Диссертация (1137423), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

В отличие от известных работ [30], [35] формулы (4.3)-(4.10) позволяютрассчитать для барьерного опциона самофинансирующий портфель с потреблением для любогомомента времени и его капитал на неполном многомерном рынке без трения.4.1.2 В данном пункте, основываясь на результаты главы 3, приводится решение задачиминимаксного хеджирования барьерного опциона на многомерном неполном рынке без трения.Пусть платежное обязательство имеет вид (4.1). Очевидно, что для данного платежногообязательства выполнены все условия теорем 3.7, 3.9.

Следовательно, из утверждений теорем3.7 и 3.9, следует, что существуют портфель π λ ∈ SF , являющийся совершенным минимакснымхеджирующим такой, что относительно наихудшей меры Q∗ :1) минимаксный хеджирующий портфель π λ допускает представление:S−измеримый d−мерный вектор γ λt удовлетворяющийi) для любого t ∈ N1 существует Ft−1соотношению (4.4),S−измеримая, случайная величина β λt удовлетворяющаяii) для любого t ∈ N1 существует Ft−1λрекуррентному соотношению (4.5), причем β λ0 = ln V 0 , а γ λ0 = 0.λ2) для любого t ∈ N0 капитал Xtπ самофинансирующего портфеля π λ ∈ SF допускаетQ∗ −п.н. представления:λλа) Xtπ = ln V t ,λλb) Xtπ = X0π +tPγ λi , ∆Si ,i=1причемλXNπλλ∗= 1AN (ω) Q∗ −п.н., X0π = ln V 0 = E Q (1AN (ω) |F0 ) = Q∗ (AN |F0 ),3) относительно меры Q∗ любое FN −измеримое, ограниченное платежное обязательство1AN (ω) допускает представление1AN (ω) = Q∗ (AN ) +NPγ λi , ∆SiQ∗ − п.н.,(4.11)i=1где(4.4).γ λt , Ft−1t∈N1− d-мерная предсказуемая последовательность, определяемая равенством944.2 Теория расчета европейского опциона с квантильным критерием на неполном рынке безтренияВ данном разделе формулируется задача квантильного суперхеджирования европейскогоопциона на многомерном неполном рынке без трения, а также устанавливаются условиясуществования ее решения.4.2.1Вданномпунктеформулируетсязадачаквантильногосуперхеджированияевропейского опциона на многомерном неполном рынке без трения.Определение.

Будем говорить, что согласованная последовательность {χt , Ft }t∈N0 имеетNXограниченную вариацию относительно любой меры Q ∈ <N , если|∆χt | < ∞ Q-п.н., гдеt=1∆χt , χt − χt−1 .Пусть Xtπ -капитал самофинансирующего портфеля π в момент времени t ∈ N0 .Определение. Пару (π, χ) назовем самофинансирующим портфелем с ограниченнойвариацией, если π ∈ SF , а {χt , Ft }t∈N0 −процесс ограниченной вариации относительно любоймеры Q ∈ <N .Определение. Капитал портфеля с ограниченной вариацией (π, χ) в момент времени t ∈(π,χ)N0 , обозначаемый Xt, определим равенством(π,χ)= Xtπ − χt .no(π,χ)Замечание 27.

