Диссертация (1137423), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Установлено, что решение этих задач сводится к решению двухследующих задач: первая – это задача построения совершенного хеджирующего (минимаксногохеджирующего) портфеля с потреблением европейского опциона на многомерном неполномрынке с заданным (исходным) платежным обязательством, вторая – это задача построенияна том же рынке совершенного хеджирующего (минимаксного хеджирующего) портфеляс потреблением европейского опциона с платежным обязательством равным индикаторумножества, которое является дополнительным к множеству успешного хеджирования.Приведены новые примеры построения квантильного хеджирующего портфеля европейскогоопциона на конечном неполном рынке и минимаксного квантильного хеджирующего портфеляевропейского опциона на одномерном неполном компактном рынке.106ЗаключениеДиссертация посвящена теории расчета европейского опциона с дискретным временемнамногомерномнеполномрынкебезтрения.Впервойглаведиссертациибыларассмотрена многошаговая, стохастическая задача поиска минимакса для ожидаемого значениямультипликативного функционала, заданного на траекториях, являющихся согласованнымислучайными последовательностями, а сам функционал зависит от стратегий управления.Для построения ее решения была обоснована возможность применения стохастическоговарианта метода динамического программирования.
Были установлены условия существованияоптимальнойстратегииуправления.Установленоразложение,обобщающееизвестноеразложение Дуба, и справедливое относительно любой меры из классы эквивалентных.Были установлены условия существования решения данной многошаговой, стохастической,минимаксной задачи.Вторая глава диссертации посвящена решению задачи расчета европейского опционана неполном многомерном рынке относительно любой меры из класса эквивалентных. Вней использовалось предположение о разумности эмитента, которое можно сформулироватьследующим образом: поскольку распределение вероятностей последовательности цен рисковыхактивов эмитенту неизвестно, то следует считать, что оно доставляет максимальноезначение стоимости европейского опциона, при этом в рисковые активы надо вкладыватьтакой минимальный капитал, который бы позволил достоверно исполнить платежноеобязательство.
Данное предположение дало возможность связать решение задачи расчетаевропейскогоопционананеполномрынкебезтрениясрешениеммногошаговой,стохастической, минимаксной задачи, найденным в первой главе диссертации. Это позволилоустановить верхнюю границу спрэда (верхнее гарантированное значение) которая совпадаетс максимальной стоимостью опциона и описать способ построения суперхеджирующегопортфеля. Было также показано, что верхнее гарантированное значение удовлетворяетрекуррентному соотношению беллмановского типа, которое оказывается справедливо, когдацены рисковых активов являются согласованными случайными последовательностями (т.е.семимартингалы), а платежное обязательство – ограниченная измеримая функция. Кроме тогоустановлено, что построенный суперхеджирующий портфель является минимальным.Третья глава диссертации посвящена решению задачи расчета европейского опциона нанеполном многомерном рынке относительно наихудшей меры (т.е.
меры относительно которойстоимость опциона максимальна). Критерий существования наихудшей меры был установлен впервой главе диссертации. Для решения данной задачи нам потребовалось установить свойстванаихудшей меры. Показано, что наихудшая мера является мартингальной, единственной,дискретной, не принадлежит классу эквивалентных и относительно нее любое FN -измеримое,107ограниченное платежное обязательство допускает S−представление. Это позволяет исходныйрынок, относительно наихудшей меры, отождествить с полным. Полученные результатыпозволили описать, с точки зрения эмитента, наихудший для него рынок и способ построенияхеджирующего портфеля на нем.Четвертая глава диссертации посвящена решению задачи расчета европейского опциона сквантильным критерием на неполном многомерном рынке. В ней приводится и обосновываетсяметодика решения задачи расчета европейского опциона с квантильным критерием на неполноммногомерном рынке относительно любой меры из класса эквивалентных, а также наихудшеймеры.
Показано, что решение задачи расчета европейского опциона с квантильным критериемна неполном многомерном рынке может быть сведено к решению двух задач. Первая – этозадача построения суперхеджирующего (минимаксного хеджирующего) портфеля европейскогоопциона на многомерном неполном рынке с заданным (исходным) платежным обязательством.Вторая – это задача построения на том же рынке суперхеджирующего (минимаксногохеджирующего) портфеля европейского опциона с платежным обязательством равныминдикатору множества, являющегося дополнением к множеству успешного хеджирования.Устанавливается, что решение задачи квантильного суперхеджирования (минимаксногоквантильного хеджирования) относительно любой меры из класса эквивалентных (наихудшеймеры) совпадает с решением задачи суперхеджирования (минимаксного хеджирования)европейского опциона с платежным обязательством равным разности между (исходным)платежным обязательством и произведением стоимости опциона для исходного платежногообязательства домноженного на индикатор множества, являющегося дополнительным кмножеству успешного хеджирования.Во второй, третьей и четвертой главах диссертации построены новые примеры расчетаевропейского опциона, допускающие явное решение.108Список литературы1.
