Диссертация (1137401), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Будемпредполагать, что областью определения функции Gf  является M . Тогда иобластью определения H f  , задаваемой равенством (3.26), будет множество M .Для уравнений химической кинетики задача решается в положительном конусе:f  Rn: i f i  0 . И уже здесь мы сталкиваемся с тем, что Gf  может быть недифференцируема (как на границе положительного конуса в случае химическойкинетики), но при этом условиечастности,dHdtdH 0 вдоль решений системы выполняется (вdt~может обращается в   ). Поэтому обозначим через Mподмножество точек множества M , в которых определен и непрерывен G .

И дляпростоты изложения будем считать, что в остальных точках множества Mвыполняется строгое неравенствоdH 0 . В частности, для химической кинетикиdtэто означает, что в качестве M мы берем положительный конус без нуля: 0  R n . ВнулеdH 0 , а рассмотрение его элементарно, поскольку он определяет одноdtстационарное решение. Сделанное допущение позволяет считать, что равенствоdH 0 достигается только при условии β  α, Gf   Gξ   0 .dtОбобщение условия динамического равновесия на случай систем (3.24).Пусть существует вектор ξ такой, что Gξ  определен, и ξ является решениемсистемы уравнений:α , G ξ β, G ξ  , K e K eαβββα(3.27)βздесь α такие, что α, β    с некоторым β .

Тогда будем говорить, что для системы(3.24) выполняется обобщение условия динамического равновесия.Докажем, что в этом случае функционал (3.26) является невозрастающим68Kдля системы (3.24). Из (3.27) имеем, чтоβравенства на e, суммируяα, G f α,β K α,β βαe  K αβ eβ  α, G ξ  .Умножая этиβих по всем α и меняя α и β местами в левойK части равенства, получим:αββαe   K e β  α, G ξ e α, G f  . β, G f βαα,β Поэтомуe β, G f   G ξ    K e β, G ξ e α, G f   G ξ  , или β, G ξ βαα,β K α,β βαee α, G f   G ξ eβ, G ξ u1  0 ,(3.28)где u  β  α, Gf   Gξ  .

Имеем, чтоK α,β βαdH f  d G f   G ξ , f dtdtee β, G f   G ξ β  α, Gf   Gξ  β, G ξ K α,β βαee α, G f   G ξ e u  eβ, G ξ uu(3.29) 1  0.Здесь мы один раз поменяли α и β местами в (3.24), а потом воспользовалисьусловием (3.27), прибавив нулевое слагаемое (3.28). Неравенство (3.29)справедливо, поскольку eu u  eu  1  0 , где равенство достигается при u  0 .Условие динамического равновесия возникает у Штюккельберга (E.C.G.Stückelberg, 1952) для кинетического уравнения Больцмана [35, формула (2,9) настр. 21]: w, ; ,  dd   w,  ; , dd ,11111(3.30)1где символом  обозначается совокупность всех переменных, от которых зависитфункция распределения, за исключением координат молекулы как целого ивремени t , w, 1; , 1  есть функция всех перечисленных в ней аргументов,определяемых столкновением с переходом , 1  , 1 , такая, что отношениеw, 1; , 1 dd1кабсолютнойвеличинеотносительнойскоростисталкивающихся молекул имеет размерность площади и представляет собойэффективное сечение столкновений.

Возможность преобразования интеграластолкновений для уравнения Больцмана с помощью (3.30) и была указанаШтюккельбергом.Адляхимическойкинетикиусловиединамического69равновесия формулируется и исследуется в [9], [12], [13], [36], [40].

Его такженазывают условием Штюккельберга–Батищевой–Пирогова [11], [13], [27], [35],[36], [40].Для дальнейших результатов потребуем, чтобы множество M быловыпуклым, и чтобы функция Gf  была строго выпуклой на M , тогда и функцияH f  будет строго выпуклой на M .~ξM ,ЕслитовекторноеH f   Gf   Gξ   xуравнениенанеизвестный вектор f определяет f как неявную вектор-функцию G ξ   x :~f   Gξ   x  . Если ξ  int M , то в силу непрерывности и строгой монотонностифункцийG f  G ξ ~по f i 0  int H M , т.е.

существует число Rξ   0 такое, чтоf i i обратная функция f   Gξ   x  определена при всех x таких, что x  Rξ .H f    .Пусть если множество M неограниченно, то flim f MТеорема 3.1. Пусть для системы (3.23) коэффициенты Kβα таковы, что~существует хотя бы одно решение ξ  int M системы уравнений (3.25).Тогда:dH 0 .

Всеdta) H-функция (3.26) не возрастает на решениях системы (3.23):стационарные решения системы (3.23) удовлетворяют равенствам (3.25);б) система (3.23) имеет n  rзаконов сохранения вида  f t   Akiki const( k  1,, n  r ), где r – размерность линейной оболочки векторов α  β (вектораБольцмана–Орлова–Мозера–Брюно [10], [24], [37]), а вектора μ k ортогональнывсем α  β :  kii i   0 . Стационарное решение системы (3.23) единственно,если зафиксировать все постоянные Ak этих законов сохранения, и даетсяформулойn rk k f 0    Gξ    μ   ,k 1где k определяются значениями Ak ;(3.31)70в) такое стационарное решение существует, если Ak определяются по начальномуусловию f 0  M , Ak   ik fi 0 .

