Автореферат (1137400), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Уравнение неразрывности или уравнение Лиувилля для этойсистемы имеет вид:f div vx  f   0 ,t(3)Определим временные средние или средние по Чезаро (Cesaro) решенияуравнения (3) формулойT1f x  lim  f t , x dt .T   T0CПусть имеется положительное стационарное решение  x уравнениянеразрывности (3):  x  0 , divv   0 .В этом случае проще всего результат получается в гильбертовомпространстве  L2 Rn  со скалярным произведением:g , h   g xhx dx . x Rn20Это пространство функций hx  таких, что функцияЛебегу, т.е.

существует интеграл h2L2h 2 x интегрируема по x h 2 x n  x  dx , который даёт квадрат нормыRфункции hx  в  L2 Rn  .В качестве энтропии требуются строго вогнутые функционалы, неубывающие на решениях. Но в рассматриваемом случае для уравненияЛиувилля (3) сохраняются функционалы относительной энтропии вида:S  f      f  dx .(4)Чтобы они были строго вогнуты, возьмем в качестве  произвольную строговогнутую функцию. Определим пространствоI  L2 Rnлинейных законов сохраненияуравнения неразрывности (3) как пространство линейных функционалов,сохраняющихся в силу (3): I  q L2 Rn : qx, f t , x  const– скалярноепроизведение не зависит от времени на решениях уравнения Лиувилля.Определим множество всех неотрицательных функций из  L2 Rn  с темиже самыми константами линейных законов сохранения, что и начальныеданные: LI , f 0, x  h L2 Rn , h  0 : qx, hx  f 0, x  0 q  I .Функцию из пространства L2 Rn , на которой достигается максимумэнтропии (4) при условии, что постоянные всех линейных законов сохраненияфиксированы по начальным данным:Больцману: f B x  argsuphL  I , f 0, x suphL  I , f 0, x S h , назовем экстремалью поS h  .Сформулируем обобщение теоремы В.

В. Веденяпина 2008 года.Рассмотрим задачу Коши для уравнения Лиувилля (3) с неотрицательныминачальными данными f 0, x из  L2 .21Теорема 3.4. Пусть на множестве, где постоянные всех линейныхзаконов сохранения фиксированы по начальным данным, т.е. на множествеLI , f 0, x , энтропия S непрерывна, ограничена сверху, иhlim2 n  L  R  S h   .hL  I , f 0, x Тогда 1) экстремаль Больцмана существует и единственна на множествеLI , f 0, x , 2) среднее по Чезаро и экстремаль Больцмана совпадают:f C x   f B x  .Чтобы выписать явный вид экстремали по Больцману, введем понятиефункционального базиса в некотором подпространстве пространства  L2 Rn  .Определение.пространства L2 RnФункциональнымбудембазисомназыватьвподпространствеконечныйнаборMфункций: qx  q1 x, q2 x,, qk x, qi x  M  L2 Rn для всех i  1,2,, k , такой, что каждаяфункция g x из пространства M : g x M  L2 Rn  , выражается через некоторую q q2функцию  с зависимостью вида  1 , ,,qk  от этих k элементовфункционального базиса и стационарного решения  , т.е.

выполняется q1 x  q2 x q x  ,,, k  . x    x   x тождество g x    x  Пусть выполнены условия теоремы 3.4 и существует функциональныйбазис гладких линейных законов сохранения, т.е. функциональный базис из kфункций: qx  q1 x, q2 x,, qk x, в пространстве линейных законов сохранения I  L2 Rn , причем qi x   x   C 1 R nдля всех i  1,2,, k . Тогда экстремальБольцмана (которая существует, единственна и совпадает со средним по Чезаров силу теоремы 3.4) имеет вид:f B x  1 x  f 0, qx   x , ψ J qx   x , ψ dψ .N x 22где N x     qx   x , ψ J qx   x , ψ dψ , ψx   1 x, 2 x,, n k x – гладкиекоординаты на множествахi  1,2,, n  k ,qx  x  const ,т.е.  i x   C1 R n для всехпричем совокупность q  , ψ дает гладкую систему координат вR n , J q  , ψ  – якобиан перехода к этой системе координат.

Начальные данныеи стационарное решение  x под интегралами выражены через координатыq  , ψ .Взаключениидиссертациикраткосформулированыосновныеполученные в ней результаты.Постановка всех задач диссертации принадлежит В. В. Веденяпину.Результаты первых параграфов каждой из глав, а также § 2 третьей главыполучены в соавторстве с В.

В. Веденяпиным. Теоремы § 2 первой главы иосновой части второй главы получены автором самостоятельно, а новыедискретные модели без лишних инвариантов с нерегулярными сетками(“кресты”) предложены В. В. Веденяпиным. Формулы для размерностипространства линейных инвариантов для уравнения Лиувилля с дискретнымвременем для круговой модели Марка Каца в § 3 третьей главы идоказательствотеорем§4(теорема3.4)такжеполученыавторомсамостоятельно.Основное содержание диссертации опубликовано в соавторстве сВеденяпиным В.В.: положения, выносимые на защиту, получены авторомсамостоятельно, а остальные – совместно в [1]–[6].

Основное содержание § 1первой главы опубликовано в [5]. В работах [4], [6] возникает постановказадачи для § 2 первой главы. В [2] опубликовано содержание второй главыдиссертации, в [3] – §§ 1 и 3 третьей главы, в [1] – §§ 2 и 4 третьей главы.ЗаключениеПри дискретизации любого уравнения Лиувилля всегда заботятся осохранении числа частиц и свойства положительности.

При дискретизации попространству мы должны получить линейную систему обыкновенных23дифференциальных уравнений с теми же свойствами. Поэтому матрицасистемы будет стохастической, и система будет представлять собой марковсийпроцесс. И далее получается марковскую цепь, когда и время дискретно.

Итак,поведение решения всех трех объектов сходно: среднее по Чезаро совпадает сэкстремалью по Больцману. А ключевую роль здесь играют линейные законысохранения, поскольку именно они определяют стационарные решения(экстремали по Больцману).Представляет интерес обобщение теоремы о совпадении временногосреднего с экстремалью по Больцману на случаи, когда необязательно, чтосуществует положительное стационарное решение уравнения Лиувилля.Интересно было бы обобщить полученный результат для круговоймодели Марка Каца, рассмотрев большее число цветов шаров, получая приэтом более реалистичные модели переноса.Показано, что моделирование уравнения Больцмана для смесей, вчастности, для больших отношений масс становится затруднительным:приходится брать много значений импульсов частиц – размер сеток порядка“корня из отношения масс” частиц компонент смеси.

Поэтому остаетсяактуальной задача построения простых дискретных моделей уравненияБольцмана для смесей, т.е. моделей, имеющих малое число дискретныхзначений импульсов.На основе второй главы диссертации можно:1) оценить размер дискретной модели уравнения Больцмана для смесей cфизически обоснованной размерностью линейных законов сохранения,задав массы частиц компонент смеси,2) для дробных отношений масс частиц различных сортов решить, какимидробями представлять отношения масс, так чтобы минимизироватьразмер сетки,3) воспользоваться новыми предложенными моделями.24Список работ, опубликованных автором по теме диссертацииРаботы, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналахи изданиях, рекомендованных ВАК:1.

Аджиев, С. З. О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана длясмесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительнойматематики и математической физики. — 2007. — Т. 47. № 6. — С. 1045–1054. — 1.0 п.л. (вклад автора 0.5 п.л.).2. Аджиев, С. З. Временные средние и экстремали Больцмана для марковскихцепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Марка Каца / С.З. Аджиев, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительной математики иматематической физики.

— 2011. — Т. 51. № 11. — С. 2063–2074. — 1.2 п.л.(вклад автора 0.6 п.л.).3. Веденяпин, В. В. Энтропия по Больцману и Пуанкаре / В. В. Веденяпин,С. З. Аджиев // Успехи математических наук. — 2014. — Т. 69. № 6. — С.45–80. — 5.3 п.л. (вклад автора 2.6 п.л.).4. Аджиев, С. З. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений длясмесей / С. З. Аджиев, С. А. Амосов, В. В.

Веденяпин // Журналвычислительной математики и математической физики. — 2004. — Т. 44. №3. — С. 553–558. — 1.2 п.л. (вклад автора 0.4 п.л.).Работы, опубликованные в других изданиях:5.Аджиев, С. З. Об одномерных дискретных моделях уравнения Больцманадля смесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин, Ю. А. Волков. Сборникнаучных трудов “Обработка информации и моделирование”.

— М.:Московскийфизико-техническийинститут(государственныйуниверситет), 2002. — С. 127–136. —1.0 п.л. (вклад автора 0.3 п.л.).6.Веденяпин,В.В.Дискретныекинетическиемоделииточнаяконсервативность / В. В. Веденяпин, C. А. Амосов, С. З. Аджиев.Современные проблемы механики и физики космоса. Сборник статей. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — С. 174–185. —1.0 п.л.

(вклад автора 0.3 п.л.).25Лицензия ЛР № 020832 от «15» октября 1993 г.Подписано в печать «__» __________ _____ г. Формат 60х84/16Бумага офсетная. Печать офсетная.Усл. печ. л. 1.Тираж ___ экз. Заказ №___ Типография издательства НИУ ВШЭ,125319, г. Москва, Кочновский пр-д., д. 3.26.

Характеристики

Список файлов диссертации