Семинар 14 для К-5. Многомерное преобразование Фурье для задач УМФ (1127974)
Текст из файла
УМФ – семинар – К 5 – 141. Многомерное преобразование Фурье для задач УМФ.Пусть x = (x1 , x2 , . . . , xn ) – элемент n-мерного евклидова пространства Rn , а функцияf (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) определена на Rn и для неё сходится интеграл +∞ +∞Z ZZ f (x)dx ≡ . . . < +∞.f(x,x,...,x)dxdx...dx12n12n n R−∞−∞Тогда для функции f (x) существует преобразование Фурье:Z1de−i(ξ, x) f (x)dx,F (ξ) = f (x) = √ n2πn(1.1)Rгде (ξ, x) = ξ1 x1 + ξ2 x2 + . . .
+ ξn xn – скалярное произведение векторов ξ и x.При этом функцию f (x) можно восстановить по её образу Фурье по следующей формуле:Z1f (x) = F (ξ) = √ nei(ξ, x) F (ξ)dξ.(1.2)2πndR1.1. Двумерное преобразование Фурье для задач УМФ.Для важного частного случая двумерного пространства с координатами x и y формулы (1.1)– (1.2) переписываются в виде:Z1\e−i(ξx+ηy) f (x, y)dxdy,(1.3)F (ξ, η) = f (x, y) =2πR2d1f (x, y) = F (ξ, η) =2πZei(ξx+ηy) F (ξ, η)dξdη.(1.4)R2Важными вариантами этих формул являются косинус–преобразование по y:1Fc (ξ, η) =πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) cos(ηy)f (x, y)dxdy,(1.5)−∞ 01f (x, y) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) cos(ηy)Fc (ξ, η)dξdη(1.6)−∞ 0и синус–преобразование по y:1Fs (ξ, η) =πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)f (x, y)dxdy,(1.7)−∞ 01f (x, y) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) sin(ηy)Fs (ξ, η)dξdη.−∞ 0Очевидно, что если f (x, y) – чётная по y, тоF (ξ, η) = Fc (ξ, η),1f (x, y) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) cos(ηy)Fc (ξ, η)dξdη−∞ 0c Д.С.
Ткаченко-1-(1.8)УМФ – семинар – К 5 – 14а если нечётная по y, тоZ+∞ Z+∞ei(ξx) sin(ηy)Fs (ξ, η)dξdηif (x, y) = −πF (ξ, η) = −iFs (ξ, η),−∞ 0Кроме этих общих формул нам потребуются также важные формулы:Утверждение 1.1.Усл.U (ξ, η; t) – образ Фурье функции u(x, y; t) при ИПФ (1.3), cos-ИПФ (1.5),sin-ИПФ (1.7).Утв.Верны формулы:√Z+∞π − 4pq22−p2 u2ecos(qu)du =e2p(1.9)0Z+∞ Z+∞e−i(ξx+ηy) uxx (x, y; t) + uyy (x, y; t) dydx = − ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t)1π(1.10)−∞ −∞1πZ+∞ Z+∞−∞ 01πZ+∞e−i(ξx) u(x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t)ηe−i(ξx) sin(ηy)uyy (x, y; t)dydx =π(1.11)−∞Z+∞ Z+∞1e−i(ξx) cos(ηy)uyy (x, y; t)dydx = −π−∞ 0Z+∞e−i(ξx) uy (x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t).(1.12)−∞+∞RДоказательство.
Докажем формулу (1.9). Пусть I(p, q) =2 u2e−pcos(qu)du – искомый0интеграл. Рассмотрим∂I=−∂q∂I:∂q"Z+∞222 2ue−p u sin(qu)du = по частям: ue−p u =2 2∂e−p u1·−2p2∂u#=01=−−2p2u=∞ −p2 u2· esin(qu)−qu=0{z}|Z+∞2 u2e−pqcos(qu)du ≡ − 2p2 I.0=0Таким образом, для I, как функции переменной q, получаем однородное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (уравнение Эйлера):∂Iq+I = 0.∂q2p2Его общее решение имеет вид:−Ioo (p, q) = c(p)eq24p2.Чтобы найти "константу" c(p), положим в этом равенстве q = 0 и возьмём интеграл I(p, 0):Z+∞hi 1 Z+∞ 2−p2 u2c(p) = I(p, 0) =e· 1 · du = t = pu =e−t dt.p0c Д.С. Ткаченко0-2-УМФ – семинар – К 5 – 14√Последний интеграл – интеграл Эйлера – Пуассона, и он равен√πc(p) =2pи окончательно получаем:√π − 4pq22.eI(p, q) =2pЧтобы доказать (1.10), докажем формулу1ππ,2откудаZ+∞ Z+∞e−i(ξx+ηy) uyy (x, y; t)dydx = −η 2 U (ξ, η; t).−∞ −∞1πZ+∞ Z+∞hie−i(ξx+ηy) uyy (x, y; t)dydx = по частям по y =−∞ −∞1=πy=∞Z+∞ Z+∞ Z+∞−i(ξx+ηy)−i(ξx) −iηydx − iηeuy (x, y; t)dydx =euy (x, y; t) ey=−∞−∞ −∞−∞{z}|=0Z+∞ Z+∞hi−iηe−i(ξx+ηy) uy (x, y; t)dydx = ещё раз по частям по y ==π−∞ −∞y=∞Z+∞Z+∞ Z+∞−iη −i(ξx) −iηy−i(ξx+ηy)eu(x, y; t)dx − iηeu(x, y; t)dydx == eπ y=−∞−∞−∞ −∞|{z}=0= (iη)2 U (ξ, η; t) = −η 2 U (ξ, η; t).Формула1πZ+∞ Z+∞e−i(ξx+ηy) uxx (x, y; t)dydx = −ξ 2 U (ξ, η; t).−∞ −∞доказывается совершенно аналогично.
(Заметим, кстати, что аналог последней формулы будети для cos-ИПФ и sin-ИПФ, поскольку всюду в них под интегралом оказываются одинаковыевыражения, зависящие от x и не зависящие от y.)Докажем формулу (1.11).1πZ+∞ Z+∞hi−i(ξx)esin(ηy)uyy (x, y; t)dydx = по частям по y =−∞ 01=πy=∞Z+∞ Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx)esin(ηy)u(x,y;t)dx−ηecos(ηy)u(x,y;t)dydx=yyy=0−∞−∞ 0|{z}=−ηπ=0+∞+∞Z Zhie−i(ξx) cos(ηy)uy (x, y; t)dydx = ещё раз по частям по y =−∞ 0c Д.С. Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 14−η=πy=∞ Z+∞Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx) ecos(ηy)u(x, y; t)dx + ηesin(ηy)u(x, y; t)dydx=−∞y=0−∞ 0|{z}=−u(x, 0; t)Z+∞e−i(ξx) u(x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t).η=π−∞Докажем формулу (1.12).1πZ+∞ Z+∞hie−i(ξx) cos(ηy)uyy (x, y; t)dydx = по частям по y =−∞ 01=πy=∞ Z+∞Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx) e=cos(ηy)u(x,y;t)esin(ηy)u(x,y;t)dydxdx+ηyy−∞y=0−∞ 0|{z}=−uy (x, 0; t)1=−πZ+∞ηe−i(ξx) uy (x, 0; t)dx +π−∞Z+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)uy (x, y; t)dydx =−∞ 0Z+∞hi1= ещё раз по частям по y = −e−i(ξx) uy (x, 0; t)dx+π−∞η+πy=∞Z+∞ Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx)sin(ηy)u(x, y; t)dx − ηecos(ηy)u(x, y; t)dydx = ey=0−∞−∞ 0|{z}=01=−πZ+∞e−i(ξx) uy (x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t).−∞Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, сформулируем ПРАВИЛО:Если задача рассматривается при• x, y ∈ (−∞, +∞),то надо использовать ИПФ по формулам (1.3)-(1.4);• x ∈ R, y ∈ (0, +∞) с краевым условием I-го рода,формулам (1.7)-(1.8);то надо использовать sin-ИПФ по• x ∈ R, y ∈ (0, +∞) с краевым условием II-го рода,формулам (1.5)-(1.6).то надо использовать cos-ИПФ поc Д.С.
Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 142. № 822.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = 0,u(x, y, 0) = ϕ(x, y),x, y ∈ (−∞, +∞), t > 0,x, y ∈ (−∞, +∞).(2.1)(2.2)Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полной плоскости x, y ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.3) по пространственным переменным (x, y) кравенствам (2.1) – (2.2).ПустьZ1\U (ξ, η; t) = u(x,y; t) =e−i(ξx+ηy) u(x, y; t)dxdy,2π2ZR1\Φ(ξ, η) = ϕ(x,y) =e−i(ξx+ηy) ϕ(x, y)dxdy.2πR2Тогда результатом действия ИПФ на (2.1) – (2.2) будет задача:ξ, η ∈ (−∞, +∞), t > 0,Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = 0,U (ξ, η; 0) = Φ(ξ, η),ξ, η ∈ (−∞, +∞).(2.3)(2.4)Шаг 2. Решение задачи Коши (2.3) – (2.4) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (2.3) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).а из начального условия (2.4) получаем, что "константа" c(ξ, η) равна Φ(ξ, η), откуда222U (ξ, η; t) = Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(2.5)Шаг 3.
Обратное преобразование Фурье.Применим к (2.5) обратное преобразование Фурье (1.4). ПолучимZZ11222i(ξx+ηy)eU (ξ, η; t)dξdη =ei(ξx+ηy) Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t dξdη =u(x, y; t) =2π2πR2R2ZZ11222ei(ξx+ηy) e−i(ξz+ηs) ϕ(z, s)dzds e−a (ξ +η ) t dξdη ==2π2πR2R2ZZ12 22 2= 2 ϕ(z, s)dzds ei(x−z)ξ e−a ξ t · ei(y−s)η e−a η t dξdη =4πR21= 24πZϕ(z, s)dzdsR2hR2+∞Z−a2 ξ 2ei(x−z)ξ eZ+∞2 2tdξ ·ei(y−s)η e−a η t dη =−∞−∞2 ξ2= в силу чётности функций e−at2 η2и e−atiпо переменным ξ и η =ZZ+∞ Z+∞ 22 2 21−a ξ t= 2 ϕ(z, s)dzdscos (x − z)ξ edξ ·cos (y − s)η e−a η t dη =π200hRi√= по формуле (1.9) с p = a t и q = x − z либо q = y − s =ZZ2(y−s)2(x−z)2 +(y−s)21π − (x−z)1−−224a2 t= 2 ϕ(z, s) 2 e 4a t e 4a t dzds =ϕ(z,s)edzds.π4a t4πa2 tR2c Д.С.
ТкаченкоR2-5-УМФ – семинар – К 5 – 14Ответ:u(x, t) =14πa2 tRϕ(z, s)e−(x−z)2 +(y−s)24a2 tdzds.R23. № 823.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = f (x, y; t),u(x, y, 0) = 0,x, y ∈ (−∞, +∞), t > 0,x, y ∈ (−∞, +∞).(3.1)(3.2)Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полной плоскости x, y ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.3) по пространственным переменным (x, y) кравенствам (3.1) – (3.2).ПустьZ1\e−i(ξx+ηy) u(x, y; t)dxdy,U (ξ, η; t) = u(x, y; t) =2πR2Z1\F (ξ, η; t) = f (x,y; t) =e−i(ξx+ηy) f (x, y; t)dxdy.2πR2Тогда результатом действия ИПФ на (3.1) – (3.2) будет задача:Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = F (ξ, η; t),ξ, η ∈ (−∞, +∞), t > 0,U (ξ, η; 0) = 0,ξ, η ∈ (−∞, +∞).(3.3)(3.4)Шаг 2.
Решение задачи Коши (3.3) – (3.4) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (3.3) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).поэтому МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ "ПОСТОЯННОЙ" c(ξ, η) получаем:222UoHo (ξ, η; t) = c(ξ, η; t) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).откуда для c(ξ, η; t), подставив искомый вид решения (3) в уравнение (3.3), получаем условие:222ct (ξ, η; t) = F (ξ, η; t) ea (ξ +η ) t .Зная производную ct , найдём c:Ztc(ξ, η; t) =222F (ξ, η; τ ) ea (ξ +η ) τ dτ + c1 (ξ, η).0Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (3.3) имеет вид:ZtUoHo (ξ, η; t) =222222F (ξ, η; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ + c1 (ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(3.5)0Используя начальное условие (3.4), находим c1 (ξ, η) ≡ 0, откуда, наконец получаем решениезадачи Коши (3.3) – (3.4):ZtU (ξ, η; t) =222F (ξ, η; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ.0c Д.С.
Ткаченко-6-(3.6)УМФ – семинар – К 5 – 14Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (3.6) обратное преобразование Фурье (1.4). Получимu(x, y; t) =Z12π1=2πZei(ξx+ηy)dτ1= 24πR2ZtR2Zdτ0Zt1222ei(ξx+ηy) F (ξ, η; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ dξdη =2π20RZ1222e−a (ξ +η ) (t−τ ) e−i(ξz+ηs) f (z, s, τ )dzds dξdη =2πei(ξx+ηy) U (ξ, η; t)dξdη =R2tZ0ZZf (z, s, τ )dzdsR22 ξ2ei(x−z)ξ e−a(t−τ )2 η2· ei(y−s)η e−a(t−τ )dξdη =R2Z+∞ZtZZ+∞12 2i(x−z)ξ −a2 ξ 2 (t−τ )= 2 dτ f (z, s, τ )dzdseedξ ·ei(y−s)η e−a η (t−τ ) dη =4π0−∞−∞R2hi−a2 ξ 2 t−a2 η 2 t= в силу чётности функций eиeпо переменным ξ и η =1= 2πZtZdτ0Z+∞ Z+∞ 22 2 2cos (x − z)ξ e−a ξ (t−τ ) dξ ·cos (y − s)η e−a η (t−τ ) dη =f (z, s, τ )dzds02hR= по формуле (1.9) сp=a t−τ1= 2πZtZt1t−τ0Ответ:u(x, t) =14πa2Rt01t−τq =x−zиZdτ01=4πa20√f (z, s, τ )либоiq =y−s =(x−z)2(y−s)2π− 2− 24a (t−τ ) e4a (t−τ ) dzds =e4a2 (t − τ )R2Zf (z, s, τ )e−(x−z)2 +(y−s)24a2 (t−τ )dzds dτ.R2R−f (z, s, τ )e(x−z)2 +(y−s)24a2 (t−τ )dzds dτ .R24.
№ 824.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = 0,u(x, 0; t) = 0,u(x, y; 0) = ϕ(x, y),x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).(4.1)(4.2)(4.3)Шаг 1. Применение sin-ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полуплоскости x ∈ R, y > 0, а краевое условиепервого рода, в соответствии с правилом, применяем sin-ИПФ (1.7) – по пространственнымпеременным (x, y) к равенствам (4.1) – (4.3).ПустьZ+∞ Z+∞1U (ξ, η; t) =e−i(ξx) sin(ηy)u(x, y; t)dydx,π−∞ 0c Д.С. Ткаченко-7-УМФ – семинар – К 5 – 141Φ(ξ, η) =πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)ϕ(x, y)dydx.−∞ 0При действии sin-ИПФ на ut получим, очевидно, Ut , а при действии на uxx , как при обычном ИПФ, получим −ξ 2 U . Чтобы выяснить, в какое равенство перейдёт уравнение (4.1), осталось применить формулу (1.11) (стр.
2) – результат действия sin-ИПФ на uyy , и учесть, что вданном примере u(x, 0; t) = 0. Окончательно получаем:1πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)uyy (x, y; t)dydx = −η 2 U (ξ, η; t)−∞ 0Итак, результатом действия sin-ИПФ на (4.1) – (4.3) будет задача:ξ ∈ R, η > 0, t > 0,Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = 0,U (ξ, η; 0) = Φ(ξ, η),ξ ∈ R, η > 0.(4.4)(4.5)Шаг 2. Решение задачи Коши (4.4) – (4.5) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (4.4) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).а из начального условия (4.5) получаем, что "константа" c(ξ, η) равна Φ(ξ, η), откуда222U (ξ, η; t) = Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(4.6)Шаг 3.
Обратное преобразование Фурье.Применим к (4.6) обратное sin-преобразование Фурье (1.8). ПолучимZ+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞1222ei(ξx) sin(ηy)U (ξ, η; t)dξdη =ei(ξx) sin(ηy)Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t dξdη =π−∞ 0−∞ 0 +∞ +∞+∞+∞Z ZZ Z11222=ei(ξx) sin(ηy) e−i(ξz) sin(ηs)ϕ(z, s)dsdz e−a (ξ +η ) t dξdη =ππ1u(x, y; t) =π−∞ 01= 2π−∞ 0Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞2 22 2ϕ(z, s)dzdsei(x−z)ξ e−a ξ t · sin(ηy) sin(ηs)e−a η t dξdη =−∞ 0−∞ 01= в силу sin α sin β =cos(α − β) − cos(α + β) =2Z+∞ Z+∞Z+∞Z+∞ 2 2122= 2ϕ(z, s)dsdzei(x−z)ξ e−a ξ t dξ ·cos (y − s)η − cos (y + s)η e−a η t dη =2π−∞ 0−∞−∞h2 2= в силу чётности функций cos (y ± s)η и e−a η t по переменной η,i−a2 ξ 2 tа также чётности функций eпо переменной ξ =c Д.С.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