Решение f t  с этим начальным условиемсуществует при всех t  0 , единственно и стремится к стационарному решению(3.31).Доказательство.(а) То, что для Н-функции (3.26) справедливо неравенствоdH 0 наdtрешениях системы (3.23), было показано ранее, причем равенство достигалосьпри тех f0 , при которыхα  β, Gf0   α  β, Gξ  .(3.32)Из (3.32) следует, что f0 удовлетворяет тому же условию (3.25), что и ξ . ПоэтомуусловиеdH 0 выполняется только в стационарных точках.dt(б) Условие ортогональности μ всем α  β является необходимым идостаточным условием того, что функционал  f t i iесть закон сохранения.Достаточность получается непосредственно из (3.23):dα , G f i f i   μ, β  α  βα f K βα e.dtα,β Докажем сначала необходимость для всех μ таких, что μ  Rξ . Сделаемпреобразование, как при доказательстве неравенстваdH 0 , тогдаdtd1α , G ξ  α , G f   G ξ β, G f   G ξ  .i f i   μ, β  α  βα f K βα eeedt2 α,β Возьмем f   Gξ   μ  .

Тогда Gf   Gξ   μ , иd i fi  0 , только когдаdtμ, α  β  0 .Произвольный ненулевой вектор μ из R n можно представить в виде:μ  λ , где   R , а вектор λ такой, что λ  Rξ  . Тогдаddi f i    i f i . Ноdtdtправая часть равна нулю, только если λ, α  β   0 , что равносильно условиюμ, α  β  0 . Таким образом, необходимость доказана.71Из (3.32) получаем, что вектор G f0   G ξ  ортогонален всем α  β ,следовательно, формула (3.31) верна для любого стационарного решения системы(3.23) с некоторыми постоянными k .

Это условие в совокупности с линейнымизаконами сохранения  f t   Aki ik const ( k  1,, n  r ) есть условие того, чтоnrk 1 i 1nточка f 0 , λ  является стационарной точкой функции Lf , λ   H f    k   ik fi  Ak  .Такая стационарная точка единственна, что следует из единственностистационарной точки у строго выпуклой функции H f  на выпуклом множестве,являющемся пересечением выпуклого множества M и множеств, определяемыхлинейнымизаконамисохранения:  f t   Aki ik const( k  1,, n  r ).Этастационарная точка определяется единственным образом по постоянным Ak , акоэффициенты k – по этой стационарной точке. Поэтому коэффициенты kопределяются единственным образом по постоянным Ak , и они могут бытьнайдены из системы уравненийLf 0 , λ Lf 0 , λ 0, 0.λf(в) Решение уравнения (3.23) существует для любых начальных данныхf 0  M , так как lim H f    , и, следовательно, множество точек f  M таких,f  f Mчтоkifi  Ak , где Ak   ik fi 0 и H f   H f 0 , компактно.

Вследствие строгойвыпуклостиНнаэтомвыпукломкомпактноммножествесуществуетединственная точка минимума функции Н на этом множестве. В нейdH 0 и онаdtопределяет стационарное решение.Решение стремится к этой точке минимума Н-функции вследствиестрогости неравенстваdH 0 в других точках.dtТеорема доказана.Теорема 3.2. Пусть для системы (3.24) коэффициенты Kβα таковы, что~существует хотя бы одно решение ξ  int M системы уравнений (3.27).Тогда:72a) H-функция (3.26) не возрастает на решениях системы (3.24):dH 0 . Всеdtстационарные решения системы (3.24) удовлетворяют равенствам (3.27);б) система (3.24) имеет n  rзаконов сохранения вида  f t   Aki ik const( k  1,,n  r ), где r – размерность линейной оболочки векторов α  β , а вектора μ kортогональны всем α  β :  kii i   0 .

Стационарное решение системы (3.24)единственно, если зафиксировать все постоянные Ak этих законов сохранения, идается формулой (3.31):n rGξμk  k  ,f0k 1где k определяются значениями Ak ;в) такое стационарное решение существует, если Ak определяются по начальномуусловию f 0  M , Ak   ik fi 0 . Решение f t  с этим начальным условиемсуществует при всех t  0 , единственно и стремится к стационарному решению(3.31).Теорема 3.2 доказывается точно так же, как и теорема 3.1.Полученные теоремы являются аналогами и обобщениями теоремы в [9],[12], [13], которая рассматривалась там для уравнений химической кинетики,причем симметричный случай настоящей работы:  βα f Kβα   αβ f Kαβ , рассмотрен в[12], [13].Если в работе [39] в качестве выпуклой функции P, Q   P  Q K α,β αβαβe   , β, P  α , QP, Qвзятьа в качестве строго вогнутой S f  взятьS f   Gf  , то полученные там результаты для химической кинетики будутсправедливы и для системы (3.23) (и для системы (3.24) как частного случая(3.23)), если  βα f    αβ f .

При этом непосредственным дифференцированиемдоказывается, что системаdf i  Q P, Q    P  P, Q  P 0 , i  1,2,, n , совпадает сdtQ S  f системой (3.23). В [39] не используются предположения ни о детальнойсбалансированности системы, ни о динамическом равновесии и доказывается, что73при фиксированных постоянных линейных законов сохранения стационарноерешение всегда единственно и существует, если выполняется наложенное тамусловие на функцию S f  : при любом X  R n существует решение задачи~S f   X, f   max , где f принадлежит области M при условии, что постоянныезаконов сохранения фиксированы. Таким образом, в рамках работы [39] вопрос осуществовании стационарного решения остается открытым из-за того, что этоусловие не выполняется в примерах, приведенных в настоящем параграфе,поскольку S f  не пробегает R n , когда f принадлежит области M при условии,~что постоянные законов сохранения фиксированы.

Характеристики

Список файлов диссертации