Диссертация (1137401), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

пример 5).Выясним, каковы законы сохранения. Как мы уже отмечали, система за 2nшагов возвращается в исходное состояние. При этом может оказаться, что онанесколько раз возвращалась в исходное состояние за одинаковые промежуткивремени. Поэтому система, пройдя различные состояния по одному разу, вернетсяв первый раз в исходное состояние за число шагов, являющееся делителем числа2n . Поэтому упростим условие задачи и будем считать, что n – простое число.Тогда делители 2n – это числа 1, 2, n и 2n . Чтобы система вернулась в исходноесостояние необходимо, чтобы суммарно цвета шаров изменились четное числораз, поэтому за нечетное число шагов система не может вернуться в исходноесостояние, если m нечетное.

Таким образом, система первый раз возвращается висходное состояние либо за два шага: η0  η1  η0 , либо за 2n шагов:η0  η1    η2 n 1  η0 . Если ηi 0  ηi ( i  0,1 ), то ηi t   ηi  t  m od 2 . А если ηi 0  ηi84( i  0,1,2,,2n  1), то ηi t   ηi  t  m od2 n  . Поэтому в первом случае мы имеем законсохранения видаf η0 ; t   f η1; t   const ,(3.43)а во втором – закон сохранения вида  f η0 ; t  f η1; t    f η2 n 1; t  const ,(3.44)Если же m четное, то система за n шагов всегда возвращается в исходноесостояние. Поэтому в этом случае система первый раз возвращается в исходноесостояние либо за один, либо за два, либо за n шагов.Посчитаем для любого n , сколько состояний системы переходят сами всебя за один шаг, т.е. узнаем число решений уравнения1,2 ,3 ,,n T  η  Tˆ η   nn ,11, 22 ,, n1n1 T , то всеη  Tˆ η .Т.к. i ( i  2,3,, n ) однозначновыражаются через 1 , и имеется одно уравнение на 1 : 1  1 , где через  мыобозначилиni.

Если m нечетное, то   1 , и это уравнение не имеет решений.i 1А если m четное, то   1 , и тогда имеется два решения: 1  1 , которыеопределяют два вектора η , каждый из которых определяет линейный законсохраненияf η; t   const .(3.45)Посчитаем, сколько состояний системы переходят сами в себя за два шага,т.е.узнаем1 ,2 ,3 ,,n Tчислорешенийуравненияˆ 2η .ηTТ.к.ˆ 2 η     ,    ,    ,,    T , то при нечетном nηTn n1 n11 n n2 1 1n1 n2 n2все  i ( i  2,3,, n ) однозначно выражаются через 1 , и имеется одно уравнение на1 : 1   21 .Поскольку  2  1 , то это уравнение имеет два решения: 1  1 ,которые определяют два вектора состояния системы.

Если m нечетное, то ониопределяют один закон сохранения вида (3.43). А если m четное, то это те жевектора, которые являлись решениями уравнения η  Tˆ η , и новых линейнонезависимых линейных законов сохранения не возникает. Если же n четное, товсе  i однозначно выражаются через 1 и  2 , и имеется два уравнения на них:1  1 и  2   2 . Если m нечетное, то решений нет. Если m четное, то имеется85четыре решения: 1, 2 – любые, равные  1 .

Два состояния – это те же вектора,которые являлись решениями уравнения η  Tˆ η ,а остальные два состояниясоответствуют одному закону сохранения вида (3.43).Посчитаем число законов сохранения для простого числа n  2 . Если mнечетное, то имеем один закон сохранения вида (3.43), а остальные – вида (3.44).Поскольку два состояния из 2 n приходятся на закон сохранения вида (3.43), то2n  2 различных состояния входят в законы сохранения вида (3.44), поэтому ихчисло равно2n  2 2 n 1  12 n 1  1. Таким образом, мы насчитали 1 линейно2nnnнезависимых законов сохранения для простого числа n  2 и нечетного m . Если mчетное, то имеем два закона сохранения вида (3.45), а остальные соответствуюттому, что система за n шагов впервые возвращается в исходное состояние.Поскольку два состояния из 2 n приходятся на два закона сохранения вида (3.45),то 2n  2 различных состояния входят в остальные законы сохранения, поэтому ихчисло равно2n  22n 1  12n 1  12.

Таким образом, мы насчитали 2  2линейноnnnнезависимых законов сохранения для простого числа n  2 и четного m .Если n  2 , то при m  1 есть только один закон сохранения, который имеетвид (3.44): и в нем присутствуют все четыре возможные состояния системы издвух шаров. А при четном m  0,2 есть три закона сохранения: два вида (3.45) иодин вида (3.43), и общая формула для простого n верна.Итак, в частности, справедлива следующаяТеорема. Для уравнения Лиувилля с дискретным временем для модели М.Каца в случае простого n число линейных законов сохранения для четного mравно 2  22n 1  12 n 1  1, а для нечетного m : 1 при n  2 и единице при n  2 .nnРассмотрим теперь случай произвольного n .Посчитаем, сколько состояний системы переходят сами в себя за k шагов,т.е. узнаем число решений уравнения η  Tˆ k η .

Через i -ю координату вектора η : ηi ,выражаются координаты с номерами j  i  sk mod n , s  Z , что равносильно86j  i mod НОД n, k  . Обозначим НОД n, k  через d . Таким образом, через ηi , гдеi  1,2,, d , выражаются все остальные координаты – через каждую ηi выражаетсяn dразличных координат. И поскольку i  k n d mod n  i , то для каждогоi  1,2,, d мы имеем уравнение на ηi : ηi   k d ηi . Если m нечетное, то   1 , и этиуравнение имеют решения, только если k d четное, причем число различныхвекторов η будет равно числу всевозможных векторов 1,2 ,3 ,,d T , т.е.

2d . Аесли m четное, то   1 , и тогда i  1 для i  1,2,, d , и при любом k имеем 2dразличных векторов η .Число линейно независимых линейных законов сохранения считается, каки раньше, суммированием чисел законов сохранения, соответствующих тому, чтоза k шагов система первый раз вернется в исходное состояние. Рассмотримканоническое разложение числа 2n : 2n  2  p2    pr  , где 2  p2    pr –12rпростые числа, а  1 ,  2 , …,  r – некоторые натуральные числа. Если m четное, тов качестве k надо взять все делители числа 2n :2i1  p2 2    pr r ,ii(3.46)где 0  i1  1 , 0  i2   2 , …, 0  ir   r . В этом случае k  d при i1  1 , и k  2d приˆ k η при k  2d  21  p i2    p ir присутствуютi1  1 .

Но все решения уравнения η  T2rв наборе решений для k  d  2 1  p2i    pr i , поскольку в обоих случаях их число1равно2d .n  2 1 1  p22Поэтомунадо2ri1  1 ,братьт.е.толькоделителичисла   pr r . Если m нечетное, то в качестве k надо взять все делителичисла 2n вида:2 1  p2 2    pr r ,ii(3.47)где 0  i2   2 , …, 0  ir   r (для того чтобы k d было четным). В этом случаеk  2d .

Чтобы вычислить число состояний таких, что за k шагов система в первыйраз вернется в это же состояние, надо из числа решений уравнения η  Tˆ k η (их 2d )для каждого из делителей числа k (вида (3.46) с i1  1 для четного m или вида(3.47) для нечетного m ) вычесть число состояний таких, что за число шагов,равное этому делителю, система первый раз вернется в исходное состояние.

Если87эточислоподелитьнаk,тополучимчислозаконовсохранения,соответствующих тому, что за k шагов система первый раз вернется в исходноесостояние. Итак, процедура вычисления числителей для дроби со знаменателем kпроста: из 2НОДn, k  вычитаются числители всех тех дробей, у которых знаменательявляется делителем k .Пусть n  p ( p – простое число), тогда для четного m число законовсохранения равно2 2p  2 2p  2p2p  2p1pp2p2 1.а для нечетного m :2 2p  2 2p  2p2p  2p22p2 p22 p222  1 1, если p  2 ,, если p  2 .Вычисление числителей для произвольного n сводится к формулевключения–исключения. Пусть n  p α  p1  p2    pr  , где 2  p1  p2    pr а  1 ,12r 2 , …,  r – некоторые натуральные числа.

Тогда для четного m число линейныхзаконов сохранения равно2 2 p1  2 2 p2  22 pr  21p1p2prαr2p   2pα eii 1  2pi jα ei e j 2pα ei e j e k    1 2i j kpαrp11 1  p 2 2 1  p r  r 1, (3.48)где ei  0,,0,1i ,0,,0 T – вектор размерности r с единицей на i -м месте и нулямина остальных. Действительно, если Ai – множество всех решений η  Tˆ k η приk  p α  e i , i  1,2., r , а A – множество всех решений этого уравнения при k  p α , точислитель последней дроби в (3.48) естьr r rA \   Ai   A   Ai   Ai  Aj   Ai  Aj  Ak     1 A1  A2    Ar .i 1i ji j k i 1 А для нечетного m число законов сохранения равно882 2 p1  2 2 p2  22 pr  222 p12 p22 prr2p   2pα1α eii 1  2pα ei e ji j2pα ei e j e k    1 2rp11 1 p 2 2 1  p r  r 1i j k, если p1  2 ,2pα112222 p 2  2221 121 1 p21 ~ α22pr1 ~ α  e i  22i 2p1 ~ α  e i  e j  22pi j2 ~ α e i e j e k2 1pi j k1 12    1 2r 12 1 p 2 2 1  p r  r 1,~αpесли p1  2 , где p~ α  p2    pr  .2rМы видим, что, когда n нечетно, число линейных законов сохранения длянечетного m в два раза меньше, чем для четного.Покажем, например, в случае простого числа n  2 и нечетного m , чтодругих линейно независимых линейных законов сохранения нет.

Пронумеруемвектора состояний системы шаров следующим образом: в качестве первоговектора возьмем любой из векторов, в качестве каждого следующего – тот,который получается из предыдущего за один шаг, до тех пор, пока они не начнутповторяться, потом снова берем произвольный вектор из оставшихся, и в качествекаждого следующего – тот, который получается из предыдущего за один шаг, дотех пор, пока они не начнут повторяться, и т. д. Тогда в стандартном базисеортонормированных векторов ( i -й базисный вектор – столбец с единицей на i -мместе и нулями на остальных) матрица оператора Т  E состоит из  1 0 0 000000  0100 0011 0 0 0   2n  1клетокn89  1  , расположенных 1 размера 2n : A2 n , и одну такую клетку размера 2: A2  так, чтобы   оказывались бы на диагонали, и с нулевыми остальнымиэлементами.2 n1 1ndetТ  E  det A2 n 2 n1 1ndet A2  2 n  12   i 0 2 n 12 n1 11in 1    1Таким образом, кратность корня   1 равна 1 2 n1 1n  1 .2 n 1  1, а значит, число линейноnнезависимых линейных законов сохранения равно 1 2 n 1  1.

Следовательно,nдругих законов сохранения, кроме найденных, нет. Полученный результат независит от способа нумерации векторов η , т.к. при любой нумерации числолинейно независимых линейных законов сохранения одно и то же.В общем случае, если мы аналогично нашли всевозможные законысохранения из соображения, что каждая из систем возвращается в исходноесостояние через время 2n , то доказательство, что других законов сохранения нет,аналогично представленному выше для частного случая.

Характеристики

Список файлов диссертации