗SV t−1 ≤ E Q V t e−(γ t ,∆St ) e−h(γ t ,∆St ) |Ft−1=∗ S.= V t−1 E Q exp ∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) e−h(γ t ,∆St ) |Ft−1(3.3)Из утверждения следствия 1.10 вытекает, что Q∗ −п.н. (см. формулу (1.69))∆ ln V t − (γ ∗t , ∆St ) = −∆Ct∗ ≤ 0.Поэтому неравенство (3.3) можно усилить, имеем Q∗ −п.н.∗ ∗ SS1 ≤ E Q exp {−∆Ct∗ − h (γ t , ∆St )} |Ft−1≤ E Q e−h(γ t ,∆St ) |Ft−1.Из неравенства (3.4), в силу формулы Ньютона-Лейбница, имеем для любого h ∈ (0, 1] hR d −u(γ ,∆St )Q∗ 1St0 ≤ Eedu|Ft−1 =h 0 du1 Rh −u(γ t ,∆St )Q∗S= −E(γ t , ∆St )edu|Ft−1Q∗ − п.н.h0(3.4)(3.5)67Переходя в неравенстве (3.5) к пределу при h → 0, в силу леммы Фату, имеем Q∗ −п.н.1 Rh −u(γ t ,∆St )Q∗Se0 ≥ limE(γ t , ∆St )du|Ft−1 ≥h↓0h01 Rh −u(γ t ,∆St )∗ Q∗SS≥ E(γ t , ∆St ) lim edu|Ft−1 = E Q (γ t , ∆St ) |Ft−1.h↓0 h 0Отсюда, в силу произвольности γ t , получаем, что∗ SE Q ∆St |Ft−1= 0 Q∗ − п.н.Следовательно, последовательность {St , Ft }t∈N0 − локальный мартингал относительно меры Q∗ .Значит мера Q∗ −мартингальная.
Доказательство закончено.Замечания 19. 1) Утверждение теоремы 3.1 о том, что наихудшая мера Q∗ являетсямартингальной является новым.2) Доказательство утверждения теоремы 3.1 не опирается на результаты других работ [30],[34], [35].3.1.2 В данном пункте будет установлено условие того, что относительно наихудшей мерыпотребление - тривиально, а платежное обязательство допускает S−представление [35].Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда справедливы следующиеутверждения:1) для любого t ∈ N0 потребление Ct ≡ 0 Q∗ −п.н.,2) любое FN −измеримое, ограниченное платежное обязательство fN (S• ) допускаетпредставление∗fN (S• ) = E Q [fN (S• ) |F0 ] +NP(γ ∗i , ∆Si )Q∗ − п.н.,(3.6)i=1где {γ ∗t , Ft−1 }t∈N1 − d-мерная предсказуемая последовательность, определяемая равенством(1.29).Доказательство теоремы 3.2.
Установим утверждение 1). С одной стороны, изутверждения следствия 1.10 вытекает, что для любого t ∈ N1 Q∗ {∆Ct∗ ≥ 0} = 1. Поэтомудля любого t ∈ N1∗1 − e−∆Ct ≥ 0 Q∗ − п.н.(3.7)С другой стороны, из утверждения теоремы 1.8, в силу (1.55), для любого t ∈ N1 имеем∗ ∗SE Q 1 − e−∆Ct |Ft−1= 0 Q∗ − п.н.(3.8)Из (3.7) и (3.8) следует, что для любого t ∈ N1∆Ct∗ = 0 Q∗ − п.н.(3.9)68Поскольку C0∗ = 0, то из (3.9) получаем, что для любого t ∈ N0 Q∗ {Ct∗ = 0} = 1.2) Установим равенство (3.6). Из утверждения теоремы 1.7 (см.
равенство (1.46)) и (3.9) длялюбого t ∈ N1 имеем равенство∆ ln V t = (γ ∗t , ∆St )Q∗ − п.н.В последнем равенстве выполним суммирование от 1 до N , учитывая, что ln V t |t=N = fN (S• ) врезультате имеем Q∗ −п.н.V t |t=N = fN (S• ) = ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si ) .(3.10)i=1∗ Возьмем условное математическое ожидание E Q •|F0S относительно левой и правой частей(3.10), учитывая что Q∗ −мартингальная мера, имеем∗ ln V 0 = E Q fN (S• ) |F0SQ∗ − п.н.Отсюда и из (3.10) получаем (3.6). Доказательство закончено.Замечание 20. Известно [30], что если <N ∩ MN = {Q∗ }, то она является крайней точкоймножества <N ∩ MN и любое ограниченное платежное обязательство допускает представление(3.6). В утверждении теоремы 3.2 предположений такого сорта нет.
