Диссертация (1137401), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Пусть симметричная модель заданасчетным или конечным набором импульсов легких и тяжелых частиц.Случай 1. Число участвующих в столкновениях неотрицательныхзначений импульсов частиц хотя бы одного из сортов меньше трех.Определенный класс моделей случая 1 рассмотрен в лемме, а именно: есликоличество неотрицательных значений импульсов частиц каждого из сортов24меньше трех, то модель либо можно получить симметризацией одногостолкновения, либо в модели присутствуют только два столкновения без обменаэнергией. Убедимся в этом. Один (любой) из сортов мы будем называть первым.Если число неотрицательных значений импульсов частиц каждого из сортовменьше трех, то количество всех значений импульсов частиц первого сорта либоравно двум, и тогда мы имеем модель Монако–Прециози, либо равно трем, итогда первый сорт – это легкие частицы и одно из их значений импульсовпринимает нулевое значение, а значит, в модели должно быть столкновение собменом энергией, симметризация которого даст модель, включающую в себя всезначения импульсов рассматриваемой модели, либо равно четырем, и тогда либоесть столкновение с обменом энергией, симметризация которого даст модель,включающую в себя все значения импульсов рассматриваемой модели, либо нетстолкновения с обменом энергией, а значит, есть два столкновения без обменаэнергией.

Отметим, что модель, включающая в себя только два столкновения безобмена энергией, имеет лишние инварианты.Точно так же доказывается, что любая из остальных моделей случая 1может быть получена добавлением к какой-то модели из леммы 1 или к модели, вкоторой присутствуют только два столкновения без обмена энергией, значенийимпульсов частиц только одного из сортов, который мы будем называтьдобавляемым.Если к модели Монако–Прециози добавить значения импульсов частицтолько какого-то одного сорта, то новых столкновений не возникнет.

Поэтомупостроенная модель не будет являться нормальной.При добавлении к модели Амосова–Веденяпина значений импульсовчастиц только одного из сортов число инвариантов возрастает. Действительно,столкновение с обменом энергией в модели Амосова–Веденяпина фиксируетотношение масс: M m  3 . Если добавляются тяжелые частицы, то согласноуравнению (7) мы можем определить все возможные неотрицательные значения aпозначениямимпульсовлегкихчастицмоделиАмосова–Веденяпина.Получаются значения a , равные –1, 0, 1, и они уже реализованы в виде25столкновений.

Если добавляются легкие частицы, то с помощью (8) мы можемопределить все возможные неотрицательные значения a по значениям импульсовтяжелых частиц модели Амосова–Веденяпина. Получается пять значений a : –1, –1/3, 0, 1/3, 1. Два из них: –1 и 1, реализованы в модели в виде одногостолкновения с обменом энергии и симметричного ему, a  0 определяетстолкновения без обмена энергией, а a  1 3 и a  1 3 определяют еще одностолкновение с обменом энергией и симметричное ему столкновение. Легкопроверяется, что для возникновения одного, двух или трех столкновений изописанных и нереализованных в исходной модели ( a  1 3, 0, 1 3 ) нужно ввестидва, четыре или шесть новых значения импульсов легких частиц соответственно,а значит, количество инвариантов возрастет.Рассмотрим теперь, что будет, если мы любую из оставшихся моделей,рассмотренных в лемме 1, или модель с двумя столкновениями без обменаэнергией (эти модели мы будем называть исходными) дополним значениямиимпульсов частиц только одного из сортов.

Сначала будем добавлять нулевыезначения импульсов, затем – значения, соответствующие столкновениям безобмена энергии, и в конце – остальные.Если в исходной модели не было нулевых значений импульсов, и мыдобавили нулевое значение, то оно соответствует некоторому столкновению собменом энергией. Модель, получаемую симметризацией этого столкновения, мыможем взять за исходную. Таким образом, если в исходной модели было нулевоезначение импульсов частиц какого-то сорта или мы добавили нулевое значение и,возможно, добавили только те значения импульсов частиц добавляемого сорта,которые соответствуют столкновению без обмена энергией, то задача сведется копределенным добавлениям к моделям случая 2 леммы 1. Перебором всехвозможных случаев убеждаемся, что при таких добавлениях новых столкновенийс обменом энергией не возникает. Поскольку необходимо добавить два(симметричных) значения импульсов для того, чтобы возникло одно новоестолкновения без обмена энергией, то при таких добавлениях число инвариантоввозрастет.26Рассмотрим теперь случай, когда в исходной модели не было нулевыхзначений импульсов, и мы не добавляем нулевых значений импульсов.

И сновамы добавляем только те значения импульсов частиц добавляемого сорта, которыесоответствуют столкновению без обмена энергией. Очевидно, что в моделислучая 1 теоремы может быть не больше двух столкновений без обмена энергией.Пусть в исходной модели не было столкновений без обмена энергией, и мыдобавляем только те значения импульсов частиц, которые соответствуютстолкновению без обмена энергией. Тогда, если добавленные значения импульсовсоответствуют некоторому новому столкновению с обменом энергией, то модель,получаемую симметризацией этого столкновения, возьмем за исходную, а еслидва добавленных значения импульсов участвуют только в столкновениях безобмена энергией, то число законов сохранения увеличится.

