sem8 (1127951)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – Метод Фурье1Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода.№ 699M .Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с однородными краевыми условиями второго рода.ut − a2 uxx = f (x, t),ux (0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].(1.1)(1.2)(1.3)Шаг 1.

Решение задачи Штурма–Лиувилля.Рассмотрим задачуX”(x) + λX(x) = 0,X 0 (0) = X 0 (l) = 0.(1.4)(1.5)Задача (1.4)–(1.5) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (1.4) имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(1.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.7)(1.8)√• При λ > 0 имеемиз√краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 cos( λ x) ⇒√00X√ (x) = −c2 λ sin( λ x). Поэтому из второго краевого условия X (l) = 0 получаем, чтоλ l = πk откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля: πn 2,n ∈ N.(1.9)λn =lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx Xn (x) = cos,n ∈ N.(1.10)l√0• При λ < 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=c,⇒X(x)=2cch−λ x ⇒121√√00X (x) = 2c1 −λ sh( −λ x).

Поэтому из второго краевого условия X (l) = 0 получаем,что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 . Второекраевое условие X 0 (l) = 0 выполнено, поэтому задача Штурма–Лиувилля (1.4)–(1.5)имеет собственное число, равное нулю: λ0 = 0. Ему соответствует собственная функицяX0 (x) ≡ 1Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πn 2 πnx λ0 = 0, X0 (x) ≡ 1; λn =, Xn (x) = cos,llзадачи (1.4)–(1.5).-1-n∈NУМФ – семинар – Метод ФурьеШаг 2.

Будем искать решение уравнения ut − a2 uxx = f (x, t) с краевыми условиями ux (0, t) = ux (l, t) = 0 в виде∞Pu(x, t) =Xn Tn (t), где функции Xn (x) имееют вид:n=0X0 (x) ≡ 1,Xn (x) = cos πnx l.(1.11)Заметим сразу, что каждое слагаемое приведённого ряда удовлетворяет краевым условиям(1.2), что достаточно (если ряд допускает почленный переход к пределу при x → 0 + 0, x →l = −0) для того, чтобы функция u(x, t), определённая таким образом, также удовлетворялакраевым условиям (1.2).Пусть функция f (x, t) разложена при каждом t ∈ [0, T ] в ряд Фурье по косинусам∞ πnx f0 (t) X+cosfn (t).f (x, t) =2ln=1(1.12)При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам:2fn (t) = (f, Xn ) =lZlf (x, t) cos πnx ldx.(1.13)0Тогда уравнение (1.1) приобретает вид∞XXn (x)Tn0 (t)n=0∞ πnx f0 (t) Xfn (t) cos+.− a X”n (x)Tn (t) =2ln=12Для его выполнения достаточно, чтобыf0 (t)2 πnx 0Xn (x)Tn (t) − a2 X”n (x)Tn (t) = fn (t) coslT00 (t) =для n = 0для n ∈ N,то естьf0 (t)T00 (t) =2 πnx πnx (πna)20T(t)cos=f(t)cosTn (t) +nnl2llдля n = 0для n ∈ N.Это заведомо выполнено, еслиf0 (t)22(πna)Tn0 (t) +Tn (t) = fn (t)l2T00 (t) =для n = 0(1.14)для n ∈ N,(1.15)Итак, мы получили условия на функции Tn (t), достаточные для того, чтобы функция u(x, t) =∞PTn (t) cos πnxбыла(еслиряд–"хороший")решениемуравненияln=0ut − a2 uxx = f (x, t) с краевыми условиями ux (0, t) = ux (l, t) = 0.Шаг 3.

