Диссертация (1137401), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В широком классе моделей эта гипотеза оказываетсяверной, и во многих случаях указан конкретный вид лишних инвариантов.В§2рассмотренааппроксимацияуравненияБольцманадлядвухкомпонентной смеси газов дискретной моделью в одномерном случае иприведенаоценкасходимостиквадратурнойформулыдляинтеграластолкновений.Во второй главе для задачи моделирования уравнения Больцмана длясмесей частиц, отличающихся по массе, с помощью симметричных дискретныхмоделей, в которых есть обмен энергией между компонентами смеси, исследуетсяее вычислительная сложность.

Также в ней представлены новые дискретныемодели.При моделировании уравнения Больцмана на компьютере с помощьюДМУБвычислительнаясложностьзадачипропорциональначислуnскоэффициентом nt n x , где n – число уравнений в (1), n x – число узловпространственной сетки, n t – число шагов вычисления по времени. Мы видим,что вычислительная сложность задачи пропорциональна n с очень большимкоэффициентом.

Таким образом, при больших n моделирование становится13затруднительным. Фактически, в настоящей главе исследуется зависимость числаn от отношений масс частиц различных компонент смеси.В § 1 второй главы рассматривается поставка этой задачи. Для заданнойДМУБ будем называть максимум абсолютных величин координат значенийимпульсов вдоль каждой оси размером этой модели. Он равен половине длиныребра d-мерного минимального куба, который содержит ДМУБ, с центром вначале координат и с ребрами, параллельными координатным осям.

Наименьшийразмер d-мерных моделей с правильным числом линейных инвариантов дляданного отношения масс M/m мы будем обозначать через Sd M m . Правильноечисло линейных законов сохранения равно r  d  1 , как у уравнения Больцманадля r -компонентной смеси. В данном случае r  2 .В § 2 рассматриваются оценки для значений Sd M m . В одномерномслучае: d  1 , оказывается возможным улучшить все рассмотренные оценки, иэтому вопросу посвящен § 3. В § 4 кратко сформулированы основные итоги главы2.Третья глава диссертации посвящена рассмотрению Н-теоремы.

Цель этойглавы – продолжать линию работ Больцмана, стараясь расширить классуравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии (закон убыванияН-функции), и исследовать условия, при которых справедлива H -теорема.Более подробно, цели этой главы следующие.1. Написать обыкновенные дифференциальные уравнения, для которых имеетсятеорема о росте энтропии ( H -теорема Больцмана), максимально обобщиврезультаты работ [2], [9], [12], [13], [23], [28], [36], [39], [40], [51], [52], [58], дляквантового вида энтропии в бозе- и ферми- случаях и для произвольного вида H функции.2.

Вывести формулу для относительной энтропии в квантовом случае и в случаеобщего вида H -функции.3. Рассмотреть вариационный принцип (Больцмана) с целью поиска стационаровна примере круговой модели М. Каца [32], [31].144. Получить формулу для относительной энтропии (иногда ее называютэнтропией Кульбака) для уравнения Лиувилля, определяемой произвольнойвыпуклой функцией, обобщая этим результаты работ [15], [32], [33], [41], [55],[61]. Относительная энтропия требуется для систем, у которых дивергенция неравна нулю.5.

Проверить, что во всех этих случаях временные средние совпадают сэкстремалями Больцмана, обобщая и упрощая результаты работ [15], [31], [32],[33], [41], [42], [51], [52], [55], [61].H -теорема не только обосновывает 2-й закон термодинамики, но и даетинформацию о поведении решений. Доказательство H -теоремы делает поведениерешений уравнений понятным, так как позволяет узнать, куда они сходится привремени, стремящемся к бесконечности. Это можно сделать без решенияуравнений, найдя экстремаль Больцмана – аргумент минимума H -функции(убывающего на решениях функционала) при условии, что значения линейныхзаконовсохраненияфиксированы.Н-теоремаобеспечиваетустойчивостьполученных решений.В § 1 третьей главы дан краткий исторический обзор – обсуждается работаБольцмана 1872 года [51], рассматривается вопрос о правильной (физическиобоснованной) дискретизации уравнения Лиувилля с позиции H -теоремы.В § 2 доказывается H -теорема для обобщений уравнений химическойкинетики, включающих в себя дискретные модели квантовых кинетическихуравнений (уравнений Юлинга–Уленбека) и квантовый марковский процесс(квантовое случайное блуждание).

Доказывается, что понятие экстремалиБольцмана работает и в этом случае.В [15] доказывалось совпадение временных средних (средних по Чезаро) сэкстремалями по Больцману для уравнения Лиувилля, когда дивергенцияскорости равна нулю.В § 3 рассматривается вариационный принцип для поиска стационарныхрешений для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой моделиМарка Каца: исследуется множество всех линейных законов сохранения для этой15модели, которым определяются стационарные решения – экстремали поБольцману, совпадающие с временными средними. Получены точные формулыдля размерности пространства линейных инвариантов. В частности, полученныеформулы дают доказательство и малой теоремы Ферма, и теоремы Эйлера изтеории чисел.В § 4 рассматривается обобщение теоремы работы [15] на случай, когдадивергенция скорости необязательно равна нулю.Научная новизна.

Результаты, изложенные в настоящей диссертационнойработе, представляют собой ряд новых научных результатов-теорем и полученыпри помощи строгих математических методов, таких как теория выпуклыхфункций, теория линейных операторов. В частности, получены теоремы-оценкиминимального размера сетки в пространстве импульсов, используемой длядискретных моделей уравнения Больцмана для смесей, исследовано множествовсех линейных законов сохранения уравнения Лиувилля с дискретным временемдля круговой модели Марка Каца, доказано некоторое обобщение теоремы из [15]о совпадении временного среднего с экстремалью по Больцману.Постановка всех задач диссертации принадлежит В.В. Веденяпину.Результаты § 1 главы 1, § 1 главы 2, §§ 1 и 2 главы 3 получены в соавторстве сВ.В.

Веденяпиным. Теоремы § 2 первой главы и §§ 2 и 3 главы 2 полученыавтором самостоятельно, а новые дискретные модели без лишних инвариантов снерегулярными сетками (―кресты‖) предложены В.В. Веденяпиным. Формулы дляразмерности пространства линейных инвариантов для уравнения Лиувилля сдискретным временем для круговой модели Марка Каца в § 3 главы 3 идоказательствотеоремы§4(теорема3.3)такжеполученыавторомсамостоятельно.Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертациимогутбытьиспользованыврешенииразличныхзадач,допускающихкинетическое описание, например, в физической кинетике, в механике жидкостии газа. Предъявлены новые дискретные модели квантовой и классическойхимической кинетики с правильным числом линейных инвариантов.16Результатыдиссертациииспользуютсяпричтениикурсалекций―Кинетические уравнения‖ в МФТИ.Методология и методы диссертационного исследования.

Все новыеутверждения, сформулированные в диссертационной работе, строго доказаны. Вдиссертационной работе применялись следующие математические методы:1. Методы теории выпуклых функций.2. Методы функционального анализа и теории линейных операторов.3. Теория чисел.На защиту выносятся следующие положения диссертации:1. Теоремы-оценки минимального размера дискретных моделей уравненияБольцманадлясмесейчастиц,отличающихсяпомассе,сфизическиобоснованным числом линейных законов сохранения. Размер дискретныхмоделейопределяетвычислительнуюсложностьзадачимоделированияуравнения Больцмана.2.

Исследование множество всех линейных законов сохранения уравненияЛиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца, которымопределяются стационарные решения – временные средние (средние по Чезаро),совпадающие с экстремалями по Больцману. Теоремы, дающие точные формулыдля размерности пространства линейных инвариантов. Ответ оказываетсясвязанным с малой теорема Ферма и теоремой Эйлера из теории чисел (дляоснования степени, равного двум).3. Теорема о совпадении временного среднего с экстремалью поБольцману, для случая, когда существует положительное стационарное решениеуравнения Лиувилля.

Этот результат является обобщением аналогичной теоремы,новой формы H-теоремы для уравнения Лиувилля, для случая, когда дивергенцияскорости равна нулю.Степень достоверности и апробация результатов.Основное содержание диссертации опубликовано в соавторстве сВеденяпиным В.В. [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [11], [16], [17], [18], [19], [63],[64]: положения, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно, а17остальные – совместно.

Текст диссертации написан автором самостоятельно.Основное содержание § 1 первой главы опубликовано в [4]. В работах [1], [19]возникает постановка задачи для § 2 первой главы. В [2] опубликована втораяглава диссертации, в [3] – §§ 1 и 3 третьей главы, в [11] – §§ 2 и 4 третьей главы.Полученныеизвестныминовыеработамиирезультатыявляютсяполностьюихсогласуютсяобобщением.сранееДостоверностьиобоснованность полученных результатов также подтверждается положительнымирезультатами их внедрения в учебный процесс.Материалы диссертации докладывались на XVII-ой Международнойконференции по вычислительной механике и современным прикладнымпрограммным системам (Алушта, 25–31 мая 2011 г.), на второй международнойконференции ―Моделирование нелинейных процессов и систем‖ (Москва, 6–10июня 2011 г.), на Международной конференции по математической теорииуправления и механике (Суздаль, 1–5 июля 2011 г.), на Международнойматематической конференции "50 лет ИППИ РАН" (Москва, 25–29 июля 2011 г.),на VI-ой Международной конференции по дифференциальным и функциональнодифференциальным уравнениям (Москва, 14–21 августа 2011 г.), на семинаре повычислительной астрофизике Института прикладной математики им.

М.В.Келдыша (Москва, ИПМ, 16 декабря 2010 г., руководитель – д.ф.-м.н. С.В.Утюжников), на семинаре РУДН по дифференциальным и функциональнодифференциальным уравнениям (Москва, РУДН, 17 ноября 2013 г., руководитель– д.ф.-м.н. А.Л. Скубачевский), на семинарах Механико-математическогофакультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова"Теория вероятностей и эргодическая теория" (Москва, МГУ, 2012 г.,руководители – д.ф.-м.н. Б.М.

Гуревич, д.ф.-м.н. В.И. Оселедец, д.ф.-м.н. С.А.Пирогов), ―Бесконечномерный анализ и математическая физика‖ (Москва, МГУ,12 марта 2012 г., руководители – д.ф.-м.н. О.Г. Смолянов, д.ф.-м.н. Е.Т.Шавгулидзе), ―Гамильтоновы системы и статистическая механика‖ (Москва,МГУ, 2012 г., руководители – акад. РАН В.В. Козлов, чл.-корр. РАН Д.В.Трещев), на семинаре по математической физике Института прикладной18математики им. М.В. Келдыша (Москва, ИПМ, 26 ноября 2013 г.

Характеристики

Список файлов диссертации