Автореферат (1137400), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Можно обеспечить любой порядок аппроксимации   0,1выбором достаточно малого шага 0  h  h0   : QF , f   p   Qh F , f   p   O h .Вторая глава диссертации посвящена исследованию вычислительнойсложности задачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц,отличающихся по массе, с помощью симметричных дискретных моделей, вкоторых есть обмен энергией между компонентами смеси. Наличие обменаэнергией между компонентами смеси является необходимым условием длятого, чтобы в модели не возникало лишних линейных инвариантов. Также в нейпредставлены новые дискретные модели без лишних линейных законовсохранения.При моделировании уравнения Больцмана на компьютере с помощьюДМУБ вычислительная сложность задачи пропорциональна числу n скоэффициентом nt n x , где n – число уравнений в (1), n x – число узловпространственной сетки, nt – число шагов вычисления по времени.

Мы видим,что вычислительная сложность задачи пропорциональна n с очень большимкоэффициентом. Таким образом, при больших n моделирование становится14затруднительным. Фактически, в настоящей главе исследуется зависимостьчисла n от отношений масс частиц различных компонент смеси.В § 1 второй главы рассматривается поставка этой задачи. Безограничения общности будем считать шаг сетки h=1. Для заданной ДМУБбудем называть максимум абсолютных величин координат значений импульсоввдоль каждой оси размером этой модели.

Он равен половине длины ребра dмерного минимального куба, который содержит сетку ДМУБ, с центром вначале координат ис ребрами, параллельными координатным осям.Наименьший размер d-мерных моделей с физически обоснованным числомлинейных инвариантов для данного отношения масс M/m мы будем обозначатьчерез Sd M m . Физически обоснованное число линейных законов сохраненияравно r  d  1 , как у уравнения Больцмана для r -компонентной смеси. Врассматриваемом случае r  2 .Поясняя это определение размера дискретной модели и переходя крезультату – к оценкам наименьшего размера моделей, рассмотрим пример –набор двумерных моделей размера s .

На рисунке размер s  5 , а вообще, s –любое натуральное число, большее единицы. Крестами будем обозначатьзначения импульсов легких частиц, кругами – значения импульсов тяжелыхчастиц. Рассмотрим следующее столкновение с обменом энергией междукомпонентами смеси: пусть при столкновении легкой частицы с импульсомq   s,0 c тяжелой частицей с импульсом p  s  1, s  получается легкая частицас импульсом q   1, s и тяжелая с импульсом p  0,0 .

Закон сохраненияимпульса соответствует тому, что значения импульсов частиц, участвующих встолкновении, образуют параллелограмм, а закон сохранения энергии в этомстолкновении задает нам отношение масс. Для рассматриваемого столкновенияM m  2s 2  2s  1 .15Закон роста размера в зависимости от отношения масс здесь таков:sM m ~M m.2Отметим, что, если мы имеем узел сетки со значениями импульсовтяжелых и легких частиц, то мы используем два узла сетки: один – длязначения импульсов тяжелых частиц, а другой – для значения импульсовлегких частиц. Примером модели без лишних законов сохранения являетсяДМУБ, когда значения импульсов тяжелых и легких частиц заполняют все узлывнутри d-мерного куба, описанного в предыдущем абзаце, и когда в моделиприсутствуют все возможные столкновения между частицами, имеющими этизначения, – регулярная сетка. Таким образом, для модели наименьшего размерас регулярной сеткой нам нужно n  22Sd M m  1d узлов, и столько жеуравнений мы получаем в системе (1).В § 2 рассматриваются оценки для значений Sd M m .Простейшую оценку для наименьшего размера d-мерных моделей даетследующаяТеорема 2.1.

Для наименьшего размера d-мерных дискретных моделейбез лишних инвариантов с отношением масс M/m имеет место следующаяоценка:16S d M m M m.dВведем две функции, определенных на множестве рациональных чисел:N(λ) и D(λ), где λ – любое рациональное число. N(λ) – числитель дроби λ,представленной в несократимом виде,D(λ) – знаменатель дроби λ,представленной в несократимом виде. В несократимой форме рациональноечисло λ таково: λ=N(λ)/D(λ).Теорема 2.2. Пусть N(M/m) и D(M/m) нечетные. ТогдаS d M m  N M m d  ,12Пусть одно из этих натуральных чисел четное. ТогдаS d M m  2 N M m d  .12Следующая теорема дает оценки для Sd M m , которые зависят только отзначения дроби M/m и не содержат функции N(M/m) и D(M/m).Теорема 2.3.

Для наименьшего размера d-мерных дискретных моделейбез лишних инвариантов с отношением масс M/m справедливы следующиеоценки:M mS d M m    d M m  2K12,где 2K – ближайшее к M/m четное целое число, не равное ему (если существуетдва таких числа, то мы можем взять любое из них),122M mS d M m    d M m  2 K  1  ,где 2K+1 – ближайшее к M/m нечетное целое число, не равное ему (еслисуществует два таких числа, то мы можем взять любое из них).Теоремы 2.1–2.3 дают оценки снизу для Sd M m .

Правые части этихоценок могут стремиться к   , например, когда M/m→   . Для каждой изполученных оценок для каждого случая, когда правая часть стремится к   ,предъявлен набор моделей, показывающий, что оценка сверху отличается от17оценки снизу лишь коэффициентом, большим единицы и не стремящемся к  .

Например, в простейшей оценке (теорема 2.1) мы имеем такой же законроста размера моделей, как и в рассмотренном примере – наборе двумерныхмоделей размера s .В одномерном случае: d  1 , оказывается возможным улучшить всерассмотренные оценки, и этому вопросу посвящен § 2.3. В § 2.4 краткосформулированы основные итоги главы 2.Третья глава диссертации посвящена рассмотрению Н-теоремы.

Цельэтой главы – продолжать линию работ Больцмана, стараясь расширить классуравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии (законубывания Н-функции), и исследовать условия, при которых справедлива H теорема.H -теорема не только обосновывает 2-й закон термодинамики, но и даетинформацию о поведении решений. ДоказательствоH -теоремыделаетповедение решений уравнений понятным, так как позволяет узнать, куда онисходится при времени, стремящемся к бесконечности.

Это можно сделать безрешения уравнений, найдя экстремаль Больцмана – аргумент минимума H функции (убывающего на решениях функционала) при условии, что значениялинейныхзаконовсохраненияфиксированы.Н-теоремаобеспечиваетустойчивость полученных решений.В § 1 третьей главы дан краткий исторический обзор – обсуждаетсяработы Больцмана, в которых впервые возникает Н-теорема, и рассматриваетсявопрос о правильной (физически обоснованной) дискретизации уравненияЛиувилля с позиции H -теоремы.В § 2 доказывается H -теорема для обобщений уравнений химическойкинетики, включающих в себя дискретные модели квантовых кинетическихуравнений (уравнений Юлинга–Уленбека) и квантовый марковский процесс(квантовое случайное блуждание).

Доказывается, что понятие экстремалиБольцмана работает и в этом случае.18В работе В.В. Веденяпина 2008 года (Веденяпин В. В. Временныесредние и экстремали по Больцману // Доклады Академии наук. 2008. Т. 422. №2. С. 161–163) доказывалось совпадение временных средних (средних поЧезаро) с экстремалями по Больцману для уравнения Лиувилля, когдадивергенция скорости равна нулю.В § 3 рассматривается вариационный принцип для поиска стационарныхрешений для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой моделиМарка Каца: исследуется множество всех линейных законов сохранения дляэтой модели, которым определяются стационарные решения – экстремали поБольцману, совпадающие с временными средними.

Получены точные формулыдля размерности пространства линейных инвариантов.Модель М. Каца (Кац М. Несколько вероятностных задач физики иматематики. М.: Наука, 1967) представляет собой следующую систему.Рассмотрим правильный многоугольник с n вершинами. Отметим некотороепроизвольное их множество, которое обозначим через S . Пусть S состоит из mвершин.

В каждую из n вершин помещается шарик: черный или белый. Втечение каждой единицы времени система шаров поворачивается на угол 2 nпротив часовой стрелки вокруг центра многоугольника – каждый шариксдвигается на один шаг против часовой стрелки – со следующим условием:шарик, принадлежавший множеству S , изменяет свой цвет: черный становитсябелым, а белый – черным. Если же шарик не принадлежал S , то он сохраняетсвой цвет. Получается некоторая модель переноса, где S – это множестворассеиватель.Оказалось, что число линейных законов сохранения для уравненияЛиувилля с дискретным временем для этой модели зависит от числа n ичетности числа m .

В частности, справедлива следующая19Теорема. Для уравнения Лиувилля с дискретным временем для моделиМ. Каца в случае простого n число линейных законов сохранения для четного2n 1  12n 1  1, а для нечетного m : 1 при n  2 и единице при n  2 .m равно 2  2nnБыли получены формулы для числа линейных инвариантов и в случаепроизвольного n . Поскольку ответ должен быть натуральным числом, то оноказался связан с малой теоремой Ферма и теоремой Эйлера из теории чисел(для основания степени, равного двум).В § 4 рассматривается обобщение теоремы работы В. В. Веденяпина2008 года о совпадении для уравнения Лиувилля временного среднего сэкстремалью по Больцману с бездивергентного случая на более общий случай,когда существует положительное стационарное решение уравнения Лиувилля.Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:dx dt  vx .

Характеристики

Список файлов диссертации