Решаем задачу (1.1) – (1.3).Из условий задачи (1.1) – (1.3) мы ещё не использовали только начальные условия-2-УМФ – семинар – Метод Фурьеu(x, 0) = ϕ(x). Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в ряд покосинусам∞ πnx ϕ0 X+ϕn cos,ϕ(x) =2ln=12ϕn =lx ∈ [0, l]Zlϕ(x) cos πnx lгдеdx.(1.16)(1.17)0∞PПодставим функцию u(x, t) =πnxlTn (t) cosn=0(опять-таки в предположении, что ряд – "хо-роший") в начальное условие:∞XTn (0) cos πnx ln=0∞ πnx ϕ0 X=+ϕn cos.2ln=1Для выполнения этого равенства достаточно, чтобыϕ0T0 (0) =2Tn (0) = ϕnдля n = 0для n ∈ N.Таким образом, из (1.14), (1.15) и (1.16) – (1.17), для функций Tn (t) имеем задачу Коши: T00 (t) = f02(t)для n = 0(1.18)T0 (0) = ϕ202 Tn0 (t) + (πna)Tn (t) = fn (t)l2для n ∈ N.(1.19)Tn (0) = ϕnЭти задачи Коши имеют единственное решение при любых fn ∈ C[0, T ] и любых значенияхϕn ∈ R.При n = 0:ϕ0 1T0 (t) =+22Ztf0 (τ )dτ.0При n ∈ N:сначала решаем однородное уравнение:Tn0 (t) +(πna)2Tn (t) = 0.l2Его общее решение имеет вид:Tn (t) = c e−(πna)2 tl2.Метод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения (1.19) в виде(πna)2 t(πna)2 t(πna)2−−002ll2Tn (t) = c(t)e,=⇒Tn (t) = c (t) −c(t)e.l2Подставив эти равнества в (1.19), получим уравнение для нахождения c(t):c0 (t) = fn (t)e-3-(πna)2 tl2,(1.20)УМФ – семинар – Метод Фурьеоткуда, с учётом начального условия Tn (0) = ϕn ,Ztc(t) = ϕn +fn (τ )e(πna)2 τl2dτ.(1.21)0Таким образом,−Tn (t) = ϕn e(πna)2 tl2Zt+fn (τ )e−(πna)2 (t−τ )l2dτ.(1.22)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить (1.20), (1.22) в формулуu(x, t) =∞XTn (t) cos πnx ln=0.Получаем ответ:tZZt∞ πnx 22X(πna) (t−τ )(πna) tϕ0 1ϕn e− l2 + fn (τ )e−l2dτ  cosu(x, t) =  +f0 (τ )dτ  +.22ln=100№ 669M 2.Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однороднымикраевыми условиями второго рода.utt − a2 uxx = f (x, t),ux (0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].x ∈ [0, l].(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)Шаг 1.

Решение задачи Штурма–Лиувилля.Этот шаг полностью повторяет Шаг 1. задачи № 699M .Шаг 2. Будем искать решение уравнения utt − a2 uxx = f (x, t) с краевыми условиями ux (0, t) = ux (l, t) = 0 в виде∞Pu(x, t) =Xn Tn (t), где функции Xn (x) имееют вид:n=0X0 (x) ≡ 1,Xn (x) = cos πnx l.(2.6)Пусть функция f (x, t) разложена при каждом t ∈ [0, T ] в ряд Фурье по косинусам∞ πnx f0 (t) Xf (x, t) =+cosfn (t).2ln=1(2.7)При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам:2fn (t) = (f, Xn ) =lZlf (x, t) cos0-4- πnx ldx.(2.8)УМФ – семинар – Метод ФурьеТогда уравнение (2.1) приобретает вид∞Xn=0∞ πnx f0 (t) XXn (x)T ”n (t) − a X”n (x)Tn (t) =+fn (t) cos.2ln=12Для его выполнения достаточно, чтобыf0 (t)2 πnx Xn (x)T ”n (t) − a2 X”n (x)Tn (t) = fn (t) coslдля n = 0T ”0 (t) =для n ∈ N,то естьf0 (t)T ”0 (t) =2 πnx πnx (πna)2T ”n (t) += fn (t) cosTn (t) cosl2llдля n = 0для n ∈ N.Это заведомо выполнено, еслиf0 (t)2(πna)2T ”n (t) +Tn (t) = fn (t)l2T ”0 (t) =для n = 0(2.9)для n ∈ N,(2.10)Итак, мы получили условия на функции Tn (t), достаточные для того, чтобы функция u(x, t) =∞Pбыла(еслиряд–"хороший")решениемуравненияTn (t) cos πnxln=0utt − a2 uxx = f (x, t) с краевыми условиями ux (0, t) = ux (l, t) = 0.Шаг 3.