Если же в результатедобавления значений импульсов возникает два столкновения без обмена энергией,то задача сводится к некоторому добавлению ненулевых значений частицдобавляемого сорта, не соответствующих столкновениям без обмена энергией, кмодели, получаемой симметризацией двух столкновений без обмена энергией.Осталось рассмотреть, что будет, если к исходным или полученным из нихв предыдущих абзацах моделям добавить ненулевые значения импульсов частицдобавляемого сорта, не соответствующие столкновениям без обмена энергией.Если в модели не было столкновений с обменом энергией, то эта модельполучается симметризацией двух столкновений без обмена энергией.

В этомслучае, используя (7) и (8), легко проверяется, что при добавлении одногоненулевого и симметричного ему значений импульсов частиц одного сорта нельзядобавить больше двух (симметричных друг другу) столкновений. Посколькучисло неотрицательных значений импульсов частиц сорта, не являющегосядобавляемым, меньше трех, то согласно (7) и (8) в моделях случая 1 теоремывозможно не больше двух столкновений с a  0 . А значит, если в симметричноймодели было столкновение с обменом энергии, то при добавлении одногоненулевого и симметричного ему значений импульсов добавляемого сортаневозможновозникновениебольшедвух(симметричныхдругдругу)27столкновений. Итак, при таких дополнениях моделей количество законовсохранения не уменьшится.Таким образом, в условиях случая 1 существует только две одномерныесимметричные нормальные ДМУБ.Случай 2.

Число неотрицательных значений импульсов частиц длякаждого из сортов больше либо равно трем.Тогда в силу симметричности рассматриваемых моделей количествозначений импульсов частиц для каждого из сортов больше либо равно пяти. Далеев случае 2 условие симметричности не используется.Пусть   p  и  q  – функции целочисленного аргумента, принимающиедействительные значения. Когда это возможно, найдем такие   p  и  q  , которыедают линейно независимый от стандартных законов сохранения аддитивныйинвариант одномерной ДМУБ, удовлетворяющей требованию случая 2, т.е. всоответствии с условием (1.1) укажем хотя бы одно линейно независимое отклассических законов сохранения решение следующего уравнения для всех такихp и q , для которых в рассматриваемой модели существует столкновение тяжелойчастицы со значением импульса p и легкой со значением q :  p   q     p   q  ,(1.5)где p  и q  – значения импульсов тяжелой и легкой частиц после столкновения,определяющиеся законами столкновений (1.4).Модели случая 2, состоящие только из столкновений без обмена энергией,имеют лишние инварианты.

Поэтому можем считать, что рассматриваемыемодели нетривиальны, а значит, отношение масс M m является рациональнымчислом.Далее случай 2 разделим на исследование случаев 2.1 и 2.2.Случай 2.1. Все значения импульсов частиц хотя бы одного из сортов неявляются числами одной четности.Т.к. отношение масс M m является рациональным числом, то  можнопредставить в виде несократимой дроби:   N   D  .28Т.к.

   p  q  N   p  q  – целое число и N   – несократимая дробь, тоD D     p  q  D  должно быть целым числом. Следовательно, p  D   q .Учитывая это и подставляя (1.4) в равенство (1.5), имеем: N    q    D   N    q    D   q    q  .(1.6)Покажем, что функции вида   p   A 1 p ,  q   B 1q являются решениемуравнения (1.6), а затем исследуем линейную независимость полученного законасохранения от стандартных инвариантов.1) Если  – четное число, то A и B – любые.2) Если  нечетный, тогда имеем следующие случаи:а) если D  – четное число, то A  B ;б) если N   четное, то A  B ;в) если N   и D   – нечетные числа, то A и B любые.Инвариант, определяемый функциями вида   p   A 1 p ,  q   B 1q ,линейно независим от стандартных законов сохранения, если для того сортачастиц, у которого все значения импульсов частиц не являются числами однойчетности, взять соответствующую ему константу A или B , не равной нулю, чтоследует из-за невозможности представления функции от переменнойs,определенной по крайней мере в пяти точках и принимающей в них значения,равные 1 или –1, причем имеющей хотя бы в одной точке значение, равноеединице, и хотя бы в одной точке значение, равное –1, в виде функции   s  s 2 ,где  ,  ,   const .Из предыдущего рассмотрения следует, что если:а) D  четное, то функции   p   A 1 p ,  q    A 1q , где A  0 , дают инвариант;б) N   – четное, то   p   A 1 p ,  q   A 1q , где A  0 , определяют законсохранения;в) N   и D   – нечетные числа, то функции   p   A 1 p ,  q   B 1q , где та изконстант A и B не равна нулю, которая соответствует сорту частиц, у которого29все значения импульсов частиц не являются числами одной четности, даютинвариант.Таким образом, получен лишний закон сохранения для моделей,удовлетворяющих условию случая 2.1.Случай 2.2.

Все значения импульсов частиц для каждого из сортовявляются числами одной четности.Здесь найденный выше закон сохранения линейно зависим от стандартныхзаконов сохранения, т.к. он совпадает с законом сохранения числа частиц.Возможны следующие случаи:a) все значения импульсов четные;b) значения импульсов одного из видов частиц (тяжелых или легких) четные, адругого – нечетные;c) все значения импульсов нечетные.Лемма 2. Если все значения импульсов частиц одного сорта – нечетныечисла, а другого – четные, то одно из чисел N M m  или DM m  четное.Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации