Диссертация (1137401), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Предположим противное, т.е. пусть N M m  и DM m нечетные. Тогда N M m  DM m и N M m  DM m четные, и их разность равначислу 2 DM m  , которое кратно двум, но не кратно четырем. Следовательно,только одно из четных чисел N M m  DM m и N M m  DM m кратно четырем.Поскольку  N  M m   D M m , то либо N   , либо D  будет четным числом. СN M m   D M m другой стороны, числа p   q и p  q нечетные.

Согласно первому уравнению (1.4)получаем противоречие, доказывающее утверждение леммы.В случае (a) законы столкновений (1.4) инвариантны относительнопреобразованияp p   p 2 ,~~ q q   q 2 ,(1.7)которое снова дает целочисленные значения.В случаях (b) и (c) если N M m  имеет ту же четность, что и значенияимпульсов тяжелых частиц, а DM m  имеет ту же четность, что и импульсы30легких частиц, то законы столкновений (1.4) инвариантны относительнопреобразованияp  p    p  N M m 2 ,~~ q q   q  DM m 2 ,(1.8)которое снова дает целочисленные значения.Пусть последовательно возникала либо описанная выше ситуация,приводящаякпреобразованию(1.8),либослучай(a),приводящийкпреобразованию (1.7) до тех пор, пока значения импульсов хотя бы одного извидовчастицпересталибытьчисламиоднойчетности.Обозначимрезультирующую композицию преобразований черезP  P p ,Q  Qq .(1.9)Законы столкновений (1.4) инвариантны относительно преобразований(1.9).

Поэтому мы получим дискретную модель, у которой значения импульсовхотя бы одного из видов частиц не являются числами одной четности. Законысохранения для этой модели являются решениями функционального уравнения: D   Q    N    D   Q    N    Q    Q  ,где   P  Q  D  . Решение  P   A 1P ,  Q   B  1Q уже не совпадает сзаконами сохранения числа частиц, т.е. линейно независимо от стандартныхзаконов сохранения.

В силу того, что P  P p  , Q  Qq  (где P  Q    P  Q  ,Q  P    P  Q  как в (1.4)), это решение дает следующее решение уравнения(1.6):   p   A 1P  p  ,  q   B  1Q q  . A и B определяются по N   и D  , идоказывается линейная независимость полученного закона сохранения отстандартных интегралов так же, как и в случае 2.1.Итак, в силу леммы 2 получаем, что нерассмотренными остаютсяварианты, когда исходная модель является или сводится в результатепреобразований (1.9) к следующим трем возможностям (при условии случая 2теоремы):1) все значения импульсов тяжелых частиц четные, а все значения импульсовлегких частиц нечетные при условии, что N M m  нечетное, а DM m  четное;312) все значения импульсов тяжелых частиц нечетные, а все значения импульсовлегких частиц четные при условии, что N M m  четное, а DM m  нечетное;3) все значения импульсов частиц нечетные при условии, что одно из чиселN M m  или DM m  четное.Если бы удалось доказать, что и в этих случаях нет симметричныхнормальных ДМУБ, то было бы доказано, что гипотеза о единственности моделиАмосова–Веденяпина и модели Монако–Презиозив классе одномерныхсимметричных нормальных дискретных моделей верна.Рассмотрим условие (1.5) для одномерного уравнения Больцмана длясмесей.Пусть   p  и  q  – функции класса C 2 .

Рассмотрим, когда они даютинвариант одномерного уравнения Больцмана, т.е. найдем все решения дляуравнения (1.5) из C 2 .Подставляя (1.4) в (1.5), получаем q     p  q    p     p  q     p   q  .(1.10)Дифференцируя по p , имеем   q     p  q   1      p     p  q     p  .(1.11)Дифференцируя (1.11) оператором 1      p     q  , получаем1     p     p  q   1     p  .(1.12)Откуда следует, что   p  и  q  являются полиномами степени не вышедвух. Это соответствует следующим линейно независимым аддитивным законамсохранения.1)   p    1 ,  q    2 .Подставляя эти выражения в (1.10), получаем, что  1 и  2 любые, чтосоответствует законам сохранения числа частиц для каждого из двух сортов.2)   p    1 p ,  q    2 q .Аналогично, из (1.11), имеем:  1   2 , что соответствует закону сохраненияимпульса.3)   p    1 p 2 ,  q    2 q 2 .32А из (1.12), получаем, что  1  2  1    1     M m , что соответствуетзакону сохранения энергии.Итак, доказана следующаяТеорема 1.1 (об аддитивных инвариантах одномерного уравненияБольцманадлясмесей).двухкомпонентнойУодномерногоуравненияБольцманадлясмеси имеется ровно 4 закона сохранения, а именно,классические инварианты: законы сохранения числа частиц для каждого из двухсортов, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.Эта теорема является аналогом классической теоремы об аддитивныхинвариантах [30], [44].§ 2.

Аппроксимация интеграла столкновений одномерного уравненияБольцмана для смесей дискретной модельюВ работах [1], [19] возникает постановка задачи настоящего параграфа.Теорема об аппроксимации уравнения Больцмана дискретной моделью втрехмерном случае получена Бобылевым, Пальчевским и Шнайдером [49], а в [48]дано ее обобщение на случай смеси. Фактически, теорема Бобылева–Пальчевского–Шнайдера обосновывает применимость дискретных моделей приполучении приближенных результатов для уравнения Больцмана.В настоящем параграфе рассматривается одномерный вариант теоремыБобылева–Пальчевского–Шнайдера.Мы, как и раньше, рассматриваем двухкомпонентную смесь газов смассами молекул M и m , M  m .

Будем считать, что отношение масс молекулрационально (поскольку, как уже отмечалось, только для таких отношений массможнопостроитьнетривиальнуюДМУБ).Рассматриватьбудемтолькостолкновения частиц разных сортов, поскольку вклад столкновений частицодного сорта как в интеграл столкновений, так и в его дискретные аналоги равеннулю. Законы же столкновений частиц разных сортов имеют вид (1.4).33Пусть F t , p, x  – функция распределения частиц массы M , f t , q, x  –функция распределения частиц массы m по координатам x  R и импульсам( p, q  R ) в момент времени t  0 .Будем предполагать, что начальные данные:F 0, p, x f 0, q, x  ,инеотрицательны.

Тогда и в любой момент времени t  0 функции F t , p, x  иf t , q, x  неотрицательны в силу того, что уравнение Больцмана сохраняетположительность. То же самое справедливо и для ДМУБ.Будем считать, что для любых t  0 и x  R функции F t , p, x  и f t , q, x принадлежат классу C  R  , ограничены некоторой константой K  0 :F  p   K , f q   K ,(1.13)а их производные (по импульсам) ограничены некоторой константой K  0 :F  p   K  , f q   K  ,ивненекоторогошаранепревосходят(1.14)некоторогомаксвелловскогораспределения. Последнее означает, что существуют положительные константыR , A и  такие, что t  0 и x  R выполняется f t , q, x   A exp  q  , еслиF t , p, x   A exp  p 2 , если p  R ,(1.15)q  R.(1.16)2Строго говоря, здесь функции распределения вне некоторого шара не превосходятмаксвелловского распределения g v  Aexp  v  vo 2  , которое центрировано, т.е.v0  0 .Но если функция не превосходит некоторого нецентрированногомаксвелловского распределения g v  Aexp  v  vo 2  , то она не превосходитнекоторого центрированного максвелловского распределенияA1 exp  1v 2слюбым 1   , и A1  A1 1  .В одномерном случае интеграл столкновений уравнения Больцмана длятяжелых частиц имеет вид:QF , f  p    dqB u F  p  f q  F  p  f q  ,R(1.17)34где u p qMm– относительная скорость сталкивающихся частиц,  –M mM mприведенная масса, функция Bu   u  u  – ядро интеграла столкновений ссечением столкновений   u   0 .Для легких частиц интеграл столкновений имеет вид:Q f , F q    dpBu  f qF  p  f q F  p .(1.18)RОграничимсятолькоинтеграломстолкновений(1.17),посколькурассмотрение (1.18) полностью аналогично.Будем считать, что функция B u  является непрерывной и строгоположительной всюду, кроме, быть может, точки u  0 , иBu   c1  u (1.19)для некоторой константы c  0 (таким условиям удовлетворяют, например,твердые шары, для которых Bu   c0 u ).

принадлежит классу Гѐльдера степениединица, т.е. u и uBu  u   Bu   H u ,(1.20)где H – некоторая положительная постоянная.Введем обозначения:QR F , f  p   dqBu F  p f q  F  p  f q  ,(1.21)q RQR F , f  p  QF , f  p  QR F , f  p .(1.22)Если p  R , а q  R , то согласно (1.4) p  R , и тогда, используя (1.22), (1.21),(1.17), (1.4), (1.13) и (1.19), получаемQR F , f  p   dqBu F  p f q  F  p f q   dqBu F  p f q   dqBu F  p f q q Rq R KcA  1  u exp  p2 dq  q Rq R 1  u exp q dq  2q R KcA 1 1     1 1 m exp R2   1 1     R 21     1   erfc  R ,235где erfcz  – дополнительный интеграл вероятностей [38], определяющийсяформулой: erfcz  21 2exp  z 2 2z e dt .

Поскольку при z   erfcz  ~  1 2 z , а exp  z t 2(   0 ) убывает быстрее 1 z для любого   0 , то0  QR F , f  p   G  R ,(1.23)F t , p, x   C   R , если p  R .(1.24)где G   0 , и в силу (1.15)В силу (1.23) и (1.24) аппроксимировать дискретной моделью надоинтеграл (1.21) при p  R .Далее предложим дискретную модель.Представим  в виде несократимой дроби:   N   D  .Чтобы из того, что значения импульсов частиц до столкновения: p и q ,принадлежат решетке с постоянным шагом h , следовало бы, что значенияимпульсов частиц после взаимодействия: p и q  , тоже принадлежат сетке,необходимо и достаточно в силу (1.4) взять шаг суммарного импульса s  p  qкратным D h . p  и q  определяются через p и s  p  q согласно (1.4):p  1   s  p,q    s  p.(1.25)Итак, если p  nh , где n Z , и s  kD h , где k  Z , то q  kD   n h , а из (1.25)получаем, что p  k N    D   nh , q   kN   nh .В качестве значений импульсов легких и тяжелых частиц в дискретноймодели надо взять все точки вида mh , где m Z , mh  R , а столкновенияосуществлять (брать сечения ненулевыми), только когда шаг суммарногоимпульса кратен D h .Поэтому сделаем замену переменных в (1.21): s  p  q , тогда q  s  p иQR F , f  p   dsBu F  p f q  F  p  f s  p  ,(1.26)S  pгдеup s p,Mm(1.27)36S  p  s : s  p  R   p  R, p  R .(1.28)И будем аппроксимировать интеграл (1.21), записанный в виде (1.26), врамках предложенной ДМУБ квадратурной формулой прямоугольников, которуюи рассмотрим далее.Пусть N p – такое целое число, что точка N p h является ближайшей точкойрешетки к точке p при условии, что N p h  R .

Тогда N p h  p  h .Функционал Qh F , f  p  будем называть дискретным аналогом интеграластолкновений (1.17):Qh F , f  p   N h kD   N h D hBMm   pDh k S N p hp F k  N    D   N p h  f  kN   N p h   F N p h  f kD   N p h  .(1.29)Выражение (1.29) является квадратурной формулой прямоугольников дляинтеграла столкновений (1.21), записанного в виде (1.26). Далее определимконстанты, которые понадобятся для оценки еѐ порядка аппроксимации.Длина отрезка S  p   S N p h  меньше либо равна 2R  h . Поэтому в силу(1.28) минимальное количество отрезков вида kD h, k  1D h, где k  Z ,объединение которых содержит S  p   S N p h  , меньше либо равноN  E 2 R  h  D h   2 ,(1.30)где E  y    y  – целая часть числа y .В силу (1.19) и (1.27) для u NpMs  Npm, где s  S  p   S N p h  , имеемBu   c1  R M  R  h m .(1.31)В силу (1.30) ND h  2 R , или, более строго, h0  0 L  Lh0   2 h : 0  h  h0ND h  LR .(1.32)B u   ER ,(1.33)Аналогично, из (1.31) получаемгде E – некоторая положительная постоянная.37Теорема 1.2.

Характеристики

Список файлов диссертации