Диссертация (1137401)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки«Институт прикладной математики им. М. В. КелдышаРоссийской академии наук»На правах рукописиАджиев Сергей ЗагировичИНВАРИАНТЫ И ДИСКРЕТИЗАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙБОЛЬЦМАНА И ЛИУВИЛЛЯСпециальность 01.01.03 – Математическая физика(физико-математические науки)Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорВеденяпин Виктор ВалентиновичМосква – 20162ОглавлениеВведение…………………………………..…………………………………………….3Глава 1.

Одномерные дискретные модели уравнения Больцмана для смесей........19§ 1. Об инвариантах одномерных дискретных моделей уравнения Больцмана длясмесей…..……………………………………………………………………………...19§ 2. Аппроксимация интеграла столкновений одномерного уравнения Больцманадля смесей дискретной моделью……………………………………………………..32Глава 2. О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей…….39§ 1. Постановка задачи...……………………………………………………..……….39§ 2. О размерах моделей в общем d-мерном случае…...……………………………40§ 3. О размерах моделей в одномерном случае..…...……………………………….47Глава 3.

Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений,уравнения Лиувилля и их обобщений…………………...…………………….…….53§ 1. Необратимость и дискретизация.………………………………………….…….53§ 2. Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и ихобобщений……………………………………………………………………………..60§ 3. Временные средние и экстремали Больцмана для дискретного уравненияЛиувилля и круговой модели Марка Каца……............……………………………..76§ 4. Вариационный принцип для уравнения Лиувилля...…………………….…….90Заключение……………………………………………………………………….......101Список литературы..…………………………………………………………………1043ВведениеАктуальность темы исследования. В связи с развитием вычислительнойтехникиирасширениемграницприменимостиметодовчисленногомоделирования весьма актуальной становится задача создания адекватных(физически обоснованных) математических моделей различных процессов.Адекватность дискретных моделей подразумевает требование, чтобымодельнаследовалаосновныесвойстваисходногоуравнения.Весьмасущественным является требование консервативности, т.е.

чтобы в дискретноймодели присутствовали те законы сохранения, которые есть в исходномуравнении.При дискретизации кинетических уравнений особую роль играютлинейныезаконысохранения.Именноониопределяютпеременные,возникающие при переходе к гидродинамике.Более того, пусть для рассматриваемых уравнений справедлива Н-теорема(закон убывания Н-функции или закон возрастания энтропии), которая впервыебыла рассмотрена Больцманом в работе 1872 года [51].

Тогда именно линейныезаконы сохранения определяют то, куда сходятся решения при времени,стремящемся к бесконечности. Для классического уравнения Больцманапроцедура варьирования энтропии при условии, что постоянные линейныхзаконов сохранения фиксированы, дает стационарные решения – экстремалиБольцмана.

Н-теорема обеспечивает их устойчивость.Итак, при дискретизации кинетических уравнений оказывается важной нетолько консервативность, но и отсутствие лишних (spurious) инвариантов, т.к.если в модели существуют лишние линейные законы сохранения, то вгидродинамике, получаемой из данной модели, возникают лишние переменные, аустойчивые стационарные решения при наличии Н-теоремы будут отличаться оттех, которые должны быть. Например, в случае дискретных моделей уравненияБольцмана стационарные решения будут отличаться от максвелловского4распределения, т.е. распределения, определяемого законами сохранения числачастиц, импульса и энергии.Уравнение Больцмана является основным уравнением в кинетическойтеории газов.

Очень часто для моделирования тех или иных физическихпроцессов в газах используют различные аналоги этого уравнения. Одним изтаких объектов, активно изучаемых в последние четыре десятилетия, являютсядискретные модели уравнения Больцмана [1], [11], [12], [13], [20]–[22], [28], [46]–[50], [53], [54], [60], [62]. Они приобрели особую актуальность во многомблагодаря развитию вычислительной техники. Однако, несмотря на значительныйрост возможностей вычислительных технологий, уравнение Больцмана остаетсясложным уравнением для моделирования. В случае однокомпонентной смесивсегда есть модели с малым числом дискретных значений импульсов: например,модель Бродуэлла.

В случае смеси газов, состоящих из различающихся по массемолекул, задача построения дискретных моделей с малым числом значенийимпульсов рассматривалась для некоторых значений масс частиц, но в общемслучае для произвольных значений масс пока не построено простых моделей. Всвязи с этим актуальна ставящаяся в настоящей диссертации задача оценкивычислительной сложности задачи моделирования уравнения Больцмана длясмесейчастиц,отличающихсяпомассе.Вычислительнаясложностьпропорциональна числу дискретных значений импульсов в модели.РассмотрениеH -теоремыкакдлянелинейныхуравненийтипаклассических и квантовых кинетических уравнений, так и для линейногоуравнения Лиувилля и их дискретизаций также оказывается актуальной задачей,поскольку проясняет вопрос адекватности дискретных моделей.

При этомопределяющую роль здесь также играет пространство линейных инвариантов, аего размерность дает основную информацию об асимптотических свойствах.Поэтому исследование таких пространств и поиск их размерностей такжеявляется актуальной задачей.5Объект исследования – кинетические уравнения Больцмана и Лиувилля иих дискретизации и обобщения. А предмет исследования – роль линейныхзаконов сохранения для этих уравнений.Цели и задачи. Целью настоящей работы является исследованиекинетических уравнений и их дискретизаций с позиции вопроса о линейныхзаконах сохранения.

При этом для дискретных моделей уравнения Больцманавозникает задача оценки минимального числа дискретных значений импульсовтакого, чтобы модель не имела лишних линейных инвариантов. Такжесущественной задачей оказывается продолжение линии работ Больцмана [51],[52] с целью расширить класс уравнений, для которых справедлив законвозрастания энтропии (закон убывания Н-функции) и процедура варьированияэнтропииприусловии,чтопостоянныелинейныхзаконовсохраненияфиксированы, которая дает стационарные решения – экстремали Больцмана.Здесь возникают задачи и рассмотрения условий, при которых справедлива H теорема, и исследования пространств линейных инвариантов, которымиопределяются экстремали по Больцману.Степень разработанности темы исследования.

Построению дискретныхмоделей кинетических уравнений с правильным числом линейных законовсохранения посвящено много работ [1], [12], [13], [20]–[22], [28], [46]–[48], [50],[53], [54], [60], [62], и здесь стоит отметить кандидатскую диссертацию С. А.Амосова ―Дискретные модели кинетических уравнений для смесей‖, котораяпосвящена построению таких моделей для классических и релятивистскихгазовых смесей. Постановка задачи восходит к работе С.

К. Годунова и У. М.Султангазина 1971 года [28], в которой они делают следующее замечание:―Следует заметить, что способ выбора дискретных скоростей, обеспечивающихописание течения газа с законами сохранения трех компонент импульса и ссохранением энергии, в общем случае не разработан.

Эта разработка связана струдностями комбинаторно-геометрического характера‖. Простых моделей длясмесей в общем случае для произвольных отношений масс частиц не построенодо сих пор. Поэтому в настоящей диссертации В.В. Веденяпиным была6поставлена задача: оценить минимальный размер дискретных моделей уравненияБольцмана для смесей частиц, отличающихся по массе, в зависимости от масскомпонент смеси.В работах А. Пуанкаре [41], В. В. Козлова [32] и Д.

В. Трещева [33]возникает новая форма H -теоремы: энтропия временного среднего для уравненийЛиувилля не меньше, чем энтропия начального распределения. В работе В. В.Веденяпина 2008 года [15] было показано, что в случае, когда дивергенцияскорости равна нулю, решение уравнения Лиувилля сходится «туда, куда надо» –временные средние определяются принципом условного максимума энтропии(принципом Больцмана). В настоящей диссертации ставилась задача обобщитьэтот результат на случай, когда дивергенция скорости не равна нулю.

Постановказадачи рассмотрения вариационного принципа Больцмана для уравненияЛиувилля для круговой модели М. Каца [31] также возникла на основе работ В. В.Козлова [32] и обсуждений В. В. Козловым и В. В. Веденяпиным этой модели.Впредставляемойкзащитедиссертацииполученыоценкивычислительной сложности задачи моделирования уравнения Больцмана спомощью дискретных моделей для смесей частиц, отличающихся по массе.Доказана теорема, обобщающая результат работы В.В. Веденяпина 2008 года наслучай, когда дивергенция скорости не равна нулю, но существует положительноестационарное решение уравнения Лиувилля.

Рассмотрен условный принципмаксимума энтропии для уравнения Лиувилля для круговой модели М. Каца, иполучены точные формулы для размерности пространства линейных инвариантовв этой модели.ДискретныемоделиуравненияБольцмана(сокращенноДМУБ)рассматриваются в каждой из глав диссертации, поэтому рассмотрим здесьопределение этого понятия.Будемсчитать,чтодвижениечастицпроисходитвd -мерномпространстве, d  1,2,3 .Введем равномерную сетку в пространстве импульсов с шагом h так,чтобы узлы сетки отвечали значениям импульсов pk  kh , k  Z d .7Дискретная модель с импульсами на решетке – это набор масс m1,  , mn(среди них могут быть и совпадающие), векторов p1 ,  , p n , принадлежащих сетке,истолкновенийi, j   k , l  ,являющихсянеупорядоченнымипараминеупорядоченных пар целочисленных индексов.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации