Диссертация (1137401), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Для наименьшего размера d-мерных нетривиальных моделейс отношением масс M/m имеют место следующие оценки:S1 M m M m1 ,2 M m  2K 2(2.8)49где 2K – ближайшее к M/m четное целое число, не равное ему (если существуетдва таких числа, то мы можем взять любое из них),S1 M m M m 1,M m  2K  1(2.9)где 2K+1 – ближайшее к M/m нечетное целое число, не равное ему (еслисуществует два таких числа, то мы можем взять любое из них).Оценки (2.8) и (2.9) доказываются на основании неравенств (2.6) и (2.7)аналогично доказательству оценок (2.4) и (2.5).Неравенство (2.8) всегда не хуже, чем (2.4), а (2.9) всегда не менееэффективна, чем (2.5).Оценка(2.8)нехуже,чемнеравенство(2.9),еслиM m   2k  1 2k  1 3 ,2k   2k ,2k  1 3 .

А оценка (2.9) не менее эффективна, чемk 1неравенство (2.8), если M m  1, 5 3   2k  2k  1  2 3 , 2k  1  2 3 .k 1Пример 6. Если мы возьмем M/m=1,0014 для нейтронов и протонов, тогдамы не сможем построить одномерную нетривиальную ДМУБ размера, меньшего716, а если мы предположим, что M/m=1,001, тогда мы не сможем получитьодномерную нетривиальную модель размера, не большего 1002.В дополнение к оценкам (2.6)–(2.9) мы будем строить одномерные ДМУБ,стараясь создавать модели с минимально возможным размером.Пример 7 (оптимальность оценок (2.6) и (2.7)). Рассмотрим модели вдополнение к неравенствам (2.6) и (2.7). Мы будем обсуждать два случая.Случай 1. N(M/m) и D(M/m) нечетные.Согласно(8)a  N M m  DM m 2 ,мыможемтогдавзятьp  N M m  1 2 ,q  DM m  1 2 ,p=(N(M/m)-1)/2,q=(D(M/m)+1)/2,иДМУБполучается добавлением к этому столкновению симметричного к нему.

Размертакой модели равен p  N M m 2  1 2 .Случай 2. Одно из натуральных чисел N(M/m) и D(M/m) является четным.50В соответствии с (8) мы можем взятьa=N(M/m)-D(M/m),тогдаq  DM m   1 ,p  N M m  1 , p=N(M/m)-1,q=D(M/m)+1иДМУБстроитсядобавлением к этому столкновению симметричного к нему. Размер этой моделиравен p  N M m  1 .Таким образом, согласно (2.6) и (2.7) доказана следующаяТеорема 2.6.

Пусть N(M/m) и D(M/m) нечетные. ТогдаS1 M m  N M m 2  1 2 .Пусть одно из этих натуральных чисел четное. ТогдаS1 M m  N M m  1 .ИдлялюбогоотношениямассM/mмысоздалиодномернуюнетривиальную ДМУБ наименьшего размера, который мы обозначали черезS1 M m  .В примере 7 модель с N(M/m)=3 и D(M/m)=1, т.е. ДМУБ с отношениеммасс M/m=3, является моделью Амосова–Веденяпина без лишних законовсохранения [1], [12], [13], [20], [21], [§ 1 первой главы настоящей работы]. Изнашего рассмотрения следует, что эта модель является моделью минимальногоразмера для отношения масс M/m=3.Пример 8 (оптимальность оценок (2.8) и (2.9)).

Рассмотрим модели вдополнение к оценкам (2.8) и (2.9).Возьмем q   2~s , q=0, a  I  1~s  1 , где ~s  Z \ 0, I  N , тогда p  I  1~s  1 ,s . Если M m  I  1 ~s для некоторых I, ~p   a , и в соответствии с (8) M m  I  1 ~s,то модель стоится добавлением симметричного столкновения к исходному.Введем множество LI   ~s  Z \ 0: I  1 ~s  1. L1  N , L2  Z \  1,0 , Li   Z \ 0при i  N \ 1,2. Для каждого I введем функцию ~sI M m , определяемую равенствомM m  I 1 ~s , с множеством значений LI  . Область определения этой функцииобозначим через T I  .