Поэтому это утверждениене следует из работ [30], [35]. Кроме того, результаты и идеи вышеуказанных работ придоказательстве теоремы 3.2 не используются.3.1.3 В данном пункте, мы устанавливаем условие того, что наихудшая мера являетсядискретной.Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.
Тогда вероятностная мера Q∗ являетсядискретной.Доказательство теоремы 3.3.ПосколькуQ∗ −вероятностнаямера,тодлянеесправедливо разложение Лебега [5], [13], [31], [34]Q∗ = αQ∗c + (1 − α) Q∗d ,(3.11)где Q∗c −непрерывная вероятностная мера, Q∗d −дискретная вероятностная мера, т.е. мера,сосредоточенная на атомах меры Q∗ , которых не более чем счетное число, α ∈ [0, 1]. Известно,что разложение (3.11) - единственно, а вероятностные меры Q∗c и Q∗d −сингулярны.
Поэтомусуществует FN −измеримое множество B (B , Ω\B) такое, чтоQ∗c (B) = 1 Q∗d (B) = 0 , Q∗d B = 1, Q∗c B = 0 .Очевидно, что для любого FN −измеримого множества A имеем равенстваαQ∗c (A) = Q∗ (A ∩ B) ,(1 − α) Q∗d (A) = Q∗ A ∩ B ,(3.12)69причем α = Q∗ (B), 1 − α = Q∗ B .Поскольку пространство Rd(N +1) конечномерно и локально компактно, то для любого t ∈ N0существует регулярная версия условной вероятности Q∗ (A|Ft ), где A - любое FN −измеримоемножество [34]. Поэтому Q∗ (A|Ft ) можно оперировать как обычными вероятностями [34].Для доказательства утверждения теоремы достаточно установить, что для любого t ∈N0 регулярные условные вероятности Q∗ (·|Ft ) - дискретны, т.е.
для любого FN −измеримогомножества A выполняется равенствоQ∗ (A|Ft ) = Q∗d (A|Ft ) .∗(3.13)∗= E Q (1B (ω) |Ft ), Q∗ A ∩ B|Ft =∗E Q (1A∩B (ω) |Ft ). Очевидно, что последовательности (Q∗ (A|Ft ) , Ft )t∈N0 , Q∗ B|Ft , Ft t∈N0 ,Q∗ A ∩ B|Ft , Ft t∈N0 являются согласованными и, относительно меры Q∗ ограниченнымиЗаметим, что Q∗ (A|Ft ) = E Q (1A (ω) |Ft ), Q∗ B|Ftрегулярными мартингалами.Тогда,изутверждений теоремы 3.2, следует, что существуют предсказуемыеn oon BA∩Bпоследовательности γ A,γ,γтакие, что справедливы равенстваt t∈N1ttt∈N1t∈N1∗Q −п.н.∗1A (ω) = Q (A|F0 ) +NXγAt , ∆St ,(3.14)t=1N X,∆SγB1B (ω) = Q∗ B|F0 +t ,t(3.15)t=1∗A ∩ B|F0 +1A∩B (ω) = QN Xγ A∩B.,∆Stt(3.16)t=1Очевидно, что1A (ω) 1B (ω) = 1A∩B (ω) .(3.17)Из дискретного варианта формулы Ито [34] имеем:1A∩B (ω) = 1A (ω) 1B (ω) = Q∗ (A|F0 ) Q∗ B|F0 ++N hX∗Q (A|Ft−1 )γBt , ∆St∗+QB|Ft−1γAt , ∆St+γBt , ∆StγAt , ∆Sti.(3.18)i=1Известно [16], [31], [34], что произведение мартингалов является мартингалом тогда итолько тогда когда они ортогональны.
Заметим, что последовательности (Q∗ (A|Ft ) , Ft )t∈N0 ,Q∗ B|Ft , Ft t∈N0 , Q∗ A ∩ B|Ft , Ft t∈N0 −мартингалы. Поэтому Q∗ A ∩ B|Ft , Ft t∈N0является мартингалом тогда и только тогда когда (Q∗ (A|Ft ) , Ft )t∈N0 и Q∗ B|Ft , Ft t∈N0∗- ортогональные мартингалы. Возьмем условное математическое ожидание E Q •|F0S обеихчастей равенства (3.18), имеем:Q∗ A ∩ B|F0 = Q∗ (A|F0 ) Q∗ B|F0 .(3.19)70Из (3.19) следует, что для любого FN −измеримого множества A выполняется Q∗d (A) = Q∗ (A),т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
