Диссертация (1137401), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Эти свойства должнынаследоваться при переходе на компьютер, и мы получаем справа стохастическуюматрицу.В качестве аналога энтропии надо взятьS    i  f i  i  ,iгде  i – положительное стационарное решение (3.10):(3.11)57Kji j   K ij  i ,j(3.12)j i  0 для i  1,2,  , n , а  – строго вогнутая функция.dS 0.dtДокажем, что fi i Умножив обе части (3.12) наипросуммировав по i , получим:   Kijji  fi  f     K ij  i   i i  j  i   i j  f   K ij  i  i i, j if   K i j  j   j i, j j.Здесь мы один раз поменяли i и j местами под знаком суммы.

Следовательно,имеем, что  fij Kij   ii, jf    j j  0 .(3.13)ПоэтомуfdS    idt i , j   i jf K i f j  K ij f i     ii, j i j   f j K i  j   j  fi   i    f  K i j  j   i  ii, jf    j j    f i i  f j    j  fi   i    0 .  Здесь мы сначала воспользовались равенством (3.12), а потом условием (3.13),прибавив нулевое слагаемое. Неравенство справедливо, поскольку для любойвогнутой функции  выполняется неравенство   y    x    x  y  x  для всех x иy . Это неравенство геометрически означает, что для вогнутой функциикасательная лежит над графиком функции.В век компьютера переход от непрерывной системы к дискретной невызывает сомнений – именно так моделируют сейчас любое уравнение типаЛиувилля.

При дискретизации любого уравнения Лиувилля всегда требуютсохранения числа частиц и свойства положительности, а любой линейныйоператор, удовлетворяющий этим двум свойствам, дает стохастическую матрицуи определяет марковский процесс. Но все-таки интересно сравнить свойства этихсистем: когда они близки и правильно ли одно дает асимптотику другого привремени, стремящимся к бесконечности? Уже в 1906 году А.

Пуанкаре в работе58[41] показал на примерах, что, несмотря на сохранение энтропии для уравненияЛиувилля при времени, стремящемся к бесконечности, она возрастет. Этирезультаты были доказаны и обобщены на случай произвольной гамильтоновойсистемы в работах В.В. Козлова и Д.В. Трещева [15], [32], [33]. При этом там, посути, получена новая форма Н-теоремы.Но для уравнения Лиувилля всегда существует временное среднее илисреднее по Чезаро [15], [32], [33], [42]. Это стохастическая эргодическая теоремафон Неймана–Рисса [42]. Но в случае наличия предела даже в слабой форме онсовпадает с временным средним.Оказывается, что понятие экстремали по Больцману можно перенести и науравнения Лиувилля без изменения с уравнений типа Больцмана.

При этомсохраняется основное свойство – совпадение временного среднего с экстремальюпо Больцману [15]. Таким образом, показывается, что во всех описанных случаяхсистемасходитсявыделяющимся«туда,кудамаксимумомнужно»энтропии–прикстационарномуусловияхрешению,линейныхзаконовсохранения. Роль именно линейных законов сохранений остается несколькозагадочной и удивительной.

Эти общие свойства для обратимого уравненияЛиувилля и необратимых дискретных моделей уравнения Больцмана, возможно,проясняют связь между обратимостью и необратимостью. Это показывает, чтопри дискретизации уравнения надо тщательно следить за линейными (и толькотакими) законами сохранения: их следует оставлять ровно столько, сколько висходном уравнении Лиувилля (если вообще возможно говорить о сопоставленииконечномерного пространства интегралов компьютера и бесконечномерногопространства интегралов исходного уравнения Лиувилля). Периодическиетраектории как бы совсем теряются – в этом смысле труднее всегозамоделироватьуравнениеЛиувиллядляосциллятора.Дальнейшаядискретизация времени возвращает периодические траектории.Вместо марковских процессов появляются марковские цепи:f t     Af t  , t  0, ,2 ,  ,(3.14)59где A  a ij  – матрица размера n  n , у которой aij  0 для i, j  1,2, , n иnai 1ji1 0 1 , тогда (3.14) имеет вид:для всех j .

Возьмем A  10 f 1 t     f 2 t , f 2 t     f 1 t .ВозьмемS t    f1 t  ln f1 t   f 2 t  ln f 2 t  .S  S t     S t   0 .В(3.15)силу(3.15)получаем,чтоСистема (3.15) не дает сходимости к стационарномурешению: S всегда равно нулю и система поочередно принимает состояния 1 и 2(Рисунок 3.1), но среднее Чезароf i C , i  1,2 , совпадает с экстремалью поБольцману f i B и равно f i C  f i B   f 1 0  f 2 0 2 (точка 3 на рисунке 3.1).

Нарисунке 3.1: кривые – это линии уровня энтропии: S  f1 , f 2   const , а прямая видаf 1  f 2  const – это линия уровня линейного закона сохранения для (3.15).Рисунок 3.1.Для марковских цепей (3.14) энтропия (3.11) так же, как и для марковскихnпроцессов, не убывает. Действительно, поскольку fi t  τ    aij f j t  , тоj 1  aij j  f j  S t      i  fi t    i    i    ii j  i j 60Т.к.jaij  ji 1 , то, применяя неравенство Йенсена для вогнутой функции  ,получаем:aij  j  f j i  ijijf   aij  j   j i, j jЗдесь мы воспользовались тем, чтоf     aij  j   jj  i jnai 1jif    j  jj j  S t  . 1.Функции ―минус энтропия (3.11)‖ были введены, возможно, независимоМоримото [61] и Чисаром [55] для доказательства H-теоремы для марковскихпроцессов и цепей.

Если   f    f ln f , то (3.11) называют энтропией Кульбака–Лейблера–Санова–ЧенцоваиличащепростоКульбака–Лейблераилиотносительной энтропией [43], [45], [57]. Здесь мы отметили, что сходимости кстационарному решению может не быть (для марковских цепей), но, как мыдокажем в настоящей главе, временное среднее совпадает с экстремалью поБольцману.Итак, сравнение уравнений Лиувилля и уравнений марковских процессов имарковских цепей в какой-то мере проясняет парадоксы необратимости. С однойстороны – это просто разные модели.

С другой – при дискретизации любогоуравнения Лиувилля всегда заботятся о сохранении числа частиц и сохранениисвойства положительности – а это дает марковсий процесс или марковскую цепь,для которых Н-теорема верна. В-третьих, и поведение решения всех трехобъектов сходно: временное среднее совпадает с экстремалью по Больцману. Номожет оказаться, наш мир дискретен, т.к. частицы рождаются и уничтожаются, аэто и есть эволюция, а уравнения движения типа Ньютона и Лиувилля есть лишьприближенное описание этого.§ 2. Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и ихобобщенийВ настоящем параграфе доказываетсяH -теоремадля обобщенийуравнений химической кинетики, включающих в себя дискретные модели61квантовых кинетических уравнений.

Доказывается, что понятие экстремалиБольцмана существует и в этом случае. Однако появляются и новые особенности:в связи с тем, что функционал энтропии может быть невыпуклым, вообще говоря,стационарное решение не единственно.Пусть есть смесь из n химически взаимодействующих веществ спространственнооднороднымиконцентрациями.Обозначимчерезf i t концентрацию i -го вещества ( i  1,2, , n ) в момент времени t .В общем виде уравнения для сложных химических реакций записываютсяв виде [9], [11], [12], [13], [26]:dfi   i   i K α f α , i  1,2, , n .βdt α,β Здесь через f α обозначено произведение f αведется по некоторому конечному множеству(3.16)f 1α f 2α  f nα , суммирование12nмультииндексовα, β  ,α  1 ,  2 ,  ,  n  и β  1 ,  2 ,  ,  n  – векторы с целочисленными неотрицательнымикомпонентами. α, β  соответствует элементарной реакцииKβα1S1   2 S2     n Sn  1S1   2 S2     n Sn , α, β    ,S i – химические символы реагирующих веществ, Kβα – коэффициенты скоростейреакций(константыреакций).Коэффициентыi ,iназываютсястехиометрическими коэффициентами.

Без ограничения общности можно считатьмножество  симметричным относительно перестановок α и β . При этомнекоторым парам α, β  могут соответствовать нулевые коэффициенты скоростейреакций: Kβα  0 , при том, что K αβ  0 (допускается необратимость реакций).Например, для реакции2 A  B  2Cимеемα  2,1,0 ,β  0,0,2 ,и пару,симметричную ей.В [9], [12], [13] представлена классификация уравнений химическойкинетики (3.16) по энтропийному принципу: S  D  E  C , где через C обозначенкласс всех систем (3.16) с конечным числом реакций, Е – это класс систем, длякоторых выполняется условие динамического равновесия, и это, как показано в62[9], [12], [13], гарантирует возрастание энтропии, D – класс систем (3.16) сдетальным равновесием, S – класс систем с симметричными константамиреакций, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации