Диссертация (1137401), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Также в [39] приводитсякритерий устойчивости стационарного решения без указания классов систем, длякоторых оно выполняется. В настоящей работе такие классы систем выделяются,и для них выписывается H-функция.Относительная энтропия в конечномерном нелинейном случае дляобобщений уравнений химической кинетики имеет вид (3.26) и уже не содержитпроизвольной строго выпуклой функции, как для линейного случая: дляуравнения Лиувилля и марковских процессов и цепей (функции Моримото).Отметим нелинейные системы, для которых H-функция H   i  fi i  , где  i –iположительное стационарное решение,  – произвольная строго выпуклаяфункция, не возрастает:df imm  K i j f j  K ij f i , i  1,2,  , n ,dtjгде m – любое положительное число.

H-функция не убывает, если выполняетсяусловие детального баланса: существует положительное решение системы:K i j  j  K ij  i , i, j  1,2, , n . Действительно,mmmm fi  j m f i  j m   f j   f i  dHi m    K i f j  K j f i     K i  j        dt i, ji, j i  i  j   i  mm f i   j m   f j   f i  1   f i            K i  j       0 .  2 i , j   i   i   j   i  74Здесь мы воспользовались условием детального баланса, и затем поменяли подзнаком суммирования индексы i и j местами, при этом снова воспользовавшисьим.Если Gf  – строго выпуклая функция, то при выполнении остальныхусловий теорема 3.1 гарантирует существование и единственность стационарногорешенияпрификсированныхзначенияхпостоянныхлинейныхзаконовсохранения, а также сходимость решений к стационарному решению для системвида (3.23), и в частности, для систем в примерах 1 и 2: (3.19) и (3.22).Применимость теоремы 3.1 для случая квантовых систем в примерах 1 и 2: (3.18)и (3.21), также следует из рассмотрения следующих примеров, более общих, чемэти две конкретные системы.Пример 3.

Дискретные модели квантовых кинетических уравнений(уравнений Юлинга–Уленбека).Пространственно однородная версия дискретной модели квантовогокинетического уравнения (1), (9) является системой вида (3.23), если взятьfiG f  ln, множество индексов  , содержащим только пары векторов видаf i1  f ie e j , e k  el  иiek el , ei  e j  , гдеei– единичный вектор (у которого i -якомпонента равна единице, а остальные равны нулю) иi, j , k , l  S , ee ee f    klij 1  f i 1  f j 1  f k 1  f l  и Kee ee  1 .klklijijПример 4. Квантовый марковский процесс (квантовое случайноеблуждание).Он описывается системой уравнений вида:df m  1  f m 1  f j  K mj h j  K mj hm ,dtjгде m  1,, n , hm  f m 1  f m  .Квантовое случайное блуждание является системой вида (3.23), если взятьfiG f  ln, множество индексов  , содержащим только пары векторов видаf i1  f ie, e j  ,  emj f   1  f m  1  f j и Ke mj  Kmj .eme75Вэтихпримерахnf1  f iH f     f i ln i   1 1  f i lni1   ii 1 при  0,иn f i exp x iдля i  1,2, , n .H f    f i  ln i  1 при   0 .

 i G ξ   x  1   i   i exp x ii 1 iРассмотрим, чему для этих примеров равны введенные при рассмотрении~теоремы 1 множества. Для   0 M  f  R n : i fi  0\ 0 , M  f  Rn : i fi  0. Для~  0 M  f  R n : i 0  f i  1  \ 0, 1  1,1,,1 , M  f  Rn : i 0  fi  1  .Условие теоремы 3.1 для примера 3 выполняется, поскольку в качестве ξ~можно взять любой вектор из int M с равными компонентами.Условие теоремы 3.1 для примера 4 состоит в том, что требуется, чтобы~существовал вектор ξ  int M такой, чтоK mj  j 1   j   K mj  m 1   m  .(3.33)Выполнение этого условия в случае симметричных коэффициентов очевидно.Итак, обобщение теорем из [9], [12], [13] в виде теоремы 3.1, оказываетсясущественным для квантового марковского процесса в случае несимметричныхконстант реакций (когда K mj  K mj ).Дискретные модели квантовых кинетических уравнений уже используютсядля исследования дисперсионных соотношений в Бозе-газах [58].

При этом важноиспользовать модели без лишних инвариантов. В силу теоремы 3.1 задача олишних законах сохранения сводится к исследованию пространства векторов μ ,ортогональных всем векторам столкновений α  β . Для дискретных моделейуравнения Больцмана, в том числе и для случая смесей частиц, отличающихся помассе, эта задача хорошо исследована. А значит, она исследована и длядискретных моделей уравнений Юлинга–Уленбека для смесей частиц, посколькувектора столкновений у обоих видов дискретных моделей одни и те же.В [2, глава 2 настоящей работы] исследуется вычислительная сложностьзадачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц с помощьюсимметричных дискретных моделей уравнения Больцмана. Эти результаты безкаких-либо изменений переносятся и на случай моделирования квантовых76кинетических уравнений для смесей с помощью их дискретных моделей.Проблема построения Н-функции (т.е.

убывающего функционала сдоказательством Н-теоремы) для квантовых случайных блужданий, для которыхне выполняется условие детального баланса (3.33), остается открытой.§ 3. Временные средние и экстремали Больцмана для дискретного уравненияЛиувилля и круговой модели Марка КацаПринцип максимума энтропии при условии линейных законов сохранениядает экстремали по Больцману [51]. В стохастической эргодической теореме [42]доказывается существование временных средних или средних по Чезаро. В [15]доказывается совпадение этих величин – временных средних с экстремалями поБольцману. В этом и следующем параграфе настоящей главы обсуждаютсяпримеры и обобщения, выходящие за рамки работы [15].Пусть U – линейный оператор в гильбертовом пространстве X , и норма Uравна единице: U  1 .

Тогда справедлива теорема, называемая стохастическойэргодической теоремой фон Неймана–Рисса [42]. Для каждого z из X временныесредниеPnm  z   n  m 1n 1Ukzk mпри n  m , стремящемся к бесконечности, сходятся сильно, т.е.

по норме,порождаемой скалярным произведением гильбертова пространствеX,кнекоторому элементу P C  P C z  . Этот элемент инвариантен относительно U : U P C  P C . Эта теорема и называется стохастической эргодической теоремой. ОнаPnm z  .определяет временные средние или средние по Чезаро PC  PC z   n limm  Сформулируем и докажем уточнение и усовершенствование теоремы из[3], [15]. Здесь мы откажемся от условия U  1 , которое присутствовало встохастической эргодической теореме фон Неймана–Рисса и в теореме из [3], [15].Определим экстремаль по Больцману как элемент P B , где энтропиядостигает условного максимума при условии, что постоянные линейных77инвариантов фиксированы.

Более точно, определим множество линейных законовсохранения I  X , u  I , еслиUx , u   x, u (3.34)при всех x  X . Пусть для оператора U существует аналог энтропии, т.е. естьстрого вогнутый функционал S x  , не убывающий при действии U :S Ux   S x  .(3.35)Пусть X z – это множество всех элементов из X с теми же самыми константамилинейных законов сохранения, что и z : X z  x  X : x  z,u   0u  I . Рассмотримусловную экстремальную задачу: найти, где достигается sup S x  при условии, чтопостоянные всех линейных законов сохранения фиксированы по начальнымданным (по элементу z ), т.е.

при условии x  X z . Аргумент функционала S x  , прикотором достигается этот условный экстремум, назовем экстремалью поБольцману P B z  : P B z   arg sup S  x  .x X zВоспроизведѐм следующую теорему из [15].Теорема 3.3. Пусть функционал S непрерывен и ограничен сверху на X z ,и если X z неограниченно, тоlim S x    .(3.36)x  x X zТогда:1) экстремаль по Больцману и среднее по Чезаро существуют и единственны наXz;2) среднее по Чезаро совпадает с экстремалью по Больцману:P C z   P B z  .(3.37)Доказательство. Следуя [42], определим в X два подпространства.

Одноиз них, Y , пусть состоит из элементовx  Uxи их пределов. Другоеподпространство Z неподвижных элементов оператора U * x2  Z : U * x2  x2 . Тамже доказывается, что X есть прямая сумма этих пространств. Действительно,прямоизопределениясопряженногооператоравытекаеттождествоx  Ux , y   x, y  U * y  , а из него в свою очередь следует, что множество элементов,78ортогональных всем x  Ux , совпадает с множеством элементов, инвариантныхотносительноU*,иследовательно,подпространстваYиZслужатортогональными дополнениями друг друга.

Из (3.35) и (3.36) норма элементовU k z для всеx k  0,1,2, ограничена сверху некоторой постоянной, и поэтомуPC  y   0 при y  Y , как в [42]. Поэтому все точки X z имеют, как и Y , одно и то жевременное среднее (в силу линейности оператора U ), а значит, в частности,P C z   P C P B z  ,(3.38)и X z представляет собой замкнутое линейное многообразие (поскольку Yзамкнуто).Любой строго вогнутый функционал имеет на замкнутом линейноммногообразии банахова пространства единственный максимум, если выполняетсяусловие (3.36). Поэтому первый пункт доказан.ПосколькуPnm  z   X z ,тоЗначит, S P B z   S P C z . Из-заP C z   X z .единственности экстремали по Больцману нам осталось доказать равенство в этомнеравенстве.

Характеристики

Список файлов диссертации