Диссертация (1137401), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

и 17 ноября 2015г., руководители – д.ф.-м.н. М.В. Масленников, д.ф.-м.н. В.В. Веденяпин, д.ф.-м.н.В.А. Дородницин, д.ф.-м.н. Ю.Н. Орлов), на семинаре ―Вычислительные методы иматематическое моделирование‖ Института прикладной математики им. М.В.Келдыша (Москва, ИПМ, 2012 г., руководители – чл.-корр. РАН Ю.П. Попов,д.ф.-м.н.М.П.Галанин),насеминареДобрушинскойматематическойлаборатории ИППИ РАН (Москва, ИППИ, 19 ноября 2013 г., руководители – д.ф.м.н. Р.А.

Милос, д.ф.-м.н. М.Л. Бланк), на семинаре отдела дифференциальныхуравнений МИАН (Москва, МИАН, 29 мая 2013 г., руководители – акад. РАНД.В. Аносов, д.ф.-м.н. Ю.С. Ильяшенко) и на семинаре отдела математическойфизики МИАН (Москва, МИАН, 6 июня 2013 г., 20 февраля 2014 г., руководитель– чл.-корр. РАН. И.В. Волович), на семинаре по теории функций многихдействительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики(Семинар(Москва, МИАН, 19 марта 2014 г.).Никольского)19Глава 1. Одномерные дискретные модели уравнения Больцмана для смесей§ 1.

Об инвариантах одномерных дискретных моделей уравнения Больцманадля смесейОсновное содержание настоящего параграфа опубликовано в [4].В этом параграфе обсуждается гипотеза о том, что не существуетодномерных симметричных моделей без лишних законов сохранения, кромемодели Амосова–Веденяпина [1], [12], [13], [20], [21] и модели Монако–Прециози[70]. В широком классе моделей эта гипотеза окажется верной, и во многихслучаях укажем конкретный вид лишних инвариантов.Отметим, что в пространствах большей размерности, чем один, для любыхрациональных отношений масс компонент смеси всегда можно построитьсимметричную модель без лишних инвариантов [12], [13].nВыясним, когда функционал I    i f i сохраняется для пространственноi 1однородной версии системы (1).

Имеем:dI1   i  klij  f k f l  f i f j     klij  f k f l  f i f j  i   j   k   l  .dt4nНеобходимым и достаточным условием сохранения функционала I    i f ii 1является выполнение для всех столкновений i, j   k , l  из S условияk  l  i   j .(1.1)Достаточность условия (1.1) очевидна, а необходимость следует из того, чторавенствоdI 0 должно выполняться, в частности, и для f i  exp  i  , i  1, , n .dtnОтметим, что рассмотрение сохранения функционалов  i  fi dx для полнойi 1Rсистемы (1) сводится к пространственно-однородному случаю [13 (глава 10)].ДляуравненияБольцманасуществуетровноr  d 1инвариант,отвечающий сохранению числа частиц каждого из r сортов, d компонентимпульса и полной энергии.

Эти законы сохранения называются классическими20или стандартными. Именно такую ДМУБ, которая имеет ровноr  d 1классический инвариант (т.е. не имеет лишних законов сохранения), будем,следуя [12], [13], [48], называть нормальной. Функционал называется лишниминвариантом, если он сохраняется в силу дискретной модели, но не являетсяодним из стандартных законов сохранения, т.е.

не представляется в виделинейной комбинации инвариантов уравнения Больцмана. Для функционалаI    i f i это эквивалентно тому, что вектор μ  1 ,  ,  n  не представляется вni 1виде линейной комбинацией векторов, определяющих классические инварианты.Условие (1.1) эквивалентно условию ортогональности вектора μ всемвекторам e ijkl  e i  e j  e k  e l ( e i – базисный орт с единицей на i -м месте и нулямина остальных), где i, j   k , l  S . Обозначим через J линейную оболочкувекторов e ijkl , через J  – ортогональное дополнение, т.е. пространство законовсохранения (пространство векторов μ , определяющих инварианты), тогда ихразмерности связаны соотношением:dim J    n  dim J  .(1.2)В дальнейшем будем рассматривать ДМУБ для смеси частиц двух сортов( r  2 ) с массами M и m , M  m , в одномерном случае, т.е.

d  1 . Тогда правильноечисло инвариантов равно r  d  1  4 .Без ограничения общности будем считать шаг h  1 .Из (7) и (8) видно, что для частиц одного сорта параметр a  0 , и поэтому всилу (4) в результате столкновений происходит просто обмен импульсамисталкивающихся частиц. Вклад таких столкновений как в правые части уравнений(1), так и в интеграл столкновений уравнения Больцмана равен нулю. Поэтомудалее будем рассматривать только столкновения частиц разных сортов.Законы сохранения импульса и энергии для любого столкновения междудвумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, имеют вид(3), где вектора в одномерном случае становятся скалярами:p  q  p   q ,p  p2 q2  q 2.2M2m2(1.3)21Законы столкновений, получающиеся из законов сохранения импульса иэнергии, имеют вид:p   q     p  q ,q   p     p  q ,где  (1.4)M m.M mДалее мы рассмотрим две одномерные симметричные нормальные модели.То, что они не содержат лишних инвариантов, получается из того, чторазмерность dim J   , вычисленная для них по формуле (1.2), равна r  d  1  4 .Затеммыдоказываем,чтовширокомклассемоделейдругихсимметричных нормальных ДМУБ нет, показывая, что dim J   , вычисленное поформуле (1.2), больше четырех, либо представляя вектор μ , не являющийсялинейной комбинацией векторов, определяющих стандартные законы сохранения.Отметим, что вычислениеdim  J  упрощается, если использоватьиндуктивную процедуру [12], [13], [62].

Мы будем неявно использоватьиндуктивную процедуру, а именно: при добавлении к некоторой модели значенийимпульсов мы будем рассматривать, насколько при этом изменилась разность вправой части (1.2) по сравнению с тем, что было для исходной модели. Насколькоона изменилась, настолько же изменилось число инвариантов.Значения импульсов легких частиц будем обозначать крестами, тяжелых –кружками. Импульсы частиц обозначим их значениями, волнами обозначимимпульсы тяжелых частиц.Модель Амосова–Веденяпина [1], [12], [13], [20], [21]: M m  3 (Рисунок1.1).Легкие частицы имеют значения импульсов – 0, ±1, а тяжелые – ±1, ±2.

Вмодели возможны три столкновения: 1, 1   0, 2  ,  1, 1   0, 2  и 1, 1    1, 1  .~~~~~Рисунок 1.1. Модель Амосова–Веденяпина.Модель Монако–Прециози [60]: M m – любое (Рисунок 1.2).~22Частицы каждого из рассматриваемых сортов имеют значения импульсов –±1. В модели возможно одно столкновение: 1, 1    1, 1  .~~Рисунок 1.2. Модель Монако–Прециози.В этой модели число инвариантов равно трем. Т.к.

все импульсы имеютодинаковую величину, то законы сохранения энергии для каждой компонентысмеси и общей энергии следуют из законов сохранения числа частиц.Для того чтобы модель имела физический смысл, необходимо, чтобы в нейбыло хотя бы одно столкновение. Будем считать, что любое значение импульсов,принадлежащее модели, присутствует в каком-то столкновении. Если это не так,т.е. существует значение импульса частиц какого-то сорта, не участвующее ни водном столкновении, то мы имеем закон сохранения числа частиц этого сорта сэтим значением импульсов, а значит, в модели возникает лишний инвариант.Лемма 1.

В одномерном случае симметризация одного любого столкновения не дает нормальной модели, кроме модели Амосова–Веденяпина и моделиМонако–Прециози.Доказательство. Во-первых, из уравнения (7) следует, что q   q  и a либоодного знака, либо обе величины равны нулю.Во-вторых, при симметризации величины q   q  и a меняют знаки напротивоположные, если они не равны нулю, и остаются нулями, если они равнынулю.Согласно этим двум замечаниям мы можем без ограничения общностибрать в качестве исходных столкновений только столкновения с положительнымиq   q  иa(столкновения с обменом энергией) или с q   q  и a одновременноравными нулю (столкновения без обмена энергией).С учетом этого данная лемма доказывается рассмотрением всевозможныхслучаев расположения значений импульсов частиц друг относительно друга сиспользованием (4) и сравнением dim J   с правильным числом инвариантов.23Приведем возможную схему исследования всех таких вариантов.1.

Импульсы не принимают нулевых значений.Тогда возможны следующие случаи: p    p, p    p, p    p, p    p, p   q , p   q ,1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.4.1. 1.4.2.  q    q, q    q, p  q, pq q   q, q   q, p   q , p   q ,1.4.3.  p  q, p  q,или гдеp,q,p ,q– значения импульсов, соответствующих исходномустолкновению.2.

Импульсы частиц только одного сорта принимают нулевое значение.2.1.Импульсы тяжелых частиц принимают нулевое значение.2.2.Импульсы легких частиц принимают нулевое значение.3. Импульсы тяжелых и легких частиц принимают нулевое значение.Случай 1.1 определяет модель Монако–Прециози. В случае 2.2 в одном извариантов взаимного расположения импульсов возникает модель Амосова–Веденяпина; для определения M m можно воспользоваться (7) или (8). Во всехостальных случаях имеются лишние инварианты. Отметим, что случай 3невозможен в силу (7) и (8).Гипотеза. Существуют только две модели, а именно: модель Амосова–Веденяпина (нетривиальная модель с M m  3 ) и модель Монако–Прециози(тривиальная модель с любым отношением масс молекул), в классе одномерныхсимметричных нормальных дискретных моделей уравнения Больцмана длядвухкомпонентной смеси.Рассмотрение гипотезы представим в виде случаев 1 и 2. Случай 2разделим на исследование случаев 2.1 и 2.2.

Характеристики

Список файлов диссертации