Диссертация (1137401), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

систем, для которых Kβα  Kαβ .Если множество  содержит только единичные векторы (т.е. векторы, укоторых одна из компонент равна единице, а остальные равны нулю), то система(3.16) является линейной. Линейная система (3.16) – это уравнение марковскогопроцесса.Далее мы изучим системы уравнений более общего вида, чем (3.16).

Будутрассмотрены важные физические примеры таких систем: дискретные моделиквантовых кинетических уравнений и квантовые марковские процессы. Случай ссимметричными коэффициентами исследовался с указанием H -функции [12],[13]. В настоящем параграфе обобщаются и вид системы (3.16), и условия H теоремы: условия детального и динамического равновесия.Пример 1. Пространственно однородная модель Карлемана и ееобобщения.Пространственно однородная модель Карлемана [36] – это система двухуравнений: df122 dt  f 2  f1 , df 2  f12  f 2 2 . dt(3.17)Она является системой уравнений химической кинетики с одной обратимойреакцией вида 2S1  2S 2 .

(В данном случае константы прямой и обратной реакцииравны – симметричный случай.)Квантовая пространственно однородная модель Карлемана [23] – этосистема df12222 dt  f 2 1  f1   f1 1  f 2  , df 2  f12 1  f 2 2  f 2 2 1  f1 2 . dt(3.18)Здесь   0 для бозонов,   0 для фермионов,   0 для больцмановского газа.Рассмотрим следующее обобщение этих систем:63 df1 G f   G f     K 21 exp 2 ,  f  K12 exp 2ff dt2 1  df 2   f  K 1 exp 2 G f    K 2 exp 2 G f   ,1 f  f   2 dt1 2 (3.19)где f   f 1 , f 2  , K12 и K 21 – положительные числа, а  f   0 и Gf  – функции,выбором которых определяется конкретный вид системы (3.19).

Число два варгументах экспонент написано только для соответствия с дальнейшимиобозначениями в настоящей статье. В симметричном случае, т.е. когда K12  K 21  1 ,приGf   f 1 ln f 1  1  f 2 ln f 2  1и f     constимеемпространственнооднородную модель Карлемана (3.17), а при G f     f i ln f i   1 1  f i  ln 1  f i  и2i 1 f    1  f 1 2 1  f 2 2 получаем квантовую пространственно однородную модельКарлемана (3.18).Экстремаль Больцмана здесь возникает в следующем виде. Простаявыкладка (аналог (3.3)) показывает, что H f   Gf   Gξ , f  , где вектор ξ таков, Gξ   Gξ    K 21 exp 2 , убывает вдоль решений системы (3.19): f 2  f1 что K12 exp 2 Gf   Gf   dH f    G f  G ξ    Gf  Gξ       f  K12 exp 2  K 21 exp 2    dtf1   f 2f 2   f 2  f1    f1  G f  G ξ    G f  G ξ    G ξ      f K12 exp 2   f1   f 2f 2   f 2   f1  G f  G ξ     G f  G ξ       exp  2    0 .  exp  2ffff2211  в силу неравенства x  y e y  e x   0 , где равенство достигается при x  y .

Здесьодинлинейныйзаконсохранения–законсохранениячислачастиц:f 1  f 2  A  const , и стационар определяется из условного минимума H f  прификсации константы этого закона сохранения. Функция Лагранжа для этой задачиимеет вид: Lf , λ   H f     f 1  f 2  A , где  – множитель Лагранжа при линейномзаконе сохранения. Экстремаль Больцмана f 0 находится как стационарная точка64функции Лагранжа:H f 0  H f 0 Lf 0 , λ Lf 0 , λ   ,0, 0 , т.е. из системы:f 1f 2fλf 10  f 20  A .Пример 2.

Случайное блуждание с двумя состояниями и его обобщения.Случайное блуждание (марковский процесс) с двумя состояниямиописывается линейной системой двух уравнений: df121 dt  K 1 f 2  K 2 f 1 , df 2  K 21 f 1  K 12 f 2 , dt(3.20)квантовое случайное блуждание с двумя состояниями – системой: df121 dt  K 1 f 2 1  f 1   K 2 f 1 1  f 2 , df 2  K 21 f 1 1  f 2   K 12 f 2 1  f 1 , dt(3.21)а их обобщение – системой: df1 G f   G f     K 21 exp ,  f  K 12 expff dt21 df 2   f  K 1 exp G f    K 2 exp G f   .1 f  f   2 dt1 2 (3.22)Система (3.20) представляет собой систему уравнений химической кинетики сK 21K12одной реакцией вида S1  S 2 и обратной к ней S 2  S1 . Система (3.21) такжеявляется системой уравнений химической кинетики, и ещѐ такого рода системыназываются уравнениями квантовой химической кинетики.

Обобщение условиядетального равновесия, которое будет предложено в настоящем параграфе, длясистемы (3.21) формулируется так: существует вектор ξ  1 ,  2  такой, чтоK 21 1 1  1   K12  2 1   2  . В данном примере с помощью выбора ξможнополучить любые K12 и K 21 .Отметим, что уравнения квантовой химической кинетики являютсяуравнениями химической кинетики, но для них H -теорема, доказанная в [9], [12],[13], вообще говоря, не справедлива, что связано с тем, что набор реакций,65который сопоставляется таким системам, содержит необратимые реакции, иусловие H -теоремы из [9], [12], [13] не выполняется.Рассмотрим систему уравнений:dfiα, G f  , i  1,2,, n ,   i   i  βα f K βα edt α,β (3.23)где  βα f  , Gf  – заданные функции от f   f1 , f 2 , , f n  . Пусть  βα f    αβ f   0 ;Kβα  0 , причем Kβα  0 или K αβ  0 для α, β    .Н-теорема для симметричного случая: Kβα  Kαβ , рассматривалась [12], [13].Если  βα f  не зависит от f , то можем считать, что  βα f   1 , и тогда мыимеем систему:df iα, G f  , i  1,2,, n .   i   i K βα edt α,β Если в (3.24)(3.24)G f  ln f i , то мы имеем систему (3.16).f iПусть система (3.23) (система (3.24)) решается для начальных данныхf 0  M  R n .

И пусть в каждой из граничных точек производная df dt вдольрешений системы (3.23) (системы (3.24)) направлена внутрь множества M (приэтом она может быть и бесконечна) или равна нулевому вектору. Это есть условиесохранения положительности, и решения системы с начальными данными f 0  Mв любой момент времени принадлежат множеству M .Пусть функции  βα f eα , G f в случае системы (3.23) и функции eα, G f в случае системы (3.24) непрерывны на множестве M вместе с частнымипроизводными по f i для всех i для всех α, β    .

Это гарантирует существованиеи единственность решения в малом.Остановимся на следующих вопросах. Когда системы (3.23) и (3.24) имеютН-функцию – функционал типа энтропии, убывающий на нестационарныхрешениях? Какие выводы из этого можно сделать?Обобщение условия детального равновесия на случай систем (3.23). Пустьсуществует вектор ξ такой, что Gξ  определен, и для всех реакций α, β   66выполняется условиеK βα eα, G ξ   K eβ, G ξ .βα(3.25)Т.е.

пусть существует хотя бы одно решение системы (3.25) из m уравнений (m –число реакций). Тогда будем говорить, что для системы (3.23) выполняетсяобобщение условия детального равновесия.Найдем невозрастающий функционал для системы (3.23) в случае, когдадля нее выполнено обобщение условия детального равновесия.Меняя в (3.23) под знаком суммирования индексы α и β местами иучитывая, что  βα f    αβ f , имеем, чтоdfiβ, G f  , i  1,2,, n .    i   i  βα f K αβ edtα,β Из этой формулы и из (3.23), получаем, чтоdfi 1α, Gf   K βeβ, Gf   .  i   i  βα f  Kβαeαdt 2 α,β Тогда для произвольной дифференцируемой в точке f функции H f получаем:dH f  1α, Gξ eα, Gf   Gξ   eβ, Gf   Gξ  .  β  α, H f  βα f Kβαedt2 α,β Откуда имеем, чтоdH 0 , еслиdtH f   Gf   Gξ  ,причем равенство достигается при β  α, Gf   Gξ   0 .Из последнего получаем, что с точностью до произвольной аддитивнойпостояннойH f   Gf   Gξ , f  .(3.26)В случае химической кинетики и классического марковского процессаполучается энтропия Кульбака–Лейблера–Санова–Ченцова [43], [45], [57]:n fS f    H f    f i  ln i  1 .

Для возрастания так определенной относительнойi 1 iэнтропии наличие закона сохранения числа частиц не требуется в отличие от67nS f    f i lni 1fii– именно так определяют энтропию Кульбака–Лейблера, когдаесть закон сохранения числа частиц. Таким образом, форма (3.26) для H f поясняет этот классический случай.Сделаем следующие допущения для систем (3.23) и (3.24).

Характеристики

Список файлов диссертации