Диссертация (1137401), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Понятие экстремали Больцмана там тоже работает [3], [11], [15], [§§ 1, 3 и4 настоящей главы], и это делает его общематематическим и фундаментальным икак метод поиска стационарных решений широкого класса уравнений каклинейных типа уравнения Лиувилля, так и нелинейных [9], [11], [12], [13], и какширокое обобщение понятия энтропии. Интерес к понятию энтропии не иссякаети с точки зрения других аспектов [14], [56].101ЗаключениеИтак, основные результаты диссертации следующие:1. Полученыоценкиминимальногоразмера дискретныхмоделейуравнения Больцмана для смесей частиц, отличающихся по массе, с правильнымчислом линейных законов сохранения.
Размер дискретных моделей определяетвычислительную сложность задачи моделирования уравнения Больцмана длясмесей, а наличие обмена энергией между компонентами смеси являетсянеобходимым условием для того, чтобы в модели не возникало лишних линейныхинвариантов.2. Исследовано множество всех линейных законов сохранения уравненияЛиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца, которымопределяются стационарные решения – экстремали по Больцману, совпадающие свременными средними (средними по Чезаро). Получены точные формулы дляразмерности пространства этих линейных инвариантов. В частности, эти формулыдают доказательство и малой теоремы Ферма, и теоремы Эйлера из теории чисел(для основания степени, равного двум).3.
Доказано уточнение H-теоремы для уравнения Лиувилля: теорема осовпадении временного среднего с экстремалью по Больцману, для случая, когдасуществует положительное стационарное решение уравнения Лиувилля. Этотрезультат является обобщением аналогичной теоремы для случая уравненияЛиувилля с дивергенцией скорости, равной нулю.В первой главе диссертации рассматривались одномерные дискретныемодели уравнения Больцмана для смесей. Несмотря на наличие в них лишнихлинейныхинвариантов,уравнениеБольцманадлясмесейможноаппроксимировать дискретной моделью в одномерном случае. Это связано с тем,что при шаге сетки h в пространстве импульсов, стремящемся к нулю, найденныйлишний линейный закон сохранения стремится к нулю (для функцийраспределения из рассматриваемого в § 2 первой главы класса функций).102Наименьший размер d-мерных моделей, допускающих обмен энергиеймежду компонентами смеси, с данным отношением масс M/m: Sd M m ,оценивается во второй главе диссертации.
Теоремы 2.1–2.3 дают оценки снизу дляSd M m . Правые части этих оценок могут стремиться к , например, когдаM/m→ . Для каждой из полученных оценок для каждого случая, когда праваячасть стремится к , предъявлен набор моделей, показывающий, что оценкиснизу улучшить нельзя.На основе второй главы можно: 1) оценить вычислительную сложностьзадачи, задав массы частиц компонент смеси, 2) для дробных отношений массчастиц различных сортов решить какими дробями представлять отношения масс,такчтобыминимизироватьвычислительнуюсложностьзадачи,3)воспользоваться предложенными новыми моделями.Показано, что, в частности, для больших отношений масс моделированиеуравнения Больцмана становится почти невозможным для регулярных сеток:приходится брать очень много значений импульсов частиц – размер сеток порядкаM m . Поэтому проблема построения простых моделей (т.е. с малым числомдискретных значений импульсов) остается актуальной задачей.Цель третьей главы – продолжать линию работ Больцмана, стараясьрасширить класс уравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии(закон убывания Н-функции), и исследовать условия, при которых справедливаH -теорема.В ней доказывается обобщение теоремы работы [15], опубликованное вработе автора [11], о совпадении временных средних с экстремалями поБольцману для уравнения Лиувилля на более общий случай чем, когдадивергенция скорости не равна нулю: когда оно имеет положительноестационарное решение, и рассматриваются новые примеры: марковские цепи,круговая модель М.
Каца [32], [31] и другие. Предлагается вариационныйпринцип для поиска стационарных решений в этих случаях.Представляют интерес дальнейшие обобщения теоремы о совпадениивременного среднего с экстремалью по Больцману. Кроме того, интересны103обобщения круговой модели М. Каца, когда она содержит большее число цветовшаров, чем два, получая при этом более реалистичные модели переноса.
Тогда,изучая размерность пространства линейных законов сохранения уравненияЛиувилля для таких моделей, мы, возможно, получим доказательство и малойтеоремы Ферма, и теоремы Эйлера из теории чисел не только для основаниястепени, равного двум, но и для больших степеней.Благодарности. Автор выражает благодарность Веденяпину В. В.,Амосову С. А., Орлову Ю. Н., Волкову Ю. А., Батищевой Я. Г., Сакбаеву В. Ж.,Гуревичу Б. М., Пирогову С.
А., Козыреву С. В., Трещѐву Д. В. за плодотворныеобсуждения данной работы и ценные замечания.104Список литературы1. Аджиев, С. З. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений длясмесей / С. З. Аджиев, С. А. Амосов, В. В. Веденяпин // Журналвычислительной математики и математической физики.
— 2004. — Т. 44. № 3.— С. 553–558.2. Аджиев, С. З. О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана длясмесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительной математикии математической физики. — 2007. — Т. 47. № 6. — С. 1045–1054.3. Аджиев, С. З. Временные средние и экстремали Больцмана для марковскихцепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Марка Каца / С. З.Аджиев, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительной математики иматематической физики.
— 2011. — Т. 51. № 11. — С. 2063–2074.4. Аджиев, С. З. Об одномерных дискретных моделях уравнения Больцмана длясмесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин, Ю. А. Волков. Современныепроблемы фундаментальных и прикладных наук. Тезисы XLIV научнойконференции Московского физико-технического института (государственногоуниверситета).
Часть VII. — Москва–Долгопрудный: МФТИ, 2001. — С. 45.5. Аджиев, С. З. Об одномерных дискретных моделях уравнения Больцмана длясмесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин, Ю. А. Волков. Сборник научныхтрудов ―Обработка информации и моделирование‖. — М.: Московскийфизико-технический институт (государственный университет), 2002. — С.127–136.6. Аджиев, С. З. Теорема единственности модели Амосова–Веденяпина и моделиМонако в классе одномерных симметричных нормальных дискретныхмоделей уравнения Больцмана для смесей / С. З.
Аджиев. Современныепроблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды XLVI научнойконференции Московского физико-технического института (государственногоуниверситета). Часть VII. — Москва–Долгопрудный: МФТИ, 2003. — С. 165.1057. Аджиев, С. З. Об одномерных дискретных моделях уравнения Больцмана длясмесей и о размерах моделей в общем случае / С.
З. Аджиев, В. В. Веденяпин.Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике исовременным прикладным программным системам (ВМСППС–2005), 25–31мая 2005 г., Алушта. — М.: Изд-во МАИ-ПРИИНТ, 2005.8. Аджиев, С. З. H-теорема для дискретных квантовых кинетических уравненийи их обобщений / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин. Международнаяконференция по математической теории управления и механике.
Тезисыдокладов. 1–5 июля 2011 г., Суздаль. — М.: МИАН, 2011. — С. 19–21.9. Батищева, Я. Г. II-й закон термодинамики для химической кинетики / Я. Г.Батищева, В. В. Веденяпин // Математическое моделирование. — 2005. — Т.17. № 8. — С. 106–110.10. Брюно, А. Д. Ограниченная задача трех тел. / А. Д. Брюно. — М.: Наука, 1990.11. Веденяпин, В. В. Энтропия по Больцману и Пуанкаре / В. В. Веденяпин,С. З. Аджиев // Успехи математических наук. — 2014. — Т. 69. № 6. — С.
45–80.12. Веденяпин, В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова / В. В.Веденяпин. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.13. Веденяпин, В. В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову /В. В. Веденяпин — М.: изд-тво МГОУ, 2005.14. Веденяпин, В.
В. О единственности H-функции Больцмана / В. В. Веденяпин //Доклады Академии наук СССР. — 1977. — Т. 233. № 5. — С. 765–768.15. Веденяпин, В. В. Временные средние и экстремали по Больцману / В. В.Веденяпин // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 422. № 2. — С. 161–163.16. Веденяпин, В. В. H-теорема для дискретных кинетических уравнений и ихобобщений / В. В.
Веденяпин, С. З. Аджиев. Материалы XVII Международнойконференции по вычислительной механике и современным прикладнымпрограммным системам (ВМСППС’2011), 25–31 мая 2011 г., Алушта. — М.:Изд-во МАИ-ПРИИНТ, 2011. — С. 496–498.10617. Веденяпин, В. В. H-теорема для дискретных квантовых кинетическихуравнений и их обобщений / В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев. Моделированиенелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международнойконференции. — М: Янус–К, 2011.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
