Автореферат (1137400)
Текст из файла
На правах рукописиАджиев Сергей ЗагировичИнварианты и дискретизация кинетических уравненийБольцмана и ЛиувилляСпециальность 01.01.03 – Математическая физика(физико-математические науки)Авторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2016Работа выполнена в федеральном государственном бюджетномучреждении науки «Институт прикладной математики им. М. В. КелдышаРоссийской академии наук»Научный руководитель:Веденяпин Виктор Валентинович,доктор физико-математических наук, профессорОфициальные оппоненты:Сакбаев Всеволод Жанович,доктор физико-математических наук, доцент,ФГОУ ВПО “Московский физико-техническийинститут(государственныйуниверситет)”,доцент кафедры высшей математикиПирогов Сергей Анатольевич,доктор физико-математических наук, старшийнаучный сотрудник, ФГБУН “Институт проблемпередачи информации им.
А.А. ХаркевичаРоссийской академии наук”, главный научныйсотрудникВедущая организация:ФГБУНМатематическийинститутим. В.А. Стеклова Российской академии наукЗащита состоится “__”__________2016 г. в ____час. на заседании диссертационного советаД212.048.17,созданногонабазефедеральногогосударственногоавтономногообразовательного учреждения высшего образования “Национальный исследовательскийуниверситет “Высшая школа экономики”, по адресу: 123458, Москва, ул. Таллинская, д. 34,ауд.
208.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательскогоуниверситета “Высшая школа экономики” по адресу: 101000, Москва, ул. Мясницкая, д. 20, ина сайте https://www.hse.ru/sci/diss/179404989Автореферат разослан “__”__________2016 г.ШнурковУченый секретарь диссертационного совета___________________________Петр Викторович2Общая характеристика работыАктуальностьтемыисследования.Всвязисразвитиемвычислительной техники и расширением границ применимости методовчисленного моделирования весьма актуальной становится задача созданияадекватных (физически обоснованных) математических моделей различныхпроцессов.Адекватность дискретных моделей подразумевает требование, чтобымодельнаследовалаосновныесвойстваисходногоуравнения.Весьмасущественным является требование консервативности, т.е.
чтобы в дискретноймодели присутствовали те законы сохранения, которые есть в исходномуравнении.При дискретизации кинетических уравнений особую роль играютлинейные (по функции распределения) законы сохранения. Именно ониопределяют переменные, возникающие при переходе к гидродинамике.Более того, пусть для рассматриваемых уравнений справедлива Нтеорема (закон убывания Н-функции или закон возрастания энтропии), котораявпервые была рассмотрена Больцманом в работе 1872 года (Boltzmann L.Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen.
// Wien: Akad.Sitzungsber, 1872. Bd. 66. S. 275–370. Перевод: Больцман Л. Дальнейшиеисследования теплового равновесия между молекулами газа // Избранныетруды. М.: 1984. С. 125–189). Тогда именно линейные законы сохраненияопределяют то, куда сходятся решения при времени, стремящемся кбесконечности.ДляклассическогоуравненияБольцманапроцедураварьирования энтропии при условии, что постоянные линейных законовсохранения фиксированы, дает стационарные решения – экстремали Больцмана– максвелловское распределение, т.е. распределение, определяемое законамисохранения числа частиц, импульса и энергии.
Н-теорема обеспечивает ихустойчивость.3Итак, при дискретизации кинетических уравнений оказывается важнойне только консервативность, но и отсутствие лишних (spurious) инвариантов,т.к. если в модели существуют лишние линейные законы сохранения, то вгидродинамике, получаемой из данной модели, возникают лишние переменные,а устойчивые стационарные решения при наличии Н-теоремы будут отличатьсяот тех, которые должны быть. Например, в случае дискретных моделейуравненияБольцманастационарныерешениябудутотличатьсяотмаксвелловского распределения.Уравнение Больцмана является основным уравнением в кинетическойтеории газов. Очень часто для моделирования тех или иных физическихпроцессов в газах используют различные аналоги этого уравнения. Одним изтаких объектов, активно изучаемых в последние четыре десятилетия, являютсядискретные модели уравнения Больцмана.
Они широко обсуждаются всовременных публикациях (Cornille H., Cercignani C. A class of planar discretevelocity models for gas mixtures // Journal of Statistical Physics. 2000. V. 99. № 3/4.P. 967–991; Bobylev A. V., Vinerean M. C. Construction of discrete kinetic modelswith given invariants // Journal of Statistical Physics. 2008. V. 132. № 1. P. 153–170)и приобрели особую актуальность во многомвычислительнойтехники.Однако,несмотряблагодаря развитиюназначительныйроствозможностей вычислительных технологий, уравнение Больцмана остаетсясложным уравнением для моделирования. В случае однокомпонентной смесивсегда есть модели с малым числом дискретных значений импульсов:например,модельБродуэлла.Вслучаесмесигазов,состоящихизразличающихся по массе молекул, задача построения дискретных моделей смалым числом значений импульсов рассматривалась для некоторых массчастиц компонент смеси, но в общем случае для произвольных масс частицкомпонент смеси не было построено простых моделей.