Функция ~sI M m однозначно определяется формулой~s I M m  1 M m  I  , где M m  T I  . Таким образом, значение функции ~sI M m  вточке M m  T I  является параметром ~s в координатах векторов значенийимпульсов в исходном столкновении ДМУБ для данного I с отношением масс51M/m. Для каждого I введем функцию s I M m , где M m  T I  , такую, что значениефункции sI M m  в точке M m  T I  является размером обсуждаемой ДМУБ дляданного I с отношением масс M/m.

Т.к. ~s I M m   при M/m→I, где M m  T I  ,то для размера исследуемой ДМУБ sI M m имеем: s I M m ~ I 1 ~s I M m приM/m→I, где M m  T I  . Следовательно, s I M m ~M m 1 M mпри M/m→I, гдеM m M mIM m  T I  . Если I является четным числом, то закон роста sI M m  при M/m→I,где M m  T I  , отличается от закона роста в правой части (2.8) множителемMm  1 2M m . А если I является нечетным числом, то закон роста sI M m  приM/m→I, где M m  T I  , отличается от закона роста в правой части (2.9)множителем M m  1 M m .Также были найдены некоторые другие оценки, которые могут бытьполучены из законов сохранения, но для любой из них и для любого значенияM/m существует хотя бы одна не менее эффективная оценка из множестварассмотренных нами.Если мы имеем больше двух компонент смеси с массами M1  M 2    M r ,тогда очевидно, что наименьший размер d-мерной нетривиальной модели стакими массами будет равен max S d M i M j  : i, j  1,2,, r; i  j.В настоящей главе, в частности, было доказано, что для большогоотношения масс вычислительная сложность очень велика, если мы используемдля моделирования регулярные сетки (количество узлов сетки с увеличением M/mрастет не медленнее, чем как пропорционально M m d 2 , для d≥2).

Были такжепредложены некоторые дискретные модели без лишних инвариантов снерегулярными сетками (―кресты‖), но для них число узлов сетки также растет сувеличением M/m (не медленнее, чем как пропорционально M m 1 2 , для d≥2).Отметим, что в работах [12], [13], [20], [21], [22], [47] были построенымодели без лишних законов сохранения для некоторых отношений масс с малымчислом значений импульсов.

Но в случае произвольного рациональногоотношения масс пока не построено существенно более простых моделей, чем52предложенные в примере 3 (―кресты‖). Таким образом, проблема простыхмоделей для различных M/m находится в процессе развития до сих пор.53Глава 3. Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений,уравнения Лиувилля и их обобщени駧 1 и 3 настоящей главы опубликованы в работе [3], а §§ 2 и 4 в [11].§ 1.

Необратимость и дискретизацияН-теорема впервые была рассмотрена Больцманом в работе ―WeitereStudien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen‖ (1872) [51]. Эту теорему,обосновывающуюсходимостьрешенийуравненийтипаБольцманакмаксвелловскому распределению, Больцман связал с законом возрастанияэнтропии.Первую главу Больцман посвящает уравнению, которое мы сегодняназвали бы пространственно однородным уравнением Больцмана с зависимостьюфункции распределения только от модуля скорости (от квадрата скорости илиэнергии, которую он называет ―живой силой‖). Именно для этого уравненияБольцман доказывает Н-теорему.Вторая глава называется ―Замена интегралов суммами‖ – там появляютсяпростейшие дискретные модели уравнения Больцмана.

Одна из них похожа натрехскоростную модель, которую мы бы назвали сейчас моделью Годунова–Султангазина или одномерной моделью Бродуэлла [28].В этой же главе появляется принцип максимума энтропии и объясняется,что стационарное решение можно получать без решения уравнения. Итак,Больцман определяет здесь экстремаль Больцмана для простейшей дискретноймодели.Продолжая линию работ Больцмана, будем стараться расширить классуравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии.

Такая работапроводилась многими учеными в связи с несколькими вопросами. ДоказательствоН-теоремы делает поведение решения уравнения понятным, так как позволяетузнать, куда сходится решение для данного уравнения при времени, стремящемсяк бесконечности. Это можно сделать без решения уравнения на основе принципа54максимумаэнтропии.Н-теоремаобеспечиваетустойчивостьполученныхрешений. Кроме того, не иссякает интерес к пониманию энтропии и ее связям спарадоксами Лошмидта и Цермело–Пуанкаре.Вопрос Лошмидта – как из обратимых уравнений механики получаетсянеобратимость и рост энтропии? Вопрос Цермело – не противоречит ли ростэнтропии теореме о возврате Пуанкаре? Вопросы были обращены к Больцману,давшему в работе [51] доказательство H -теоремы.