Азанов В. М., Кан Ю. С. Двухсторонняя оценка функции Беллмана в задачахстохастического оптимального управления дискретными системами по вероятностномукритерию качества / Автоматика и телемеханика. - 2018. - 2. - с.3-18.2. Азанов В. М., Кан Ю. С. Оптимизация коррекции околокруговой орбиты искусственногоспутника Земли по вероятностному критерию / Тр. ИСА РАН.
- 2015. - 2. - с.18-26.3. Азанов В. М., Кан Ю. С. Однопараметрическая задача оптимальной коррекции траекториилетательного аппарата по критерию вероятности / Изв. РАН Теория и СистемыУправления. - 2016. - 2. - с.18-26.4. Бертсекас Д., Шрив С. Оптимальное стохастическое управление.
М.: Наука, 1985. - 280с.5. Богачев В. И. Основы теории меры. Том 1. Москва+Ижевск.: НИЦ "Регулярная ихаотическая динамика", 2003. - 544с.6. Бояринцева Н.С., Хаметов В.М. Новая теорема о представлении мартингалов (дискретноевремя) / Математические заметки. - 2004. - т.75. - в.1. - с.40-54.7. Бунто Т. В., Кан Ю. С.
Оптимальное управление по квантильному критерию портфелемценных бумаг с ненулевой вероятностью разорения. / Автоматика и телемеханика. - 2013.- 5. - с.114–136.8. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: ФИЗМАТЛИТ. 1984. - 496с.9. Григорьев П.В., Кан Ю. С. Оптимальное управление по квантильному критерию портфелемценных бумаг / Автоматика и телемеханика. - 2004.
- 2. - с.179-197.10. Губерниев В. А., Кибзун А. И. Последовательное хеджирование опционной позиции: анализи модернизация / Автоматика и телемеханика. - 1999. - т.1. - с.113-125.11. Гущин А. А. О верхней цене хеджирования неотрицательных платежных обязательств //Современные проблемы математики и механики. - 2013.- т.8, 3.- с. 60–7212. Гущин А. А., Мордецки Э.
Границы цен опционов для семимартингальных моделей рынка.// Тр. МИАН. - 2002. -т. 237. - с. 80-122.10913. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Издательствоиностранной литературы. - 1962. - 896с.14. Дынкин Е. Б., Евстигнеев И. В. Регулярные условные математические ожиданиясоответствий. / Теория вероятностей и ее применение. - 1976. - т.21. - 2 - с.334-347.15.
Дынкин Е.Б., Юшкевич А. А. Управляемые марковские процессы и их приложения. М.:Наука. 1975. - 341с.16. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Том 1. М.:Физико-математическая литература. 1994. - 544 с.17. Кан Ю.С. О сходимости одного стохастического квазиградиентного алгоритма квантильнойоптимизации. / Автоматика и телемеханика.
- 2003. - 2. - с.100-116.18. Кан Ю.С. Оптимизация управления по квантильному критерию / Автоматика ителемеханика. - 2001. - 5. - с.77-88.19. Канторович Л. В. Об одной проблеме Монжа / Успехи математических наук. - 1948. - Т.3.- 2 - с.225–226.20. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А.
Позиционная стратегия формирования портфеля ценных бумаг/ Автоматика и телемеханика. - 2003. - 1. - с.151-166.21. Кибзун А. И., Соболь В.Р. Модернизация стратегии последовательного хеджированияопционной позиции / Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2013.
- в.19. - N 2.- с.179-192.22. Кибзун, А. И., Наумов А. В., Норкин В. И. О сведении задачи квантильной оптимизациис дискретным распределением к задаче смешанного целочисленного программирования /Автоматика и телемеханика. - 2013. - т.6. - с.66-86.23. Мейер П. А.
Вероятность и потенциалы. М.:Мир. 1973. - 330с.24. Мельников А.В., Волков С.Н. , Нечаев М.М. Математика финансовых обязательств.М.:ГУВШЭ. 2001. - 260с.25. Мельников А.В.,Феоктистов К.М. Вопросы безарбитражности и полноты дискретныхрынков и расчеты платежных обязательств / Обозрение прикладной и промышленнойматематики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
