Автореферат (1137400), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Предъявлены новые дискретные модели квантовой иклассическойхимическойкинетикисправильнымчисломлинейныхинвариантов.Результаты диссертации используются при чтении курса лекций“Кинетические уравнения” в МФТИ.Методы исследования. В диссертационной работе применялисьследующие математические методы:1. Методы теории выпуклых функций.2. Методы функционального анализа и теории линейных операторов.3. Теория чисел.На защиту выносятся следующие положения диссертации:71.Теоремы-оценкиминимальногоразмерадискретныхмоделейуравнения Больцмана для смесей частиц, отличающихся по массе, с физическиобоснованным числом линейных законов сохранения.

Размер дискретныхмоделей определяет вычислительную сложность задачи моделированияуравнения Больцмана.2. Исследование множества всех линейных законов сохраненияуравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца,которым определяются стационарные решения – временные средние (средниепо Чезаро), совпадающие с экстремалями по Больцману. Теоремы, дающиеточные формулы для размерности пространства линейных инвариантов. Ответоказывается связанным с малой теорема Ферма и теоремой Эйлера из теориичисел (для основания степени, равного двум).3.

Теорема о совпадении временного среднего с экстремалью поБольцману, для случая, когда существует положительное стационарноерешениеуравненияЛиувилля.Этотрезультатявляетсяобобщениеманалогичной теоремы, новой формы H-теоремы для уравнения Лиувилля, дляслучая, когда дивергенция скорости равна нулю.Степень достоверности и апробация результатов. Достоверностьполученныхрезультатовобусловленаиспользуемымистрогимиматематическими методами исследования. Все новые научные результаты внастоящей диссертационной работе строго доказаны. Достоверность иобоснованностьполученныхрезультатовтакжеподтверждаетсяположительными результатами их внедрения в учебный процесс.Материалы диссертации докладывались на XVII-ой Международнойконференции по вычислительной механике и современным прикладнымпрограммным системам (Алушта, 25–31 мая 2011 г.; доклад на тему “H-теоремадля дискретных кинетических уравнений и их обобщений”), на второймеждународной конференции “Моделирование нелинейных процессов исистем” (Москва, 6–10 июня 2011 г.; доклад на тему “H-теорема для8дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений”), наМеждународной конференции по математической теории управления имеханике (Суздаль, 1–5 июля 2011 г.; доклад на тему “H-теорема длядискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений”), наМеждународной математической конференции "50 лет ИППИ РАН" (Москва,25–29 июля 2011 г.; доклад на тему “The Н-theorem for the discrete quantumkinetic equations and for its generalizations”), на VI-ой Международнойконференции по дифференциальным и функционально-дифференциальнымуравнениям (Москва, 14–21 августа 2011 г.; доклад на тему “H-теорема длядискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений”), на семинарепо вычислительной астрофизике Института прикладной математики им.

М. В.Келдыша (Москва, ИПМ, 16 декабря 2010 г., руководитель – д.ф.-м.н. С. В.Утюжников), на семинаре РУДН по дифференциальным и функциональнодифференциальнымуравнениям(Москва,РУДН,17ноября2013г.,руководитель – д.ф.-м.н. А. Л. Скубачевский), на семинарах Механикоматематического факультета Московского государственного университета им.М.

В. Ломоносова "Теория вероятностей и эргодическая теория" (Москва, МГУ,2012 г., руководители – д.ф.-м.н. Б. М. Гуревич, д.ф.-м.н. В. И. Оселедец, д.ф.м.н. С. А. Пирогов), “Бесконечномерный анализ и математическая физика”(Москва, МГУ, 12 марта 2012 г., руководители – д.ф.-м.н.

О. Г. Смолянов, д.ф.м.н. Е. Т. Шавгулидзе), “Гамильтоновы системы и статистическая механика”(Москва, МГУ, 2012 г., руководители – акад. РАН В. В. Козлов, чл.-корр. РАНД. В. Трещев), на семинаре по математической физике Института прикладнойматематики им. М. В. Келдыша (Москва, ИПМ, 26 ноября 2013 г. и 17 ноября2015 г., руководители – д.ф.-м.н. М. В. Масленников, д.ф.-м.н. В. В.

Веденяпин,д.ф.-м.н.В.А.Дородницин,д.ф.-м.н.Ю.Н.Орлов),насеминаре“Вычислительные методы и математическое моделирование” Институтаприкладной математики им. М. В. Келдыша (Москва, ИПМ, 2012 г.,руководители – чл.-корр. РАН Ю. П. Попов, д.ф.-м.н. М. П. Галанин), на9семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН (Москва,ИППИ, 19 ноября 2013 г., руководители – д.ф.-м.н. Р. А. Милос, д.ф.-м.н. М.

Л.Бланк), на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИАН (Москва,МИАН, 29 мая 2013 г., руководители – акад. РАН Д. В. Аносов, д.ф.-м.н. Ю. С.Ильяшенко), на семинаре отдела математической физики МИАН (Москва,МИАН, 6 июня 2013 г., 20 февраля 2014 г., руководитель – чл.-корр. РАН.

И. В.Волович), на семинаре по теории функций многих действительных переменныхи ее приложениям к задачам математической физики (Семинар Никольского)(Москва, МИАН, 19 марта 2014 г.).Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы из 64наименований. Объем диссертации – 110 страниц, включая оглавление и списоклитературы.Основное содержание работыВовведенииперечисляютсяобсуждаетсярезультаты,актуальностьвыносимыенатемызащиту,идиссертации,описываетсяраспределение материала по главам.ДискретныемоделиуравненияБольцмана(сокращенноДМУБ)рассматриваются в каждой из глав диссертации, поэтому определениедискретных моделей излагается во введении.Будем считать, что движение частиц происходит вd -мерномпространстве, d  1,2,3 .

Введем равномерную сетку в пространстве импульсов сшагом h так, чтобы узлы сетки отвечали значениям импульсов pk  kh , k  Z d .Дискретная модель с импульсами на решетке – это набор масс m1,  , mn (срединих могут быть и совпадающие), векторов p1,  , pn , принадлежащих сетке, истолкновенийi, j   k , l  ,являющихсянеупорядоченнымипараминеупорядоченных пар целочисленных индексов. Обозначим это множествочетверок i, j   k , l  через S . Множество S указывает ненулевые сечения10m ,  , m ; p ,  , p1n1 klij   ijkl   klji   lkij  0 . klij :столкновенийn; S ;  klij ,   i, j    k , l    SЭтойставитсявсовокупностисоответствиесистемадифференциальных уравнений (дискретная модель столкновений):fi  pi fi   ,   J i  f1 , f 2 , f n  ,t  mi x гдеx  R d , i=1,2,…,n,(1)f i  f i t , x – функция распределения частиц массы mi со значениемимпульса pi по координатам x в момент времени t, а скорость измененияфункции распределения f i t , x  в результате взаимодействия (столкновений)частиц есть Ji  f1, f 2 ,, f n    klij  f k fl  fi f j  – моделирует интеграл столкновений.Суммирование здесь ведется по четверкам из множества S , в которых естьиндекс i: для них  klij  0 .Описанная модель столкновений называется дискретной модельюуравнения Больцмана, если выбранные столкновения таковы, что для каждогостолкновения i, j   k , l  удовлетворяются законы сохранения числа частицкаждого сорта, импульса и энергии.

Предполагается, что молекулы упруго и безхимических реакций взаимодействуют по законам классической механики.Для уравнения Больцмана для смесей газов существует ровно r  d  1линейный инвариант, отвечающий сохранению числа частиц каждого из r  F t, p, xdpdx ,сортов:iгде Fi t , p, x – функция распределения частиц i -гоRd Rdсорта,имеющихr   pF t , p, xdpdx ,i 1 R d R diмассуMi( i  1,2,, r ),и полной энергии:rкомпонентd2p   2M F t , p, x dpdx .i 1 R d R diимпульса:Столько жеiзаконов сохранения должна иметь и дискретная модель.Обычно будем рассматривать ДМУБ для смеси частиц двух сортов( r  2 ), различающихся по массе, с отношением массы более тяжелой частицы кмассе более легкой, равным M/m (M>m).11Законы сохранения импульса и энергии для любого столкновения междудвумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, имеютвид:p  q  p  q,p  p2 q2  q 2,2M2m(2)2где p и q – значения импульсов тяжелой и легкой частиц до столкновения, p  иq – после столкновения.Будемговорить,чтостолкновениемеждудвумячастицами,принадлежащими различным компонентам смеси, происходит с обменомэнергией, если правая и левая части второго уравнения системы (2) ненулевые:q2  q 2  0 и p2  p 2  0 .В модели есть обмен энергией между компонентами смеси, если онасодержит хотя бы одно столкновение с обменом энергией между частицами,принадлежащим различным компонентам смеси.Из (2) получаем, что M/m должно быть рациональным числом длямоделей с обменом энергией, т.к.

импульсы имеют координаты, кратные шагусетки h .Первая глава диссертации посвящена одномерным дискретныммоделям уравнения Больцмана для смесей. Рассмотрение одномерныхдискретных моделей является важным хотя бы потому, что с помощьюсимметризации из одномерной модели легко получаются модели большейразмерности, причем из модели без лишних инвариантов получается модельбольшей размерности с тем же свойством.В § 1 первой главы исследуется гипотеза о том, что существуют толькодве модели: Амосова–Веденяпина и Монако–Прециози (Monaco R., Preziosi L.Fluid dynamic applications of the discrete Boltzmann equation. Singapore: WorldScientific, 1991) с физически обоснованным количеством законов сохранения вклассе одномерных симметричных дискретных моделей уравнения Больцмана12для двухкомпонентной смеси.

В широком классе моделей эта гипотезаоказывается верной, и во многих случаях указан конкретный вид лишнихинвариантов.Очевидно, что эта задача сводится к доказательству существованиярешения уравнения  p  q    p  qна функции   p  и  q  целочисленного аргумента (здесь без ограниченияобщности шаг сетки h  1 ), принимающие действительные значения, линейнонезависимого от стандартных законов сохранения числа частиц, импульса иэнергии,т.е.несовпадающегос  p   1  p   p 2 M ,функциями q    2  q   q 2 m , где 1 ,  2 ,  ,  – некоторые числа. Здесьзначенияимпульсовтяжелойилегкойчастицпослеp и q –столкновения,определяющиеся законами столкновений:p   q     p  q ,q   p     p  q ,где  M m.M mВ § 2 первой главы рассмотрена аппроксимация уравнения Больцманадля двухкомпонентной смеси газов дискретной моделью в одномерном случаеи приведена оценка сходимости квадратурной формулы для интеграластолкновений.Пусть F t , p, x – функция распределения частиц массы M , f t, q, x –функция распределения частиц массы m по координатам x  R и импульсам( p, q  R ) в момент времени t  0 .

В одномерном случае интеграл столкновенийуравнения Больцмана для тяжелых частиц имеет вид:QF , f  p    dqB  u F  p  f q   F  p  f q  ,R13где u pqMm– относительная скорость сталкивающихся частиц,  –M mM mприведенная масса, функция B u   u   u  – ядро интеграла столкновений ссечением столкновений   u   0 .Представим  в виде несократимой дроби:   N   D  . Интегралстолкновений аппроксимируется своим дискретным аналогом – квадратурнойформулой: N h kD   N p h Qh F , f  p    D hB p mk M F k N    D   N p h  f  kN    N p h   F N p h  f kD   N p h  .Здесь N p – такое целое число, что точка N p h является ближайшей точкойрешетки к точке p .

Характеристики

Список файлов диссертации