Диссертация (1137401), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

При p  R интеграл столкновений (1.17) аппроксимируетсясвоим дискретным аналогом – квадратурной формулой (1.29). Можнообеспечить любой порядок аппроксимации   0,1 выбором достаточно малогошага 0  h  h0   :QF , f   p  Qh F , f   p  Oh .(1.34)Доказательство.Интеграл (1.17) сходится в силу свойств функций B u , F  p  и f q  .Аппроксимация интеграла (1.17) квадратурной формулой (1.29) следует изтого, что (1.29) представляет собой интегральную сумму для записанного в виде(1.26) интеграла (1.21).При p  R справедливы следующие оценки:QF , f   p   Qh F , f   p   QR F , f  p   QR F , f   p   QR F , f  N p h  QR F , f  N p h  Qh F , f   p  ,а силу (1.13), (1.14), (1.20) (1.25), (1.27) и (1.33)Q R F , f   p  Q R F , f  N p h  N D h 4ERKK h  2K 2 H 1  h ,Q R F , f  N p h  Qh F , f   p   N D h 2ERKK D   N  h  2K 2 H 1 mD h .В силу этих оценок, (1.23) и (1.32) имеем:QF , f   p  Qh F , f   p  G  R  R2h2LEKK 2  D   N    Rh 2 LK 2 H 1   D  m  .(1.35)Отметим, что все оценки остаются справедливыми и с теми жепостоянными, если мы возьмем любое R , большее, чем то, которое даетсяопределением (1.15), (1.16).С ростом R первое слагаемое в правой части (1.35) убывает, а второе итретье растут.

Поэтому правая часть (1.35) минимальна, когда h  O1 R 2   приR   . G   растет с ростом  , если R , задающееся своим определением: (1.15),(1.16), постоянно.38G   можно считать постоянной, если для больших  брать все большие ибольшие R . Поэтому   0h0  h0  h : 0  h h0 QF , f   p  Qh F , f   p  Oh   2 .Отсюда получаем (1.34).Теорема 1.2 доказана.В силу этой теоремы формула (1.29), определяющая дискретный аналогинтеграла столкновений, показывает, как ядро интеграла столкновений: Bu  ,связано с сечениями аппроксимирующей дискретной модели.39Глава 2.

О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана для смесейНастоящая глава опубликована в [2].§ 1. Постановка задачиВ этой главе без ограничения общности будем считать шаг h=1.Если нам нужна для ДМУБ точка с координатой вдоль некоторой оси,равной какому-то целому числу k (координата некоторого значения импульсовчастиц ДМУБ вдоль этой оси равна k), тогда из-за симметричности модели намтакже нужны некоторые точки для любой оси с координатами, равными -k и k.Поэтому естественно для заданной ДМУБ называть максимум абсолютныхвеличин координат значений импульсов вдоль каждой оси размером этой модели.Он равен половине длины ребра d-мерного минимального куба, которыйсодержит ДМУБ, с центром в начале координат и с ребрами, параллельнымикоординатным осям. Наименьший размер d-мерных моделей с правильнымчислом линейных инвариантов для данного отношения масс M/m мы будемобозначать через Sd M m .

Правильное число линейных законов сохранения равноr  d  1 , как у уравнения Больцмана, для r -компонентной смеси. В данном случаеr  2.Добавление к некоторому столкновению с обменом энергией между двумячастицами, принадлежащими различным компонентам смеси, всех симметричныхдля него столкновений дает нетривиальную симметричную ДМУБ, но почтивсегда в ней есть лишние законы сохранения (инварианты) [48], [60]. Получитьмодель без лишних законов сохранения в d-мерном случае, d≥2, возможно спомощью индуктивной процедуры, описанной в [12], [13], [62] добавлениемзначений импульсов и столкновений. Оказывается, что с помощью индуктивнойпроцедуры мы можем создать симметричную ДМУБ без лишних инвариантов измодели с одним столкновением с обменом энергией и всеми симметричными кнему столкновениями без изменения размера этой ДМУБ.

Заметим, что, если мыимеем узел сетки со значениями импульсов тяжелых и легких частиц, то мы40используем два узла сетки: один – для значения импульсов тяжелых частиц, идругой – для значения импульсов легких частиц. Примером такой модели безлишних законов сохранения является ДМУБ, когда значения импульсов тяжелыхи легких частиц заполняют все узлы внутри d-мерного куба, описанного впредыдущем абзаце, и когда в модели присутствуют все возможные столкновениямежду частицами, имеющими эти значения, – регулярная сетка.

Таким образом,длямоделинаименьшегоразмерасрегулярнойсеткойнамнужноdn  22Sd M m  1 узлов, и столько же уравнений мы получаем в системе (1).В одномерном случае до сих пор получена только одна нетривиальнаяДМУБ без лишних инвариантов (модель Амосова–Веденяпина (для M/m=3) [1],[12], [13], [20], [21], [§ 1 первой главы настоящей работы]).Иногда мы будем строить в примерах модели с одним столкновением собменом энергией и со всеми симметричными к нему столкновениями бездобавления значений импульсов частиц и столкновений для того, чтобы этиДМУБ стали без лишних законов сохранения.Мы будем оценивать Sd M m .

Сначала рассмотрим общий d-мерныйслучай, а затем обсудим случай d=1 в отдельности.§ 2. О размерах моделей в общем d-мерном случаеПростейшую оценку для наименьшего размера d-мерных моделей даетследующаяТеорема 2.1. Для наименьшего размера d-мерных нетривиальных моделейс отношением масс M/m имеет место следующая оценка:S d M m  Доказательство.СогласноM m.dопределению(2.1)Sd M m существуетнетривиальная модель с отношением масс M/m размера Sd M m .

Это означает,что (3) выполняется для некоторого столкновения с обменом энергией,принадлежащего рассматриваемой ДМУБ. Следовательно, существуют вектора41p , p, qи q с целочисленными координатами такие, что уравнение (3)справедливо для них, где q2  q 2  0 , а p , p принадлежат множеству векторов сконцами, принадлежащими d-мерному кубу с центром в начале координат, сребрами, параллельными координатным осям, и с длинами ребер, равными2S d M m  . Т.к. q  2  q 2 является ненулевым целым числом, то из (3) мы имеем:2p2  p2  M m q2  q2  M m .

С другой стороны, d  Sd M m  max p2 , p2  p2  p2 ,т.к. p и p не больше, чем длина половины диагонали d-мерного куба, который22обсуждался выше. Поэтому справедливо утверждение теоремы 2.1.Теорема 2.2. Пусть N(M/m) и D(M/m) нечетные. Тогда12S d M m  N M m d  .(2.2)Пусть одно из этих натуральных чисел четное. Тогда12S d M m  2N M m d  .(2.3)Доказательство. Для доказательства нам понадобится следующая лемма.Лемма. Для любого рационального числа λ: N(1-λ)=D(λ)-N(λ), D(1-λ)=D(λ).Доказательство.Предположим,чтовыполняетсяпротивоположноеутверждение, т.е. предположим, что (D(λ)-N(λ))/D(λ) является сократимой дробью.Тогда она может быть представлена в виде несократимой дроби N(1-λ)/D(1-λ), гдеD(1-λ)<D(λ). Получаем, что λ=N(λ)/D(λ)=1-(D(λ)-N(λ))/D(λ)=1-N(1-λ)/D(1-λ)=(D(1λ)-N(1-λ))/D(1-λ),гдеD(1-λ)<D(λ).ЭтопротиворечитопределениюD(λ),являющемуся наименьшим знаменателем дроби λ.

Поэтому справедливоутверждение леммы.В соответствии с определением Sd M m существует нетривиальная ДМУБс отношением масс M/m размера Sd M m . Это означает, что (6) выполняется длянекоторого столкновения с обменом энергией, принадлежащего рассматриваемоймодели. Следовательно, существуют вектора p , p и a с целочисленнымикоординатами такие, что уравнение (6) справедливо для них, где p2  p 2  0 , а p иp принадлежат множеству векторов с началами в начале координат и с концами,принадлежащими d-мерному кубу с центром в начале координат, с ребрами,42параллельными координатным осям, и с длинами ребер, равными 2Sd M m  .