Решаем задачу (2.1) – (2.4).Из условий задачи (2.1) – (2.4) мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x). Пусть функции ϕ(x), ψ(x), входящие в начальные условия,разлагаются в ряд по косинусам∞ πnx ϕ0 Xϕ(x) =+ϕn cos,2ln=12ϕn =lZlϕ(x) cosx ∈ [0, l] πnx lгдеdx.(2.11)(2.12)0∞ πnx ψ0 Xψ(x) =+ψn cos,2ln=12ψn =lZlψ(x) cosx ∈ [0, l] πnx ldx.где(2.13)(2.14)0Подставим функцию u(x, t) =∞PTn (t) cosn=0πnxl(опять-таки в предположении, что ряд – "хо-роший") в начальные условия:∞Xn=0Tn (0) cos πnx l∞ πnx ϕ0 X=;+ϕn cos2ln=1-5-УМФ – семинар – Метод Фурье∞XTn0 (0) cos πnx n=0l∞= πnx ψ0 X+ψn cos.2ln=1Для выполнения этих равенств достаточно, чтобыϕ02Tn (0) = ϕnψ020Tn (0) = ψnT00 (0) =T0 (0) =для n = 0для n ∈ N.Таким образом, из (2.9), (2.10) и (2.11) – (2.12), для функций Tn (t) имеем задачу Коши:T ”0 (t) = f02(t)для n = 0(2.15)T0 (0) = ϕ20 0T0 (0) = ψ202T ”n (t) + (πna)Tn (t) = fn (t)2lдля n ∈ N.(2.16)Tn (0) = ϕn 0Tn (0) = ψnЭти задачи Коши имеют единственное решение при любых fn ∈ C[0, T ] и любых значенияхϕn ∈ R, ψn ∈ R.При n = 0:T0 (t) =ϕ0+2Zt ψ0 + 1220Zτf0 (κ)dκ  dτ.(2.17)0При n ∈ N:сначала решаем однородное уравнение:T ”n (t) +(πna)2Tn (t) = 0.l2Его общее решение имеет вид:Tn (t) = c1 sinπnatπnat+ c2 cos.llМетод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения (2.16) в видеπnatπnat+ c2 (t) cos,где c1,2 (t) – есть решения системыll 0+ c02 (t) cos πnat= 0; c1 (t) sin πnatllTn (t) = c1 (t) sinπnalc01 (t) cos πnat− c02 (t) sin πnat= fn (t).llоткудаlπnatfn (t) cos,πnalС учётом начальных условий Tn (0) = ϕn ,c01 (t) =llc1 (t) =ψn +πnaπnaZtlπnatfn (t) sin.πnalTn0 (0) = ψn окончательно получаемc02 (t) = −πnaτfn (τ ) cosdτ,llc2 (t) = ϕn −πna0Ztfn (τ ) sin0-6-πnaτdτ.l(2.18)УМФ – семинар – Метод ФурьеТаким образом,Tn (t) = ϕn sinπnatlπnat+ ψncos+ll πnaZtZtπnaτπnatπnaτ l  πnatsinfn (τ ) cosdτ − cosfn (τ ) sindτ .

(2.19)+πnallll00Всё, что нам осталось сделать, – это подставить (2.17), (2.19) в формулуu(x, t) =∞XTn (t) cos πnx ln=0№ 654M ..Классический способ.Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однороднымикраевыми условиями второго рода.utt − a2 uxx = f (x),u(0, t) = u(l, t) = 0,β−αu(x, 0) =x + α,lut (x, 0) = 0,x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,(3.1)(3.2)x ∈ [0, l].(3.3)x ∈ [0, l].(3.4)(3.5)Шаг 1. Решение задачи Штурма–Лиувилля.Рассмотрим задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0.(3.6)(3.7)Задача (3.6)–(3.7) есть задача Штурма–Лиувилля. Её решение нам уже известно:λn =(πnx)2,l2Xn (x) = sin πnx l,n ∈ N.Шаг 2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров