Диссертация (1137401), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Но из-за выпуклости S для любого z 1 n 1 k 1 n 11 n 1kS Pnm z   S UzSUz  n  m k S z   S z  ,n  m k mm n  m k m поэтому S P C z   S z  . Применяя это неравенство к P B z  вместо z и используя(3.38), имеем   S P C z   S P C P B z   S P B z  .Итак, доказано и обратноенеравенство, а потому и совпадение временных средних и экстремалейБольцмана.Замечания.1.

Энтропия может быть и не определена на всем пространстве X . Условиетеоремы требует лишь, чтобы она была определена, непрерывна и имеламаксимум на X z .2. Пусть имеет место свойство сохранения положительности: для каждого x  X выполняется Ux  X  , где X  – неотрицательный конус в пространстве X . Тогдавместо X z рассматривают его пересечение с X  . Сохранение положительностидает нам, что если x  X  , то и Pnm z  X  , и PC z   X  . А в остальном79доказательствотеоремынеменяется.Вместосвойствасохраненияположительности можно рассматривать его аналоги или обобщение, когда вместонеотрицательного конуса X  берется некоторое замкнутое выпуклое множество впространстве X .3. Особенности гильбертова пространства позволяют упростить вывод посравнению со случаем банахова пространства [42].

Согласно [59] полученныйрезультат точно так же доказывается и в произвольном рефлексивном банаховомпространствеX(т.е.впространстве,совпадающемссопряженнымпространством к своему сопряженному: X  X ** ).Пример 5. Конечномерный случай. Оператор U должен иметь спектртолько на и внутри единичной окружности. Законам сохранения соответствуетпри этом точка спектра единица. Действительно, линейная оболочка собственныхвекторов,принадлежащихсопряженного к Uсобственномузначению,равномуединице,оператора: U * , есть пространство линейных законовсохранения, т.к. из условия (3.34) следует, что x, u   x, U *u  при всех x  X , азначит, U *u  u .

В силу того, что характеристические многочлены преобразованийU и U * совпадают: detU  E  detU *  E , получаем, что законам сохранениясоответствует точка спектра единица оператора U .Данный пример отмечался в работе [15], здесь же мы отметим, что такойоператор дает марковские цепи [§ 1 настоящей главы]. В качестве нормы Uможно взять, например, корень из ―минус энтропии (3.11)‖, если  h   h 2 , и такаянорма U будет равна единице.Пример 6. Уравнение Лиувилля с дискретным временем.Рассмотрим отображение  некоторого множества M (конечного илибесконечного) на себя.

Рассмотрим функции (действительные или комплексные)f x наM,xM ,и определим отображение Лиувилля Tформулой:T  f x   f  x  .Если множество M конечно, то можно считать, что M – это множествонатуральных чисел 1,2,, m , а функции образуют конечномерное пространство.80Если M – пространство с мерой dx , и  сохраняет меру, то можно ввестискалярное произведение и пространство L2 , а отображение T  f  оказываетсяунитарным:x Т f xT g xdx   f  xg  xdx   f  xg  x   d x   f y g y dy .****Здесь * – комплексное сопряжение.

Если M конечно, то в качестве меры можновзять такую, что мера каждого элемента множества M равна единице, асохранение меры означает, что происходит просто перестановка элементов M , азначит, и в этом случае скалярное произведение функций сохраняется. Поэтомуусловия теоремы выполняются, если в качестве S взять ―минус квадрат нормы‖.Отметим, что в формуле (3.37) правая часть зависит от функционала S , алевая не зависит. Напротив, левая часть зависит от оператора U , а правая зависитот него только через законы сохранения и свойство возрастания функционала S .А вместо стандартной Больцмановской энтропии можно брать вогнутыефункционалы: S h    hxdx , где  – строго вогнутая функция:S T h    T hxdx    h xdx    h xxd    hy dy  S h . Отметим работу [29], в которой доказывалось, что при фиксированнойнепрерывной функции f x область значений временного среднего совпадает смножеством пространственных средних.

Итак, множество пространственныхсредних, рассматриваемых в [29], совпадает с областью значений экстремали поБольцману.Пример 7. Круговая модель Марка Каца [31], [32].Пусть есть правильный многоугольник сnвершинами. Отметимнекоторое их число: m вершин. Их множество обозначим через S . В каждую из nвершин помещается шарик: черный или белый (Рисунок 3.2). Перейдем теперь кдинамике этой модели. В течение каждой единицы времени система шаровповорачиваетсянаугол2 nпротивчасовойстрелкивокругцентрамногоугольника – каждый шарик движется на один шаг против часовой стрелки –со следующим условием: шарик, принадлежавший множеству S , изменяет свой81цвет: черный становится белым, а белый – черным.

Если же шарик непринадлежал S , то он сохраняет свой цвет. Получается некоторая модельпереноса частиц, где S – это некоторое множество-рассеиватель.Рисунок 3.2.Формализация модели проста. Вершины пронумеруем числами от 1 до nпротив часовой стрелки. i пусть будет числом от 1 до n . Смену цвета легкоорганизовать, если систему описывать вектором размерности n , которыйобозначим буквой ε , у которого  i  1 , если i  S ;  i  1 , если i  S . Состояниесистемы шаров в дискретные моменты времени t  0,1,2, будем описыватьвектором ηt  размерности n .

Примем, что i t   1 , если шарик в вершине i вмомент t является черным; i t   1 , если шарик в вершине i в момент t являетсябелым. Число состояний системы или количество различных векторов η равно 2 n ,поскольку размерность равна n и есть ровно два варианта: черный или белый, 1 или  1 . Тогда легко получаются уравнения динамики данной модели:1 t  1   nn t ,i t  1   i 1i 1 t , i  2,3,, n.(3.39)Запишем систему (3.39) в векторной форме:ˆ ηt  ,ηt  1  Tгде ηt   1t ,2 t ,,n t T ,(3.40)82 0 0 0  0 n 0 1 0 0  00ˆ   0 2 0  0.T      0 0 0  00 0 0 0  0 n 1Если в момент t наша модель находится в состоянии δ , то в следующиймомент времени t  1 она будет находиться в состоянии η , где δ простым образомзависит от η , а именно, в силу (3.39) i   ii 1, i  1,2,3,, n  1, n   n1.(3.41)Поэтому уравнение Лиувилля с дискретным временем или марковская цепь для(3.39) (и (3.40)) будет иметь видf 1 ,2 ,,n ; t  1  f 12 ,  23 ,,  n1; t  ,(3.42)или f η, t  1  f Tˆ 1η, t  ,где f η; t   0 – число систем шаров в состоянии η в момент времени t иливероятность в момент времени t обнаружить систему шаров в состоянии η .Энтропия   f η; t ln f η; t  сохраняется на решениях (3.42).

Для нееηусловие теоремы 3.3 выполнено, и поэтому временное среднее совпадает сэкстремалью по Больцману, хотя сходимости к стационарному решению, вообщеговоря, нет: каждая из систем возвращается в исходное состояние через время 2n– каждая точка за 2n шагов меняет цвет четное число раз: 2m раз.Отметим, что для уравнения Лиувилля (3.42) всегда есть закон сохранениячисла всех состояний системы шаров – векторов η : f η; t   const ,гдеηсуммирование ведется по всем возможным векторам η – общее их количестворавно 2 n .Если мы пронумеруем вектора η , то плотности f η; t  образуют векторразмерности 2 n с положительными компонентами: f t  , i -я компонента которогоравна числу состояний системы шаров, соответствующих i -ому из векторов η :83f i t   f ηi ; t  , i  1,2,3,,2n .

Уравнение (3.42) можно записать в виде марковскойцепи: f t 1  Tf t  , где T  tij  – матрица размера 2n  2n . Когда вектора ηпронумерованы, оператор T определяется множеством S , т.е. T  Tε  , гдеε  1 ,  2 ,,  n  . tij  1 , если η i получается из η j за один шаг, т.е.

η j связан с η i какδ и η в (3.41); и tij  0 в остальных случаях.Оператор T является изоморфизмом, т.е. является взаимно однозначнымотображением R 2 на себя, сохраняющим скалярное произведение: Tf , Tg   f , g  .nТ.е. преобразование T является ортогональным, а значит, и сопряженный к немуоператор: T* , тоже является ортогональным. Отметим, что характеристическиемногочлены преобразований T и T* совпадают: detТ  E  detТ*  E . А в силутого, что операторы T и T* являются ортогональными преобразованиями, всекорни  этого характеристического многочлена по абсолютной величине равныединице:   1 , а кратность корня   1 совпадает с числом линейно независимыхсобственныхвекторовпреобразованияT* ,принадлежащихсобственномузначению   1 , а значит, и с размерностью пространства линейных законовсохранения для оператора T (см.

Характеристики

Список файлов диссертации