Ответом на эти возражениямогло бы служить сравнение разных моделей, которые применяются дляописания поведения большого числа объектов. В частности, сравнить уравнениеЛиувилля с его дискретизацией. Больцман ведет рассуждения с помощьюуравнений типа Больцмана и его дискретных моделей. Одна из простейшихмоделей, которую приводит Больцман, таковаdu1 dt  B u2  u1u3 ,22 du2 dt  2 B u1u3  u2 ,2(3.1)3 du3 dt  B u2  u1u3 .2Доказывается, что функционалEu   u1 ln u1  2u2 ln u2  3u3 ln u3(3.2)убывает в силу системы (3.1):uudE2 B u 2  u1u3 ln 1 23  0 .dtu2Здесь мы воспользовались неравенством(3.3)x  y ln y  0 , причем равенствоxдостигается только при x  y , т.е. равенство в (3.3) достигается только настационарных решениях: u22  u1u3 . Функционал E u  в (3.2) и есть H -функцияБольцмана или энтропия со знаком минус.

После этого делается вывод, чторешения системы сходятся к своему стационарному решению (функционал E u ограничен снизу, и поэтому его значение должно приближаться к минимуму приdE dt  0 ). Больцман использует сохраняющиеся линейные функционалы дляпоиска стационарного решения по начальному условию. В случае уравнения (3.1)это55Au   u1  2u2  3u3  a , Bu   u1  2 2u2  3 3u3  b .(3.4)Отметим, что система (3.1), как и вообще дискретные модели в работе [51],отличаются от уравнений химической кинетики (и от современных общепринятыхдискретных моделейуравненияБольцмана) как формой коэффициентовуравнения, так и формой H-функции. Это связано с тем, что функцияраспределения в [51] зависит от квадрата скорости, а не от скорости илиимпульса.Чтобы определить, к чему сходится произвольное решение уравнения(3.1), надо найти минимум функционала (3.2) при условиях (3.4), где постоянныеaи b находятся из начальных условий.

Это и есть экстремаль Больцмана.Фундаментальность этого понятия Больцман подчеркнул в работе [52].В работе Больцмана [52] из принципа максимума энтропии при фиксацииэнергии и числа частиц получается формула для наиболее вероятногораспределения (теплового равновесия). Эта работа известна «статистикойБольцмана». Но во второй ее главе Больцман старается найти наиболее вероятноераспределение и формулирует для этого следующий вариационный принцип(принцип Больцмана).

Он выписывает три следующих интеграла один поддругим:M    f x ln f x dx ,(3.5)0n   f x dx ,(3.6)0L   xf x dx .(3.7)0Функция распределения f x  есть плотность кинетической энергии x , авыражения (3.5)–(3.7) есть соответственно энтропия с обратным знаком, числочастиц и полная кинетическая энергия.Больцман ищет минимум функционала  f x ln f x  kf x   hxf x dx0(3.8)56с неопределенными множителями Лагранжа k и h .Варьирование этого выражения дает искомое распределениеf x   Ce  hx .(3.9)Получающиеся из этого вариационного принципа (3.8) стационарныерешения (3.9) и есть экстремали Больцмана.

Больцман исследует вторуювариацию, доказывает ее положительность и делает вывод, что это минимумфункционала. Этот прием может быть использован во многих динамическихзадачах, что мы в дальнейшем и продемонстрируем.Рассмотрим систему n обыкновенных дифференциальных уравнений:dx dt  vx  .x  x1 , x 2 ,, x n  ,Здесьvx   v1 x , v 2 x ,, v n x  ,vi x –непрерывнодифференцируемые функции.Рассмотрим уравнение неразрывности или уравнение Лиувилля для этойсистемы:f divvx  f   0 .tНоеслимысмелопоследуемзаБольцманомипопытаемсядискретизировать уравнение Лиувилля, то что мы получим?Оказывается это уравнение марковского процесса или основное уравнениеПаули:df i  K i j f j  K ij f i , i  1,2,  , n ,dtj(3.10)Действительно, уравнение Лиувилля сохраняет положительность, а такжедля него выполняется закон сохранения числа частиц.

Характеристики

Список файлов диссертации