Т.к.2a, p  p  является четным целым числом и т.к. p2  p 2  0 и 1-m/M≠0, то мыполучаем из (6), что p2  p 2 1  m M  является ненулевым четным целым числом.d  S d M m  max p  2 , p 2  p  2  p 2 , т.к. p22и p2не больше, чем длинаполовины диагонали d-мерного куба, рассмотренного выше.Сначала исследуем случай, когда N(M/m) и D(M/m) нечетные. Т.к. согласнолеммеD1  m M   Dm M , D(m/M)=N(M/m) и т.к.

p2  p 2 1  m M  являетсяненулевым целым числом, тоp2  p2  D1  m M   N M m . Таким образом,2d  Sd M m  p2  p2  N M m . Поэтому выполняется оценка (2.2).Теперь обсудим случай, когда одно из чисел N(M/m) и D(M/m) четное. Т.к.всоответствиислеммойD(1-m/M)=D(m/M)=N(M/m),N(1-m/M)=D(m/M)-N(m/M)=N(M/m)-D(M/m) нечетное и т.к. p  2  p 2 1  m M  является ненулевымчетным целым числом, тоp2  p2  2D1  m M   2 N M m .Таким образом,2d  S d M m  p 2  p 2  2 N M m . Поэтому справедлива оценка (2.3).Пример 1.

Пусть компонентами смеси являются протоны и электроны.Если мы возьмем M/m=1836, тогда N(M/m)=1836, и мы не сможем построитьнетривиальную ДМУБ для смеси протонов и электронов размера, меньшего 35,при d=3, не большего 42, при d=2, меньшего 61, при d=1.Далее рассмотрим оценки для Sd M m , которые зависят только отзначения дроби M/m и не содержат функции N(M/m) и D(M/m).Теорема 2.3. Для наименьшего размера d-мерных нетривиальных моделейс отношением масс M/m справедливы следующие оценки:M mS d M m   d M m  2K12 ,(2.4)где 2K – ближайшее к M/m четное целое число, не равное ему (если существуетдва таких числа, то мы можем взять любое из них),122M m ,S d M m   d M m  2K  1 (2.5)43где 2K+1 – ближайшее к M/m нечетное целое число, не равное ему (еслисуществует два таких числа, то мы можем взять любое из них).Доказательство.

Сначала докажем неравенство (2.4). Для целого числа2K, не равного M/m, из (2.2) и (2.3) получаем: N M m S d M m  d12 M mDM m M m  2Kd M m  2K M m N M m  2KDM m dMm2K12M m d M m  2K1212 .Для наиболее строгой оценки мы выбираем целое число K так, чтобы│M/m-2K│ было минимальным, и тогда мы имеем (2.4).Теперь докажем неравенство (2.5). Для целого числа 2K+1, не равногоM/m, из (2.2) для нечетных N(M/m) и D(M/m) получаем: N M m S d M m  d12 M m N M m  2K  1DM m d M m  2K  112122M m , d M m  2K  1 а если одно из чисел N(M/m) и D(M/m) четное, из (2.3) имеем: 2 N M m Sd M m  d12122M m . d M m  2K  1 Для наиболее строгой оценки мы выбираем целое число K так, чтобы│M/m-(2K+1)│ было минимальным, и тогда мы получаем (2.5).Из доказательства теоремы 2.3 видно, что неравенство (2.2) всегда не хуже(не менее эффективно), чем оценка (2.4), а неравенство (2.3) всегда не менееэффективно, чем оценка (2.5).Неравенство(2.4)нехуже,M m   2k  1 2k  1 3 ,2k   2k ,2k  1 3 .Ачемоценканеравенство(2.5)(2.5),еслинеменееk 1эффективно, чем оценка (2.4), если M m  1, 5 3   2k  2k  1  2 3 , 2k  1  2 3 .k 1Пример 2.

Пусть компонентами смеси являются нейтроны и протоны(масса нейтрона немного больше, чем масса протона). В этом случае M/mприблизительно равно 1,0014, если мы возьмем M/m=1,0014, тогда мы не сможем44построить нетривиальную дискретную модель размера, не большего 21 при d=3,меньшего 27 при d=2, не большего 37 при d=1. А если мы положим M/m=1,001,тогда мы не сможем построить нетривиальную ДМУБ размера меньшего 26 приd=3, не большего 31 при d=2, меньшего 45 при d=1.В дополнение к оценкам (2.1), (2.4) и (2.5) мы будем строить ДМУБ,стараясь при фиксированном размере модели максимизировать правую частьоценок (т.е. зависимость от M/m).Пример 3 (оптимальность оценок (2.1), (2.4) и (2.5)).

Характеристики

Список файлов диссертации