Поскольку последовательность XtXt(4.12)согласована с фильтрациейt∈N0{Ft }t∈N0 , то она является семимартингалом [16].Определение.Решениемзадачирасчетаевропейскогоопционасплатежнымобязательством fN (S• ) на многомерном неполном рынке без трения с квантильнымкритерием уровня 1 − α, где α ∈ (0, 1), относительно любой меры Q ∈ <N назовем дуплет(π α ,χα )(π α ,χα )ααX0, (π , χ ) , где X0−начальный капитал, (π α , χα ) −самофинансирующий портфель(π α ,χα )с ограниченной вариацией, капитал которого в момент времени N XNнеравенству относительно любой меры Q ∈ <N(π α ,χα )≥ fN (S• ) ≥ 1 − α.Q XNудовлетворяет(4.13)При этом портфель (π α , χα ) назовем квантильным хеджирующим уровня 1−α, а множествоno(π α ,χα )ω ∈ Ω : XN≥ fN (S• ) −множеством успешного хеджирования.4.2.2 В данном пункте приводятся условия, обеспечивающие существование решения задачирасчета европейского опциона с квантильным критерием уровня 1−α на многомерном неполномрынке, где любое α ∈ (0, 1).95V t , FtНапомним,t∈N0−решениерекуррентногосоотношения(1.7).Дляудобстваизложения введем следующие обозначения:i) c , ln V t |(t=0 > 0,ω∈Ω:ii) AN ,N \d \(j)Si≥(j)λi)(j)где λi −некоторые константы, а AN , Ω\AN .i=1 j=1Очевидно, что AN − FN -измеримо.Теорема 4.1.

Пусть выполнены условия теоремы 2.3 и для любого α ∈ (0, 1) найдутся(j)∈ R+ , j = 1, d, i ∈ N0 такие,! что относительно любой меры Q ∈ <N выполняютсяN \d \(j)(j)неравенства Q≥ 1 − α. Тогда существует решение задачи расчетаS i ≥ λiλii=1 j=1европейского опциона с квантильным критерием уровня 1 − α и платежным обязательствомfN (S• ), т.е. существуют:1) π α={β αt , γ αt }t∈N0 -самофинансирующий портфель, где {γ αt }t∈N0 -предсказуемаяпоследовательность элементы которой допускают представленияγ αt = γ ∗t − cγ At ,(4.14)αNгде γ ∗t ∈ D1N удовлетворяет (1.29), а γ At ∈ D1 - (4.4); {β t }t∈N0 -последовательность, элементыкоторой допускают представленияβ αt = β ∗t − cβ At ,(4.15)где β ∗t -удовлетворяет (2.7), β At -(4.5);α2) для любых t ∈ N0 и Q ∈ <N капитал Xtπ портфеля π α имеет видαXtπ = β αt + (γ αt , St )Q − п.н.,3) последовательность ограниченной вариации χαt которая допускает представлениеχαt = Ct∗ − cCtA ,причем Ct∗ допускает представление (1.46), а CtA −(4.7);(π α ,χα )4) для любых t ∈ N0 капитал Xtпортфеля с ограниченной вариацией (π α , χα ) имеетвид(π α ,χα )Xtα= Xtπ − χαtQ − п.н.,причем(π α ,χα )X0n Aoгде V t , FtSt∈N1A= c 1 − ln V 0 > 0,удовлетворяет рекуррентному соотношению (4.3);(4.16)965) портфель с ограниченной вариацией (π α , χα ) является квантильным хеджирующимпортфелем уровня 1 − α, т.е.

относительно любой меры Q ∈ <N выполняется неравенство(4.13).4.2.3 Доказательство теоремы 4.1. Рассмотрим две задачи расчета европейского опционана неполном 1, S (1) , ..., S (d) −рынке с платежными обязательствами fN (S• ) и 1AN (ω). Изтеоремы 1.7 следует, что, относительно любой меры Q ∈ <N , они допускают, соответственно,представления Q−п.н.fN (S• ) = ln V 0 +NP(γ ∗i , ∆Si ) − CN∗ ,A1AN (ω) = ln V 0 +i=1NPAγAi , ∆Si − CN .i=1Очевидно, что существует портфель π α ={β αt , γ αt }t∈N0 ,в котором для любого t ∈ N1 , β αt и γ αtимеют вид:β αt , β ∗t − cβ At ,γ αt , γ ∗t − cγ At ,(4.17)∗Aгде γ ∗t и γ At −определяются (1.29) и (4.4), соответственно, а β t и β t −(2.7) и (4.5), соответственно.Тогда для любого t ∈ N0 капитал Xtπαпортфеля π α , относительно любой меры Q ∈ <N ,допускает представлениеαXtπ = β αt + (γ αt , St ) ,который, в силу (4.17), можно переписать в виде:α∗AXtπ = β αt + (γ αt , St ) = β ∗t − cβ At + γ t − cγ t , St =A= β ∗t + (γ ∗t , St ) − c β At + γ t , St∗∗A= Xtπ − cXtπ ,(4.18)Aгде Xtπ и Xtπ капиталы самофинансирующих портфелей π ∗ = {β ∗t , γ ∗t }t∈N0 и π A = A Ab π∗ и Xb πA , соответственно,β t , γ t t∈N0 в момент времени t ∈ N0 , соответственно.

Обозначим Xttкапиталы портфелей с потреблением (π ∗ , C ∗ ) и π A , C A в момент времени t ∈ N1 , где {Ct∗ }t∈N0 , CtA t∈N0 – возрастающие последовательности определяемые (1.46) и (4.7),соответственно. Из утверждения теоремы 2.3 следует, что они допускают относительно любоймеры Q ∈ <N представленияbtπ∗ = ln V t = Xtπ∗ − Ct∗ ,XπAbtπA = ln V AX− CtA ,t = Xt(4.19)Тогда (4.18), с учетом (4.19), можно переписать в виде Q-п.н. Aα∗Ab π ∗ − cXb πA + C ∗ − cC A .b π∗ + C ∗ − c Xbπ + CA = XXtπ = Xtπ − cXtπ = Xtttttttt(4.20)Обозначимχαt , Ct∗ − cCtA .(4.21)97Из(4.21)следует,χαчтопоследовательность,{χαt }t∞N0 −согласованная,имеющаяограниченнуювариацию,спричемфильтрациейχα0=0,{Ft }t∈N0апара(π α , χα ) образует портфель с ограниченной вариацией.(π α ,χα )Следовательно, для любого t ∈ N0 определена Ft -измеримая случайная величина Xt(π α ,χα )Xt∗Aαb π − cXb π = X π − χα ,,Xtttt(4.22)которая является, в силу (4.12), капиталом портфеля с ограниченной вариацией (π α , χα ).(π α ,χα )Из (4.22) и утверждения теоремы 2.3 имеем, что начальный капитал X0допускаетпредставление (4.16).(π α ,χα )Поэтому надо убедиться в том, что X0> 0.

Последнее означает, что надо установить,AAчто ln V 0 < 1. Действительно, из определения V 0 (смотри ((4.2)) следует, что для любогоγ ∈ D1N справедливо неравенствоVA0NP≤ esssup E exp 1AN (ω) −(γ i , ∆Si ) |F0 .QQ∈<N(4.23)i=1Очевидно, что стратегия γ t ≡ 0-допустима. Поэтому если в (4.23) положить γ N1 ≡ 0, тосправедливо неравенствоAV 0 ≤ esssup E Q exp {1AN (ω)} .(4.24)Q∈<NПоскольку логарифм является непрерывной монотонной функцией и для любого Q ∈ <NQ (AN ) < 1, то из (4.23) и (4.24) имеем неравенства:Aln V 0 ≤ ln esssup E Q exp {1AN (ω)} = esssupQ∈<N= esssupQ∈<Nln E Q exp {1AN (ω)} =Q∈<Nln E Q e1AN (ω) + 1AN (ω) = esssupln E Q {(e − 1) 1AN (ω) + 1} =(4.25)Q∈<N= esssupln {(e − 1) Q (AN ) + 1} < ln {(e − 1) + 1} = 1.Q∈<NТаким образом, формула (4.16) обоснована, т.е.(π α ,χα )X0A= c 1 − ln V 0 > 0.Покажем теперь, что построенный портфель π α -самофинансирующий, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации