Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137401), страница 17

Файл №1137401 Диссертация (Инварианты и дискретизация кинетических уравнений Больцмана и Лиувилля) 17 страницаДиссертация (1137401) страница 172019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Второй способ – этопереход к инвариантной мере в пространстве координаты–скорости: вместофункции распределения f вводится новая функция распределения F  f g , где g– определитель матрицы g ij , являющийся стационарным решение уравнениянеразрывности, как в замене (3.52).

Как g в этом примере определяетинвариантную меру gdxdv , так и положительное стационарное решение уравненияЛиувилля (3.50):  x  , определяет инвариантную меру dx . Для новой функциираспределения (3.52) число частиц в областиGзаписывается в виде:N t , G    F t , x xdx . F не растет вдоль траекторий динамической системы, т.к.Gполная производная от нее есть ноль, и поскольку число частиц сохраняется, томера dx сохраняется тоже.Пример 8. Уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля). Этоуравнение idS H, S на неизвестную самосопряженную матрицу S t  (матрицуdtплотности, оператор плотности), где  – постоянная Планка, H, S  HS  SH –коммутатор, H – гамильтониан, заданная самосопряженная матрица.

Пусть96заданы начальные условия: S0  S 0 . Линейные законы сохранения – это такиесамосопряженные матрицы A , что SpAS   const вдоль решений ( Sp – следматрицы, SpAS  – это скалярное произведение матриц A и S ). Поскольку0dSpAS   Sp A dS   1 SpAH, S  1 SpA, H S  ,dti dt  iто матрицы A линейных законов сохранения находятся из условия A, H   0 .Отметим,чтовсегдаестьлинейныйзаконсохранения,являющийсятождественным преобразованием E , т.е. SpS   const , поскольку тождественноепреобразования E всегда коммутирует E, H  0 . Определим средние по времениформулой ST T1~~St dt , а экстремаль Больцмана – S B  arg min Sp S ln S  AS , где AST 0– матрица, определяющая линейные законы сохранения, причем SpAS B   SpAS 0 .~~Для сохраняющейся энтропии  SpS ln S  выполняются условия теоремы, поэтомуST  S B .

Отметим, что S B находится из условияприменима теорема, и тогда Tlim ~ ~ Sp S ln S  AS  0 ,чторавносильно~ S ln S  A~ S  0 ,поскольку Sp S ln S  AS  Sp S ln S  AS S  .Величина  SpS ln S  называется энтропией фон Неймана, а полученныйрезультат означает, что среднее по Чезаро совпадает с экстремалью поБольцману. Временное среднее – это то, что меряет макроскопический прибор, незамечая быстрых колебаний. Поэтому наблюдатель видит то, что коммутирует сгамильтонианом H . Это, с одной стороны, обосновывает стационарную задачуквантовой механики – разности собственных значений, как известно, даютспектры излучения, и потому делает ненужной эргодические гипотезы вквантовом случае. С другой стороны, это показывает недостаточность уравненияШредингера – шредингеровской картины, так как аналогичноерассуждениепоказывает, что все ненулевые собственные значения теряются для него прибольших временах.

Поэтому требуется Гейзенберговская картина. Но это97рассуждение послужило также основанием для введения фон Нейманом матрицыплотности.Приведем пример c неравной нулю дивергенцией (   const ), в которомвычислим экстремаль Больцмана и непосредственно докажем, что энтропия отнее не меньше, чем энтропия от функции распределения в любой момент времениt.Пример 9.

Рассмотрим уравнение Лиувилля, соответствующее уравнениюdx dt  vx   const , с периодическими граничными условиями при 0  x  L :f vx  f  0.tx(3.56)Его стационарное решение находится из уравнения  x   A v x  .Чтобысуществовалоположительноеdvx  x   0 :dxстационарноерешениепериодической граничной задачи (вида  x   A vx  ), определенное при всехвозможных x из 0, L , без ограничения общности, потребуем, чтобы vx   0 .Тогда если A  0 , то  x   0 .Уравнение (3.56) имеет один линейный интеграл – это закон сохранениячисла частиц: f t, x dx .

Варьировать надо  f    f dx ,(3.57)где  – множитель Лагранжа.Послеварьированиядальнейшимопределениемf B x  L1f 0, x dxvx  0L 1 vxdx .получаемизэкстремумзаконовфункционаласохранения,Согласно теореме 3.4fC  f B.(3.57)чтоfCсдаетобратно0пропорционально vx  , что соответствует тому, что частицы пребывают дольшетам, где скорость меньше.Возьмем в выражении для энтропии (3.55)  h   h 2 . Покажем, чтоS3.50  f B   S3.50  f  на множестве LI,f 0 .98 S3.50  fBL1    f 0, x dx A 02L 1 vx dx ,0L1S3.50   f     vx  f 2 t , x dx .A0Т.к. A  0 , то достаточно доказать неравенствоL  f 0, x dx 02LL002 1 vx dx   vx  f t , x dx ,которое с учетом закона сохранения числа частиц:LL00 f 0, x dx   f t, x dx , можнопереписать в виде:2LLL  f t , x dx    v x  f 2 t , x dx  1 v x dx .000Но последнее представляет собой неравенство Коши–Буняковского:vx  f t , x ,1v  x  L2 2vx  f t , x 2L21v x 2L2.Теоремы из работы [15] и теоремы 3.3, 3.4 допускают обобщения:«процедура Больцмана» варьирования энтропии, приводящая к «формулеБольцмана», применима как для уравнения Больцмана и его дискретных моделей,примером которых служит система (3.1), так и для уравнения неразрывности и вконечномерном случае для марковских процессов и их нелинейных обобщенийтипа химической кинетики [9], [12], [13].

В [9], [12], [13], [§ 2 настоящей главы]они доказаны для непрерывного времени (сходимость к экстремалям поБольцману), и там не требуется средних по Чезаро, так как предел при времени,стремящемся к бесконечности, существует, как для уравнения (3.1). Сдискретным временем уже для марковских цепей сходимость бывает не всегда, ночезаровские средние совпадают с экстремалями по Больцману.

Это дает, с однойстороны, что требуется при решении задач типа (3.50) следить за линейнымизаконами сохранения для (3.50). С другой стороны, получающиеся множителиЛагранжаявляютсяосновойдляпостроениякакравновесной,такинеравновесной статистической механики [12], [13], [32]. В [32] объяснено, что99если решение (3.50) при t   сходится слабо, то оно совпадает со средним поЧезаро: f C x  .

Процедура Больцмана дает именно такое среднее (если оносуществует). Слабая сходимость вполне естественна в физических приложениях:пробным функциям соответствуют приборы (термометр, барометр), меряющиесредние величины [13].Еще одно возможное приложение – это эргодическая гипотеза [30].Например, для твердых шаров в ящике – это старая проблема о том, что привремени, стремящемся к бесконечности, функция распределения сходится толькок функции от энергии. Тут две проблемы – доказать, что сходимость есть, ивычислить предел.

Теоремы типа Пуанкаре–Козлова–Трещева [32], [33], [41]решают первую из них. Из теоремы 3.4 настоящего параграфа следует, что этотпредел зависит только от интегралов – шажок в решении именно второйпроблемы. Теперь задача сведена к рассмотрению интегралов, т.е. достаточноисследовать стационарное уравнение Лиувилля (3.50), соответствующее системе(3.49) вида dx dt  v , dv dt  0 , где x и v из пространства R 3 N ( N – число шаров).Надо добавить граничное условие зеркального отражения на границе области0  xik  L ,xi2 x j   d 2 ( x i   xi1 , xi 2 , xi 3   R 3 , i, j  1,2,, N , k  1,2,3 , d – диаметршаров, L – длина ящика) и доказать, что такая граничная задача в L2 имеетрешение только вида f x, v   g v 2  , т.е.

является функцией только кинетическойэнергии v2  v12  v22    vN 2 ( v i  R 3 , i  1,2,, N ). Такая редукция к описаниюмножества интегралов в эргодической проблеме возможна с помощью теорем изработы [15] и теорем 3.3, 3.4 и для других уравнений.Проблема дискретизации уравнений для перевода их в форму, понятнуюкомпьютеру, всегда содержит вопросы консервативности – сохранение техзаконов сохранения, которые присущи исходному уравнению. Оказывается оченьважной и точная консервативность – сохранение ровно тех и только исходныхзаконов сохранения, если их конечное число.

Это оказывается важным уже вслучае линейных уравнений. Дискретизация линейных уравнений с закономсохранения числа частиц всегда приводит к стохастической матрице и потому к100марковской цепи. Но к таким уравнениям с сохранением числа частиц относятсялюбое уравнение Лиувилля и уравнения переноса излучения или нейтронов. Мыпоказали,чтоасимптотическиесвойствапривремени,стремящемсякбесконечности, определяются для всех таких дискретизаций именно линейнымизаконами сохранения.

Представляет интерес обобщение полученных результатовна нелинейные системы, в частности, модели уравнения Больцмана с дискретнымвременем, и перенесение условия Штюккельберга–Батищевой–Пирогова [9], [12],[13], [35], [36], [40] на дискретное время.В работах А. Пуанкаре [41], В.В. Козлова [32] и Д.В. Трещева [33]рассматривается новая форма H -теоремы. Она справедлива для уравненияЛиувилля и их обобщений [3], [11], [15], [32], [33], [41], [§§ 1, 3 и 4 настоящейглавы].

Характеристики

Список файлов диссертации

Инварианты и дискретизация кинетических уравнений Больцмана и Лиувилля
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее