Диссертация (1137401), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Экстремаль Больцмана исреднее по Чезаро определяется этими законами сохранения.При переходе от простого числа n к произвольному наблюдается переходот малой теоремы Ферма: 2 p 1  1mod p для любого простого p  2 , к теоремеЭйлера: 2 s   1mod s для нечетного s .

Например, если взять s  p 2 ( p  2 ), то s   p p  1 , и 2 p  p 1  1mod p 2 . Откуда 2 p  2 p mod p2 , что мы и наблюдали в2примерах.Напрашивается следующее обобщение: переход от группы второгопорядка к произвольной (по количеству цветов шаров). На основе такихобобщений можно построить реалистические модели уравнений переноса илиуравнений Больцмана, что сейчас весьма актуально. Сведения о числе законовсохранения связаны с принципами консервативности, и также актуальны [1], [12],[13], [20], [21], [22], [28], [46], [47], [48], [50], [53], [54], [60], [62].90Сдругойстороны,проясняетсяобщематематическаяважностьпространства линейных законов сохранения: для любой нелинейной системыдифференциальных уравнений можно перейти к уравнению Лиувилля, длякоторого это пространство дает основную информацию о его асимптотическихсвойствах.§ 4.

Вариационный принцип для уравнения ЛиувилляРассмотрим систему n обыкновенных дифференциальных уравнений:dx dt  vx  .x  x1 , x 2 ,, x n  ,Здесьvx   v1 x , v 2 x ,, v n x  ,(3.49)vi x –непрерывнодифференцируемые функции.Рассмотрим уравнение неразрывности или уравнение Лиувилля для этойсистемы:f divfvx   0 .t(3.50)Пусть решение системы (3.49) существует при всех временах (т.е. вцелом).Если она бездивергентна: divvx  0 , то решение уравнения (3.50) можнозаписать в виде f t , x   f 0, g t x  , где g t x  – сдвиг точки x за время t в силусистемы (3.49), a g t x  – обратное преобразование.

Определим временныесредние или средние по Чезаро решения уравнения (3.50) формулойf T x  T1f t , x dt .T 0Если же divvx  0 , но имеется не обращающееся в ноль стационарноерешение  x  уравнения (3.50): divvx   0 , то непосредственной подстановкойпроверяется, что (3.50) равносильно уравнению бездивергентного вида:F F   vx ,0,t x (3.51)F f .(3.52)где91Решение уравнения (3.51) можно записать в видеF t , x   F 0, g t x  .(3.53)Соответственно временные средние решения уравнения (3.51) определяютсяформулойT1FT x    F t , x dt .T0Стохастическая эргодическая теорема Неймана [42] утверждает, чтопредел F C (Cesaro) функций FT при T , стремящемся к бесконечности, существуетв L2 R n  при любых начальных данных из этого же пространства.Отметим, что в случае бездивергентных систем в качестве «затравочного»стационара  можно брать  const  1 .Определим энтропию формулой S h   hxln hxdx как функционал нанеотрицательных функциях hx  из L2 R n .

Такие функционалы сохраняются дляуравнения (3.50) в бездивергентном случае. Однако в работе Пуанкаре [41]обсуждался вопрос о росте энтропии для предельной функции на частномпримере бесстолкновительного газа. В.В. Козловым и Д.В.

Трещевым былодоказано обобщение этого факта на случай произвольной гамильтоновой системы[32], [33], т.е. что энтропия временного среднего не меньше, чем энтропияначального распределения для уравнений (3.50). В [15] было показано, что вбездивергентном случае решение уравнения (3.50) сходится «туда, куда надо» –временные средние определяются условным принципом максимума энтропии(принципом Больцмана), и вместо стандартной энтропии: S h   hxln hxdx ,можно брать вогнутые функционалы: S h    hxdx , где  – строго вогнутаяфункция.

Первые попытки применить принцип Больцмана в этой ситуациисодержатся в [13]. Здесь мы будем обобщать результат работы [15] на случай,когда дивергенция необязательно равна нулю.В качестве энтропии для (3.51) требуется строго вогнутый функционал, неубывающий на решениях уравнения (3.51). Если  x  положительно для всех x , тоэнтропией для (3.51) является функционал92S3.51 h    x hxdx(3.54)на положительных функциях hx  из L2 R n , где  – строго вогнутая функция.Действительно, он не убывает на решениях уравнения (3.51):dS3.51 F F F   F     F dx     F  v,dx      v,dx dttx  x   div xv F dx   div xv  F dx   div xv F dx .Во многих случаях это выражение оказывается нулевым [12], [13].Т.к.

при подстановке F  f  в (3.51) получается уравнение равносильное(3.50), то энтропией для (3.50) являетсяS3.50   f      f  dx .(3.55)Итак, мы видим, что форма относительной энтропии (3.55) для уравненияЛиувилля (имеющего положительное стационарное решение) распространяется ина его дискретные аналоги – марковские процессы и марковские цепи, имеющиеположительное стационарное решение: см. формула (3.11).В рассматриваемом случаепроще всего результатполучается вгильбертовом пространстве  L2 Rn  со скалярным произведением:g , h g x hx dx . x RnЭто пространство функций hx  таких, что функцият.е.

существует интеграл h22Lh 2 x интегрируема по Лебегу, x h 2 x   x dx , который даѐт квадрат нормы функцииRn hx  в  L2 Rn .ОпределимпространствоI  L2 Rn линейныхзаконовсохраненияуравнения неразрывности (3.50) как пространство линейных функционалов,сохраняющихся в силу (3.50):I  q L2 Rn : qx, f t, x  const – скалярноепроизведение не зависит от времени на решениях уравнения Лиувилля.93Определим множество всех неотрицательных функций из  L2 Rn  с теми жесамыми константами линейных законов сохранения, что и начальные данные:LI , f 0, x  h L2 Rn , h  0 : qx, hx  f 0, x  0 q  I .Функцию из пространстваL2 Rn  , на которой достигается максимумэнтропии (3.55) при условии, что постоянные всех линейных законов сохраненияфиксированыпоначальнымнеотрицательности функций:f B x   argsuphL  I , f 0 , x данным,suphL  I , f 0 , x ипривыполненииусловияS3.50  h  , назовем экстремалью по Больцману:S3.50  h  .СформулируемобобщениетеоремыВ.В.Веденяпина2008года.Рассмотрим задачу Коши для уравнения Лиувилля (3.50) с положительныминачальными данными f 0, x  из  L2 .Теорема 3.4.

Пусть на множестве, где постоянные всех линейных законовсохранения фиксированы по начальным данным, т.е. на множестве LI , f 0, x  ,энтропия S непрерывна, ограничена сверху, иhlim2 n  L  R  S3.50  h    .hL  I , f 0 , x Тогда 1) экстремаль Больцмана существует и единственна на множествеLI , f 0, x  , 2) среднее по Чезаро и экстремаль Больцмана совпадают:f C x   f B x  .Доказательство.Норма, порождаемая скалярным произведением гильбертова пространстваL2 Rn  получается, если взять корень из "минус энтропии (3.55)'' при  h   h 2 .

Всилу того, что энтропия сохраняется, эта норма также сохраняется на решениях,т.е. при действии оператораf t , x   x  g  t x f 0, g  t x  .94Значит, это оператор, действуя на функцию из  L2 Rn  , снова дает функцию изL2 Rn  , и его норма вL2 Rn  равна единице. Применив теорему из [13] или [62]или теорему 3.3 для этого линейного оператора, получаем теорему 3.4.Приведем формулу для явного вида экстремали по Больцману. Сначалаведемпонятиефункциональногобазисавнекоторомподпространствепространства  L2 Rn  .Определение.пространстваФункциональнымL2 Rn будембазисомназывать qx   q1 x , q2 x ,, qk x  , qi x M  L2 RnвподпространствеконечныйнаборMфункций:для всех i  1,2,, k , такой, что каждаяфункция g x  из пространства M : g x M  L2 Rn  , выражается через некоторуюфункцию q qq с зависимостью вида  1 , 2 ,, k  от этих k  функциональногобазисаистационарногорешенияэлементов,т.е. q x q xq x g x   x  1 , 2 ,, k  . x   x  xПусть выполнены условия теоремы 3.4 и существует функциональныйбазис гладких линейных законов сохранения, т.е.

функциональный базис из kфункций: qx   q1 x , q2 x ,, qk x , в пространстве линейных законов сохраненияI  L2 Rn  ,причем qi x   x   C 1 R nдля всехi  1,2,, k .Тогда экстремальБольцмана (которая существует, единственна и совпадает со средним по Чезаро всилу теоремы 3.4) имеет вид:f B x где1 x f 0, qx  x, ψ J qx  x, ψ dψ .N xN x     qx   x , ψ J qx   x , ψ dψ ,ψ x    1 x , 2 x ,, n k x – гладкиекоординаты на множествах qx  x  const , т.е.  i x   C1 R n  для всех i  1,2,, n  k ,Причем совокупность q  , ψ  дает гладкую систему координат в R n , J q  , ψ  –якобиан перехода к этой системе координат. Начальные данные и стационарноерешение  x  под интегралами выражены через координаты q  , ψ  .95Отметим, что доказанная теорема справедлива и для чезаровских среднихпри времени, стремящемся к   – это обобщение результатов из [21].Примеры, в том числе, показывающие существенность условия теоремы,приведены в [15] для бездивергентного случая.В [13, стр.

61–65] рассматривается уравнение Лиувилля для случая, когдатраекториямидинамическойсистемыявляютсяуравнениягеодезическихриманова многообразия. Пишутся уравнения Эйлера–Лагранжа для случая, когдадействие есть длина кривой:многообразия,x  Rn ,аg ij x g ij x i x j dt , где–n2g ij dxi dx j – метрика римановафункций. Уравнение для функциираспределения по пространству и скоростям оказываются, вообще говоря, сдивергенцией,отличнойотнуля.Переходкбездивергентномувидуосуществляется двумя способами. Первый способ – это переход к переменнымкоордината–импульс. Там же показано, что этот способ обосновывается тем, чтодля любой гамильтоновой системы дивергенция равна нулю.

Характеристики

Список файлов диссертации