Диссертация (1137401), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Второй способ – этопереход к инвариантной мере в пространстве координаты–скорости: вместофункции распределения f вводится новая функция распределения F  f g , где g– определитель матрицы g ij , являющийся стационарным решение уравнениянеразрывности, как в замене (3.52).

Как g в этом примере определяетинвариантную меру gdxdv , так и положительное стационарное решение уравненияЛиувилля (3.50):  x  , определяет инвариантную меру dx . Для новой функциираспределения (3.52) число частиц в областиGзаписывается в виде:N t , G    F t , x xdx . F не растет вдоль траекторий динамической системы, т.к.Gполная производная от нее есть ноль, и поскольку число частиц сохраняется, томера dx сохраняется тоже.Пример 8. Уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля). Этоуравнение idS H, S на неизвестную самосопряженную матрицу S t  (матрицуdtплотности, оператор плотности), где  – постоянная Планка, H, S  HS  SH –коммутатор, H – гамильтониан, заданная самосопряженная матрица.

Пусть96заданы начальные условия: S0  S 0 . Линейные законы сохранения – это такиесамосопряженные матрицы A , что SpAS   const вдоль решений ( Sp – следматрицы, SpAS  – это скалярное произведение матриц A и S ). Поскольку0dSpAS   Sp A dS   1 SpAH, S  1 SpA, H S  ,dti dt  iто матрицы A линейных законов сохранения находятся из условия A, H   0 .Отметим,чтовсегдаестьлинейныйзаконсохранения,являющийсятождественным преобразованием E , т.е. SpS   const , поскольку тождественноепреобразования E всегда коммутирует E, H  0 . Определим средние по времениформулой ST T1~~St dt , а экстремаль Больцмана – S B  arg min Sp S ln S  AS , где AST 0– матрица, определяющая линейные законы сохранения, причем SpAS B   SpAS 0 .~~Для сохраняющейся энтропии  SpS ln S  выполняются условия теоремы, поэтомуST  S B .

Отметим, что S B находится из условияприменима теорема, и тогда Tlim ~ ~ Sp S ln S  AS  0 ,чторавносильно~ S ln S  A~ S  0 ,поскольку Sp S ln S  AS  Sp S ln S  AS S  .Величина  SpS ln S  называется энтропией фон Неймана, а полученныйрезультат означает, что среднее по Чезаро совпадает с экстремалью поБольцману. Временное среднее – это то, что меряет макроскопический прибор, незамечая быстрых колебаний. Поэтому наблюдатель видит то, что коммутирует сгамильтонианом H . Это, с одной стороны, обосновывает стационарную задачуквантовой механики – разности собственных значений, как известно, даютспектры излучения, и потому делает ненужной эргодические гипотезы вквантовом случае. С другой стороны, это показывает недостаточность уравненияШредингера – шредингеровской картины, так как аналогичноерассуждениепоказывает, что все ненулевые собственные значения теряются для него прибольших временах.

Поэтому требуется Гейзенберговская картина. Но это97рассуждение послужило также основанием для введения фон Нейманом матрицыплотности.Приведем пример c неравной нулю дивергенцией (   const ), в которомвычислим экстремаль Больцмана и непосредственно докажем, что энтропия отнее не меньше, чем энтропия от функции распределения в любой момент времениt.Пример 9.

Рассмотрим уравнение Лиувилля, соответствующее уравнениюdx dt  vx   const , с периодическими граничными условиями при 0  x  L :f vx  f  0.tx(3.56)Его стационарное решение находится из уравнения  x   A v x  .Чтобысуществовалоположительноеdvx  x   0 :dxстационарноерешениепериодической граничной задачи (вида  x   A vx  ), определенное при всехвозможных x из 0, L , без ограничения общности, потребуем, чтобы vx   0 .Тогда если A  0 , то  x   0 .Уравнение (3.56) имеет один линейный интеграл – это закон сохранениячисла частиц: f t, x dx .

Варьировать надо  f    f dx ,(3.57)где  – множитель Лагранжа.Послеварьированиядальнейшимопределениемf B x  L1f 0, x dxvx  0L 1 vxdx .получаемизэкстремумзаконовфункционаласохранения,Согласно теореме 3.4fC  f B.(3.57)чтоfCсдаетобратно0пропорционально vx  , что соответствует тому, что частицы пребывают дольшетам, где скорость меньше.Возьмем в выражении для энтропии (3.55)  h   h 2 . Покажем, чтоS3.50  f B   S3.50  f  на множестве LI,f 0 .98 S3.50  fBL1    f 0, x dx A 02L 1 vx dx ,0L1S3.50   f     vx  f 2 t , x dx .A0Т.к. A  0 , то достаточно доказать неравенствоL  f 0, x dx 02LL002 1 vx dx   vx  f t , x dx ,которое с учетом закона сохранения числа частиц:LL00 f 0, x dx   f t, x dx , можнопереписать в виде:2LLL  f t , x dx    v x  f 2 t , x dx  1 v x dx .000Но последнее представляет собой неравенство Коши–Буняковского:vx  f t , x ,1v  x  L2 2vx  f t , x 2L21v x 2L2.Теоремы из работы [15] и теоремы 3.3, 3.4 допускают обобщения:«процедура Больцмана» варьирования энтропии, приводящая к «формулеБольцмана», применима как для уравнения Больцмана и его дискретных моделей,примером которых служит система (3.1), так и для уравнения неразрывности и вконечномерном случае для марковских процессов и их нелинейных обобщенийтипа химической кинетики [9], [12], [13].

В [9], [12], [13], [§ 2 настоящей главы]они доказаны для непрерывного времени (сходимость к экстремалям поБольцману), и там не требуется средних по Чезаро, так как предел при времени,стремящемся к бесконечности, существует, как для уравнения (3.1). Сдискретным временем уже для марковских цепей сходимость бывает не всегда, ночезаровские средние совпадают с экстремалями по Больцману.

Это дает, с однойстороны, что требуется при решении задач типа (3.50) следить за линейнымизаконами сохранения для (3.50). С другой стороны, получающиеся множителиЛагранжаявляютсяосновойдляпостроениякакравновесной,такинеравновесной статистической механики [12], [13], [32]. В [32] объяснено, что99если решение (3.50) при t   сходится слабо, то оно совпадает со средним поЧезаро: f C x  .

Процедура Больцмана дает именно такое среднее (если оносуществует). Слабая сходимость вполне естественна в физических приложениях:пробным функциям соответствуют приборы (термометр, барометр), меряющиесредние величины [13].Еще одно возможное приложение – это эргодическая гипотеза [30].Например, для твердых шаров в ящике – это старая проблема о том, что привремени, стремящемся к бесконечности, функция распределения сходится толькок функции от энергии. Тут две проблемы – доказать, что сходимость есть, ивычислить предел.

Теоремы типа Пуанкаре–Козлова–Трещева [32], [33], [41]решают первую из них. Из теоремы 3.4 настоящего параграфа следует, что этотпредел зависит только от интегралов – шажок в решении именно второйпроблемы. Теперь задача сведена к рассмотрению интегралов, т.е. достаточноисследовать стационарное уравнение Лиувилля (3.50), соответствующее системе(3.49) вида dx dt  v , dv dt  0 , где x и v из пространства R 3 N ( N – число шаров).Надо добавить граничное условие зеркального отражения на границе области0  xik  L ,xi2 x j   d 2 ( x i   xi1 , xi 2 , xi 3   R 3 , i, j  1,2,, N , k  1,2,3 , d – диаметршаров, L – длина ящика) и доказать, что такая граничная задача в L2 имеетрешение только вида f x, v   g v 2  , т.е.

является функцией только кинетическойэнергии v2  v12  v22    vN 2 ( v i  R 3 , i  1,2,, N ). Такая редукция к описаниюмножества интегралов в эргодической проблеме возможна с помощью теорем изработы [15] и теорем 3.3, 3.4 и для других уравнений.Проблема дискретизации уравнений для перевода их в форму, понятнуюкомпьютеру, всегда содержит вопросы консервативности – сохранение техзаконов сохранения, которые присущи исходному уравнению. Оказывается оченьважной и точная консервативность – сохранение ровно тех и только исходныхзаконов сохранения, если их конечное число.

Это оказывается важным уже вслучае линейных уравнений. Дискретизация линейных уравнений с закономсохранения числа частиц всегда приводит к стохастической матрице и потому к100марковской цепи. Но к таким уравнениям с сохранением числа частиц относятсялюбое уравнение Лиувилля и уравнения переноса излучения или нейтронов. Мыпоказали,чтоасимптотическиесвойствапривремени,стремящемсякбесконечности, определяются для всех таких дискретизаций именно линейнымизаконами сохранения.

Представляет интерес обобщение полученных результатовна нелинейные системы, в частности, модели уравнения Больцмана с дискретнымвременем, и перенесение условия Штюккельберга–Батищевой–Пирогова [9], [12],[13], [35], [36], [40] на дискретное время.В работах А. Пуанкаре [41], В.В. Козлова [32] и Д.В. Трещева [33]рассматривается новая форма H -теоремы. Она справедлива для уравненияЛиувилля и их обобщений [3], [11], [15], [32], [33], [41], [§§ 1, 3 и 4 настоящейглавы].

Характеристики

Список файлов диссертации