Диссертация (1137401), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обозначим это множествочетверок i, j   k , l  через S . Множество S указывает ненулевые сеченияm ,, m ; p ,, p1n1 klij   ijkl   klji   lkij  0 . klij :столкновенийn; S ;  klij ,   i, j    k , l    SставитсяЭтойвсовокупностисоответствиесистемадифференциальных уравнений (дискретная модель столкновений):fi  pi fi   ,   i  f1 , f 2 , f n  ,t  mi x гдескоростьизмененияфункцииx  Rd , i=1,2,…,n,распределенияf i t , x (1)врезультатевзаимодействия частиц есть i  f1, f2 ,, fn    klij  fk fl  fi f j  – моделирует интегралстолкновений. Суммирование ведется по четверкам из множества S , в которыхесть индекс i: для них  klij  0 , а f i  f i t , x  – функция распределения частиц массыm i со значением импульса p i по координатам x в момент времени t.Подчеркнем, что запись (1) с совпадающими массами удобна тем, чтопозволяет избежать двухиндексных обозначений: реальное количество разныхмасс r значительно меньше n .Описаннаямодельстолкновенийназываетсядискретноймодельюуравнения Больцмана, если выбранные столкновения таковы, что для каждогостолкновения i, j   k , l  удовлетворяются законы сохранения числа частицкаждого сорта, импульса и энергии:mi  m k , m j  ml ,pi  p j  pk  pl ,p 2jp i2p2p2 k  l .2m i 2m j 2m k 2ml(2)То есть предполагается, что молекулы упруго и без химических реакцийвзаимодействуют по законам классической механики.8Будем считать, что в модели присутствуют все возможные столкновения,которые можно создать для значений импульсов p1 ,  , p n частиц масс m1,  , mnсоответственно.Значения импульсов p i и p k частиц массы mi  mk будем называтьзначениями импульсов частиц массы mi  mk , соответствующими столкновениюi, j   k , l  .

Аналогично, значения импульсовp j и p l частиц массы m j  ml будемназывать значениями импульсов частиц массы m j  ml , соответствующимистолкновению i, j   k , l  . Рассматривая столкновение i, j   k , l  с законамисохранения (2), p i и p j будем называть значениями импульсов частиц достолкновения i, j   k , l  , p k и p l – после столкновения.Исключим из рассмотрения такие столкновения i, j   k , l  , для которыххотя бы один из индексов, определяющих столкновение, равен другому индексу.Если mi  m j , то возможен следующий вариант: i=k, что согласно (2) равносильноj=l. В этом случае значения импульсов частиц не меняются при столкновении.Если mi  m j , то, кроме рассмотренного, возможны следующие варианты: i=j, чтосогласно (2) эквивалентно k=l, в этом случае i=j=k=l; i=l, что равносильно j=k.

Вэтих случаях множество значений импульсов частиц до столкновения совпадает смножеством значений импульсов после столкновения. Т.к. во всех случаях вкладтаких столкновений в правые части уравнений системы (1) равен нулю, то мыможем исключить из рассмотрения все такие столкновения.Обычно будем рассматривать ДМУБ для смеси частиц двух сортов,различающихся по массе, с отношением массы более тяжелой частицы к массеболее легкой, равным M/m (M>m).Законы сохранения импульса и энергии для любого столкновения междудвумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, имеют вид:p  q  p  q,p  p2 q2  q 2,2M2m2(3)9где p и q – значения импульсов тяжелой и легкой частиц до столкновения, p  и q– после столкновения.

Отметим, что условия q  q  0 и p  p  0 равносильнысогласно первому уравнению системы (3) и выполняются, т.к. мы исключили израссмотрения столкновения, для которых q   q и p   p .Будемговорить,чтостолкновениемеждудвумячастицами,принадлежащими различным компонентам смеси, происходит с обменомэнергией, если правая и левая части второго уравнения системы (3) ненулевые:q2  q 2  0 и p2  p 2  0 . Если они нулевые, то столкновение осуществляется безобмена энергией.

Мы будем называть модель тривиальной, следуя [12], [13], [48],[53], если она не допускает обмена энергией между разными компонентами, чторавносильно тому, что она не содержит хотя бы одного столкновения с обменомэнергией между частицами, принадлежащим различным компонентам смеси.Остальные ДМУБ мы будем называть нетривиальными.Из второго уравнения системы (3) мы получаем: если есть обмен энергиеймежду компонентами смеси, тогда M/m должно быть рациональным числом, т.к.вектора импульсов принадлежат сетке (с шагом h).Удобная параметризация [48] получается, если мы решим первое изуравнений (3), вводя вектор a так, чтоp  q   a,p   q  a.(4)Подставляя во второе из уравнений (3), имеем:q 2 q 2 M m  1  2a, q   q  ,(5)p 2 p 2 1  m M   2a, p   p  .(6)илиВ одномерном случае: т.к.

p  p  0 , то, деля (5) на q   q  0 и (6) наp  p  0 , мы получаем:q   q Mm  1  2a ,(7) p   p 1  m M   2a ,(8)10где очевидно, что q   q и p    p , если осуществляется обмен энергией междукомпонентами смеси.Мы будем рассматривать только симметричные ДМУБ, т.е. модели, вкоторыхзначенияимпульсовчастицкаждогоизсортоврасположенысимметрично относительно нуля в одномерном случае, относительно осейкоординат и биссектрис углов между ними в двумерном случае, относительноплоскостей, каждой из которых принадлежат две оси координат, и плоскостей,каждой из которых принадлежит биссектриса угла между двумя осями координати третья оставшаяся ось координат в трехмерном случае.

Столкновение будемназывать симметричным данному, если значения импульсов частиц каждого изсортов, соответствующие этому столкновению, получаются из значенийимпульсов частиц того же сорта, соответствующих исходному столкновению, врезультатенекоторой(одинаковойдлявсехкомпонентсмеси)последовательности указанных выше симметрий. Из законов сохранения (2)следует корректность определения симметричного столкновения: если значенияимпульсов, соответствующие некоторому столкновению, удовлетворяют законамсохранения,тоисимметричному подлязначенийимпульсов,соответствующихлюбомуотношению к исходному столкновению, они будутвыполняться.

Очевидно, что модель будет симметричной тогда и только тогда,когда в ней для каждого столкновения присутствуют все симметричные емустолкновения. Важно, чтобы модель была симметричной, это производится радипопытки избежать выделенных направлений в пространстве значений импульсов.Построение правильной модели хотя бы для случая двух компонентсвязано с преодолением трудности так называемых лишних законов сохранения(инвариантов, интегралов) [1], [12], [13], [20]–[22], [28], [46]–[48], [50], [53], [54],[60], [62], например, энергии отдельных компонент, которые присутствуют вдискретной по скоростям модели, но отсутствуют в исходном кинетическомуравнении.

Из-за этого последнее при проведении численных расчетов приводит кнеправильнойгидродинамике,посколькувэтомслучаевуравнениях11гидродинамики, кроме плотности, гидродинамической скорости и внутреннейэнергии, возникнут другие (лишние) параметры.Для уравнения Больцмана для смесей существует ровно r  d  1 линейныйинвариант, отвечающий сохранению числа частиц каждого из r  F t, p, xdpdx ,idR Rсортов:где Fi t , p, x  – функция распределения частиц i -го сорта,dимеющих массу M i ( i  1,2,, r ), d компонент импульса:r   pF t, p, xdpdx ,i 1 R d R dполной энергии:r i 1 R d R diиp2Fi t , p, x dpdx . Столько же законов сохранения должна2M iиметь и дискретная модель.В [12]–[13], [62] описан метод, названный индуктивной процедурой,позволяющий определять число инвариантов в модели.Дискретные модели квантовых кинетических уравнений (уравненийЮлинга–Уленбека) [12], [13], [23] отличаются от ДМУБ (1) интеграломстолкновений:i  f1,, f n    klij 1  fi 1  f j 1  f k 1  fl hk hl  hi h j (9)k ,l , jгде i  1,, n , hi  f i 1  f i  ;   0 для бозонов,   0 для фермионов,   0 длядискретных моделей уравнения Больцмана.

Здесь f i  f i t , x  – среднее числочастиц в одном квантовом состоянии, поэтому f i h 3 (где h – постоянная Планка)– функция распределения частиц в пространстве x  R d в момент времени t ,имеющих массу mi и импульс p i , поскольку число квантовых состояний вфазовом объеме px равно px h3 (квазиклассическое приближение) [9].Введем две функции, определенных на множестве рациональных чисел:N(λ) и D(λ), где λ – любое рациональное число. N(λ) – числитель дроби λ,представленнойвнесократимомвиде,D(λ)–знаменательдробиλ,представленной в несократимом виде.

В несократимой форме рациональное числоλ таково: λ=N(λ)/D(λ).12Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав,заключения и списка литературы. Первая глава содержит два параграфа, вторая –три, третья – четыре.Первая глава диссертации посвящена одномерным дискретным моделямуравнения Больцмана для смесей. Рассмотрение одномерных дискретных моделейявляется важным хотя бы потому, что с помощью симметризации из одномерноймодели легко получаются модели большей размерности, причем из модели безлишних инвариантов получается модель большей размерности с тем жесвойством.В § 1 первой главы исследуется гипотеза о том, что существуют только двемодели (Амосова–Веденяпина [1], [12], [13], [20], [21] и Монако–Прециози [60]) справильным (физически обоснованным) количеством законов сохранения в классеодномерных симметричных дискретных моделей уравнения Больцмана длядвухкомпонентной смеси.

Характеристики

Список файлов диссертации