В связи с этимактуальна ставящаяся в настоящей диссертации задача оценки вычислительнойсложности задачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц,4отличающихся по массе. Вычислительная сложность пропорциональна числудискретных значений импульсов в модели.РассмотрениеH -теоремыкак для нелинейных уравнений типаклассических и квантовых кинетических уравнений, так и для линейногоуравнения Лиувилля и их дискретизаций оказывается актуальной задачей,поскольку проясняет вопрос адекватности дискретных моделей. При этомопределяющую роль здесь играет пространство линейных инвариантов, а егоразмерность дает основную информацию об асимптотических свойствах.Поэтому исследование таких пространств и поиск их размерностей такжеявляется актуальной задачей.Степеньразработанностинаучнойпроблемы.Построениюдискретных моделей кинетических уравнений с физически обоснованнымчислом линейных законов сохранения посвящено много работ, и здесь стоитотметить кандидатскую диссертацию С.
А. Амосова (Амосов С. А. Дискретныемодели кинетических уравнений для смесей: диссертация канд. физ.-мат. наук:01.01.03 / Амосов Степан Александрович. — М., 2002.), которая посвященапостроению таких моделей для классических и релятивистских газовых смесей.Постановка задачи восходит к работе С. К. Годунова и У. М. Султангазина 1971года (Годунов С. К., Султангазин У.
М. О дискретных моделях кинетическогоуравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. № 3. С. 3–51), в которой они делают следующее замечание: “Следует заметить, чтоспособ выбора дискретных скоростей, обеспечивающих описание течения газас законами сохранения трех компонент импульса и с сохранением энергии, вобщем случае не разработан. Эта разработка связана с трудностямикомбинаторно-геометрического характера”.
Простых моделей для смесей газовв общем случае для произвольных масс частиц компонент смеси не построенодо сих пор. Поэтому В. В. Веденяпиным была поставлена задача: оценитьминимальный размер дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей5частиц, отличающихся по массе, в зависимости от масс частиц компонентсмеси.В работах А. Пуанкаре (Пуанкаре А. Замечания о кинетической теориигазов. // Пуанкаре А. Избранные труды. Т.
3. М.: Наука, 1974), В. В. Козлова(Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Москва–Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2002) и Д. В. Трещева (Козлов В. В.,Трещев Д. В. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейныхгамильтоновых систем // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134.№ 3. С. 388–400) возникает новая форма H -теоремы: энтропия временногосреднего для уравнений Лиувилля (для произвольной гамильтоновой системы)не меньше, чем энтропия начального распределения. В работе В. В.
Веденяпина2008 года (Веденяпин В. В. Временные средние и экстремали по Больцману //Доклады Академии наук. 2008. Т. 422. № 2. С. 161–163) было показано, что вслучае, когда дивергенция скорости равна нулю, решение уравнения Лиувиллясходится «туда, куда надо» – временные средние определяются принципомусловного максимума энтропии (принципом Больцмана).
В настоящейдиссертации ставилась задача обобщить этот результат на случай, когдадивергенция скорости не равна нулю. Постановка задачи рассмотрениявариационного принципа Больцмана для уравнения Лиувилля с дискретнымвременем для круговой модели М. Каца также возникла на основе работ В. В.Козлова (Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре).Цели и задачи исследования. Целью настоящей работы являетсяисследование кинетических уравнений и их дискретизаций с позиции вопроса олинейных законах сохранения. При этом для дискретных моделей уравненияБольцмана возникает задача оценки минимального числа дискретных значенийимпульсов такого, чтобы модель не имела лишних линейных инвариантов.Также существенной задачей оказывается продолжение линии работ Больцманас целью расширить класс уравнений, для которых справедлив законвозрастания энтропии (закон убывания Н-функции) и процедура варьирования6энтропии при условии, что постоянные линейных законов сохраненияфиксированы, которая дает стационарные решения – экстремали Больцмана.Здесь возникают задачи и рассмотрения условий, при которых справедлива H теорема, и исследования пространств линейных инвариантов, которымиопределяются экстремали по Больцману.Научная новизна.
В представляемой к защите диссертации полученыоценкивычислительнойсложностизадачимоделированияуравненияБольцмана с помощью дискретных моделей для смесей частиц, отличающихсяпо массе. Доказана теорема, обобщающая результат работы В. В. Веденяпина2008 года со случая, когда дивергенция скорости равна нулю, на более общийслучай, когда существует положительное стационарное решение уравненияЛиувилля. Рассмотрен принцип условного максимума энтропии для уравненияЛиувилля с дискретным временем для круговой модели М. Каца, и полученыточные формулы для размерности пространства линейных инвариантов дляуравнения Лиувилля для этой модели.Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертациимогут быть использованы в решении различных задач, допускающихкинетическое описание, например, в физической кинетике, в механикежидкости и газа.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
