Диссертация (1137401), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В дополнение кнеравенствам (2.1), (2.4) и (2.5) рассмотрим следующее множество моделей дляd=2. Возьмем q    1, s  , q   s,0 , a=(s,0), где s  Z , тогда p  0,0 , p=(s-1,s), исогласно (5) M m  2s 2  2s  1 . Т.к. M/m>1, то s  Z\0,1. Модель получаетсядобавлением всех симметричных столкновений к исходному.

Чтобы целое число sбыло бы размером модели, оно должно принадлежать множеству N \ 1. Введемфункцию s(M/m), определяемую равенством M m  2s 2  2s  1 с множествомзначений N \ 1. Область определения этой функции будем обозначать через P .Т.к. множеством значений s(M/m) являетсяM m  2s 2  2s  1s M m  функцияs(M/m)N \ 1,однозначното в соответствии сопределяетсяформулой1  2 M m  1, где M m  P . Таким образом, значение функции s(M/m) в212некоторой точке M m  P является размером обсуждаемой ДМУБ с отношениеммасс M/m. Пусть есть некоторые функции x(M/m) и y(M/m) такие, что x(M/m)→+∞,y(M/m)→+∞ при M/m, стремящемся к некоторому пределу A (конечному илибесконечному). Будем говорить, что закон роста x(M/m) отличается от законароста y(M/m) при M/m→A некоторым множителем тогда и только тогда, когда приумножении y(M/m) на этот множитель мы получаем эквивалентную x(M/m)функцию при M/m→A.

Мы будем говорить, что x(M/m) и y(M/m) имеютодинаковый закон роста при M/m→A, если и только если этот множитель равен12M mединице. Т.к. sM m ~  2 при M/m→+∞, где M m  P , то мы имеем такой же45закон роста s(M/m) для нечетных отношений масс M m  2l 2  2l  1 , где l  N \ 1 ,при M/m→+∞, где M m  P , как в правых частях (2.1), (2.4) и (2.5).Если мы добавим симметричные столкновения только относительнокоординатных осей, то получим полусимметричную [12], [13] модель, но в нейбудет один лишний инвариант.

Симметричная модель, получаемая добавлениемвсех симметричных столкновений, будет также с одним лишним закономсохранения. Поэтому мы должны строить более сложные модели добавлениемзначений импульсов частиц и столкновений для того, чтобы избежать лишнихинвариантов.Если мы добавим к такой симметричной ДМУБ размера s следующеемножество узлов для значений импульсов легких частиц: {(x,y): если x=-1,0,1, тоy=-s,-s+1,…,s-1,s, и если y=1,0,1, то x=-s,-s+1,…,s-1,s}, и добавим все возможныестолкновения, тогда с помощью индуктивной процедуры [12], [13], [62] можетбыть доказано, что такая ДМУБ (Рисунок 2.1), использующая нерегулярнуюсетку, не имеет лишних законов сохранения.

Эта модель использует меньшеечисло узлов: 6(2s+1), чем ДМУБ с регулярной решеткой: количество узлов равно22 s  1 . Для первой модели количество узлов линейно по s, а для второй –2квадратично по s.Рисунок 2.1.На рисунке 2.1 представлена модель для s=5 (M/m=41). Крестамиобозначены значения импульсов легких частиц, кругами – значения импульсов46тяжелых частиц. Вершины выделенного параллелограмма – значения импульсов,соответствующие исходному столкновению.Пример 4 (оптимальность оценок (2.4) и (2.5)). В дополнение к оценкам(2.4) и (2.5) мы обсудим еще одно множество ДМУБ для d=2.

Возьмемq  ~s  2, ~s  1 , q=(0,0), a  I  1~s  2  1, I  1~s  1  1 , где ~s Z ,I  N , тогдаs 2  6~s  5 . Еслиp  I ~s  2  1, I ~s  1  1 , p   a , и в соответствии с (5) M m  I  2 2~M m  I  2 2~s 2  6~s  5  1 для некоторых I, ~s и знака (верхнего или нижнего), томодель стоится добавлением всех симметричных столкновений к исходному. Т.к.2 2 x2  6 x  5 ,гдеxR ,всегдабольшенуля,товерхнийзнаквM m  I  2 2~s 2  6~s  5 берется, если M/m>I, а нижний – если M/m<I.

И мы имеем:s  N \ 1, потомуM m  I  2 2~s 2  6~s  5 . Ради простоты мы будем рассматривать ~что два значения ~s , расположенные симметрично относительно 3/2 даютодинаковыезначения│M/m-I│.Введеммножество LI   ~s  N \ 1: I  2 2~s 2  6~s  5  1 . L1   и далее мы не будем обсуждать случайс нижним знаком, когда I=1, потому что в этом случае нет моделей с M/m>1.L2  L3  N \ 1,2,Li   N \ 1приi  N \ 1,2,3 .Мытакжезаметим,чтоI  2 2~s 2  6~s  5 всегда больше единицы. Для каждого I введем функцию ~sI M m  ,определяемую равенством M m  I  2 2~s 2  6~s  5, с множеством значений LI  ,если M/m<I, и с множеством значений N \ 1, если M/m>I.

Область определенияэтой функции обозначим через T I  . Поскольку множество значений ~s I M mпринадлежит множеству N \ 1, то в соответствии сфункция~sI M m однозначноM m  I  2 2~s 2  6~s  5определяетсяформулой12  4~sI M m   3   12 , где M m  T I  . Таким образом, значение функции   M mI~sI M m  в точке M m  T I  является параметром ~s в координатах векторовзначений импульсов в исходном столкновении ДМУБ для данного I с отношением12масс M/m.

~sI M m ~ 1  M m  I  при M/m→I, где M m  T I  . Для каждого I введемфункцию s I M m , где M m  T I  , такую, что значение функции sI M m  в точке47M m  T I  является размером обсуждаемой ДМУБ для данного I с отношениеммасс M/m. Т.к. ~s I M m   при M/m→I, где M m  T I  , то для размераисследуемой ДМУБ sI M m имеем: sI M m ~ I~sI M m при M/m→I, где M m  T I  .Следовательно, sI M m ~MM mmI 12при M/m→I, где M m  T I  .

Если I являетсячетным числом, то закон роста sI M m при M/m→I, где M m  T I  , отличается отзакона роста в правой части (2.4) множителем M m  21 2 . А если I являетсянечетным числом, то закон роста sI M m при M/m→I, где M m  T I  , отличаетсяот закона роста в правой части (2.5) множителем M m 1 2 .Из оценок (2.2) и (2.3) следует, что при моделировании на компьютере дляуменьшения вычислительной сложности задачи надо представлять отношениямасс (точно или приближенно) в виде несократимых дробей с как можноменьшими числителями.Недостаток оценок (2.4) и (2.5) по сравнению с неравенствами (2.2) и (2.3)очевиден: правые части оценок (2.4) и (2.5) велики только для большогоотношения масс или отношения масс близкого к некоторому натуральному числу,в то время как правые части неравенств (2.2) и (2.3) велики, когда значениеN(M/m) велико.§ 3.

О размерах моделей в одномерном случаеВ одномерном случае возможно улучшить все рассмотренные оценки.Теорема 2.4. Пусть N(M/m) и D(M/m) нечетные. ТогдаS1 M m  N M m 2  1 2 .(2.6)Пусть одно из этих натуральных чисел четное. ТогдаS1 M m  N M m  1 .Доказательство.Согласноопределению(2.7)S1 M m существуетнетривиальная одномерная ДМУБ с отношением масс M/m размера S1 M m .48Это означает, что существуют целые числа p , p и a такие, что равенство(8) выполняется, где p  p  0 , p и p не больше, чем S1 M m . Т.к. 2a являетсячетным и поскольку p  p  0 и 1-m/M≠0, то из (8) получаем, что  p  p 1  m M является ненулевым четным целым числом.Сначала обсудим случай, когда N(M/m) и D(M/m) нечетные. Т.к.

всоответствиис p  p 1  m M леммойD(1-m/M)=D(m/M),являетсяненулевымD(m/M)=N(M/m)четнымцелымипосколькучислом,тоp  p , то 2S1M m 1  p  p  p  p . Такимp  p  D1  m M   N M m . Т.к.образом, 2S1 M m 1  N M m . Следовательно, неравенство (2.6) справедливо.Теперь рассмотрим случай, когда одно из чисел N(M/m) и D(M/m) четное.ПосколькусогласнолеммеD(1-m/M)=D(m/M)=N(M/m),N(1-m/M)=D(m/M)-N(m/M)=N(M/m)-D(M/m) нечетное и т.к.

 p  p 1  m M  является ненулевымчетнымцелымчислом,p  p  2D1  m M   2N M m .тоПоскольку p  p 1  m M  является ненулевым четным целым числом и N(1-m/M) нечетное,то p  p четный, и следовательно, сумма p  p четная. Т.к. p  p и суммаp  pявляетсячетной,то2S1M m  2  p  p  p  p .Такимобразом,2S1 M m  2  2 N M m . Следовательно, оценка (2.7) выполняется.Неравенство (2.6) всегда не хуже, чем (2.2), а (2.7) всегда не менееэффективна, чем (2.3).Пример 5. Если мы возьмем M/m=1836 для протонов и электронов, тоN(M/m)=1836 и мы не сможем построить одномерную нетривиальную дискретнуюмодель размера, меньшего 1837.Далее рассмотрим оценки для S1 M m , которые зависят только от значениядроби M/m и не содержат функции N(M/m) и D(M/m).Теорема 2.5.

Характеристики

Список файлов диссертации