Семинар 10 для К-5. Метод Фурье для уравнения Лапласа в круге. Внутренняя и внешняя задачи Неймана и III-го рода. Интеграл Пуассона (1127965)
Текст из файла
УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)Уравнение Лапласа в круге. Разные краевые условия.Интеграл ПуассонаI (Внутр.III), № 719 г), 720 б)M M , II (ИП), 719 в), 720 б)1. Уравнение Лапласа в кругеНа предыдущем семинаре мы нашли решение уравнения Лапласа∆u ≡11(rur )r + 2 uϕϕ = 0rr(1.1)как внутри круга:ϕ ∈ [0, 2π),0 6 r < R,так и вне круга:ϕ ∈ [0, 2π).R < r < +∞,Приведём найденные решения.Общее решение уравнения Лапласа в кругеu(r, ϕ) =∞XXk (r)Φk (ϕ) =k=0∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .(1.2)k=0Общее решение уравнения Лапласа вне круга∞X1Xk (r)Φk (ϕ) =(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .u(r, ϕ) =krk=0k=0∞X(1.3)2. № 719 г) Внутренняя задача Неймана для уравненияЛапласа в кругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условий0 6 r < R, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(0, ϕ)| < ∞,ur (R, ϕ) = f (ϕ).(2.1)Шаг 1. Решение уравнения Лапласа в кругеДля решения уравнения Лапласа в круге мы уже получили формулуu(r, ϕ) =∞Xk=0Xk (r)Φk (ϕ) =∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .(1.2)k=0Шаг 2.
Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие II-го рода – условие Неймана:ur (R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.2).Поскольку функции {1, cos(kϕ), sin(kϕ), k ∈ N} образуют полную ортогональную системуc Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)функций, то функцию f (ϕ) можно разложить в ряд по этой системе – фактически, втригонометрический ряд Фурье – на промежутке ϕ ∈ (0, 2π):∞α0 X+f (ϕ) =(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,2k=1(2.2)Z2π2αk =2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, .
. .(2.4)0Z2π2βk =2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0При этом ряд (2.2) сходится к f (ϕ) абсолютно и равномерно на ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем ряд∞Xur (r, ϕ) =krk−1 (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) ,(2.5)k=1взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) =∞X∞kRk−1k=1α0 X(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)+(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =2k=1Получаем при k = 0:α0,2это – условие на функцию f (ϕ), а требований на A0 , B0 не накладывает, они могут быть любыми.
На практике это означает, что задача Неймана имеет бесконечное семейство решений,отличающихся на константу.A0 , B0 − произвольны.(2.6)0=При k ∈ NkRk−1 (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),αk,kRk−1Ak =Ответ:Bk =βk,kRk−1k ∈ N.∞ Xr k αk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) = c + R·,Rkk=1(2.7)(2.8)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, .
. .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0а функция f (ϕ) удовлетворяет условиюR2πf (ϕ)dϕ = 0 (в противном случае решения в виде0подобного ряда не существует).c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)3. № 720 б)M M . Внешняя задача Неймана для уравненияЛапласа в кругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условийR < r < ∞, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(∞, ϕ)| < ∞,0 < ϕ < 2π;ur (R, ϕ) = f (ϕ),0 < ϕ < 2π.(3.1)Шаг 1. Решение уравнения Лапласа вне кругаДля решения уравнения Лапласа вне круга мы уже получили формулу∞X1u(r, ϕ) =(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .rkk=0(1.3)Шаг 2. Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие II-го рода – условие Неймана:ur (R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.3).Поскольку функции {1, cos(kϕ), sin(kϕ), k ∈ N} образуют полную ортогональную системуфункций, то функцию f (ϕ) можно разложить в ряд по этой системе – фактически, втригонометрический ряд Фурье – на промежутке ϕ ∈ (0, 2π):∞f (ϕ) =1αk =πα0 X(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,+2k=1(2.2)Z2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, .
. . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0При этом ряд (2.2) сходится к f (ϕ) абсолютно и равномерно на ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем ряд∞Xkur (r, ϕ) = −(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) ,k+1rk=1(3.2)взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) = −∞Xk=1kRk+1∞α0 X(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =+2k=1Получаем при k = 0:α0,2это – условие на функцию f (ϕ), а требований на A0 , B0 не накладывает, они могут быть любыми.
На практике это означает, что задача Неймана имеет бесконечное семейство решений,отличающихся на константу.A0 , B0 − произвольны.(3.3)0=c Д.С. Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)При k ∈ N−k(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,Rk+1откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),Ak = −Ответ:Rk+1αk ,kBk = −Rk+1βk ,kk ∈ N.∞ kXRαk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) = c − R,·rkk=1(3.4)(3.5)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . .
. ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0а функция f (ϕ) удовлетворяет условиюR2πf (ϕ)dϕ = 0 (в противном случае решения в виде0подобного ряда не существует).4. Внутренняя задача III-го рода для уравнения Лапласа вкругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условий0 6 r < R, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(0, ϕ)| < ∞,ur (R, ϕ) + hu(R, ϕ) = f (ϕ).(4.1)Шаг 1.
Решение уравнения Лапласа в кругеДля решения уравнения Лапласа в круге мы уже получили формулуu(r, ϕ) =∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .(1.2)k=0Шаг 2. Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие III-го рода:ur (R, ϕ) + hu(R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.2).Функцию f (ϕ) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье – на промежуткеc Д.С.
Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)ϕ ∈ (0, 2π):∞α0 X+f (ϕ) =(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,2k=11αk =π(2.2)Z2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)0Z2π1βk =πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0При этом ряд (2.2) сходится к f (ϕ) абсолютно и равномерно на ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем рядur (r, ϕ)+hu(R, ϕ) =∞Xkrk−1 (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ))+hk=1∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =k=0= hA0 +∞Xrk−1 (k + hr) (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) (4.2)k=1взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) + hu(R, ϕ) =∞∞Xα0 Xk−1R (k+hR) (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = +(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)= hA0 +2 k=1k=1Получаем при k = 0:hA0 =откудаA0 =α0,2α0, B0 − произвольно.2h(4.3)При k ∈ NRk−1 (k + hR) (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),Ak =Ответ:αk,+ hR)Rk−1 (kBk =βk,+ hR)Rk−1 (kk ∈ N.∞ Xα0r k αk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) =+R·,2hRk+hRk=1(4.4)(4.5)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, .
. . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0c Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)5. N 720 в) Внешняя задача III-го рода для уравненияЛапласа в кругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условийR < r < ∞, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(∞, ϕ)| < ∞,0 < ϕ < 2π;ur (R, ϕ) − hu(R, ϕ) = f (ϕ),0 < ϕ < 2π.(5.1)Шаг 1. Решение уравнения Лапласа вне кругаДля решения уравнения Лапласа вне круга мы уже получили формулу∞X1u(r, ϕ) =(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .rkk=0(1.3)Шаг 2.
Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие III-го рода – условие Неймана:ur (R, ϕ) − hu(R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.3).Воспользуемся разложением функции f (ϕ) в тригонометрический ряд Фурье на промежутке ϕ ∈ (0, 2π):∞α0 X+(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,2k=1f (ϕ) =1αk =π(2.2)Z2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . .
.(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0Приравняем ряд∞∞XXk1ur (r, ϕ)−hu(r, ϕ) = −(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ))−h(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =k+1krrk=1k=0= −hA0 −∞Xk + hrk=1rk+1(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) , (5.2)взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) − hu(R, ϕ) = −hA0 −∞Xk + hRk=1Rk+1(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =∞α0 X=+(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)2k=1Получаем при k = 0:−hA0 =c Д.С.
Ткаченко-6-α0,2УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)откудаA0 = −α0,2hB0 − произвольны.(5.3)При k ∈ Nk + hR(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,Rk+1откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),−Ответ:Rk+1· αk ,k + hRBk = −Rk+1· βk ,k + hRk ∈ N.(5.4)∞ kXα0Rαk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) = −−R·,2hrk + hRk=1(5.5)Ak = −где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, .
. . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,06. Интеграл ПуассонаПоменяв в формуле решения внутренней задачи Дирихле порядок интегрирования и суммирования, представить функцию u(r, ϕ) в виде интегральногооператора от функции краевого условия f (ϕ).Шаг 1. Формальное изменение порядка интегрирования и суммированияНа прошлом семинаре мы получили формулу решения внутренней задачи Дирихле в круге:∞α0 X r ku(r, ϕ) =+(αk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)) ,2Rk=1(6.1)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . .
. ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0c Д.С. Ткаченко-7-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)Подставим выражения для коэффициентов (поменяв в (2.3), (2.4) перменную ϕ на ψ) в формулу (6.1):1u(r, ϕ) =2πZ2πf (ψ)dψ+0Z2πZ2π∞ Xk1r +cos(kϕ) f (ψ) cos(kψ)dψ + sin(kϕ) f (ψ) sin(kψ)dψ =π k=1 R00hi= cos a cos b + sin a sin b = cos(a − b) =Z2π1=2π0=Z2π∞h i1 X r kf (ψ)dψ +cos k(ψ − ϕ) f (ψ)dψ = I =π k=1 R0Z2π12π01=π#Z2π "X∞ r k1f (ψ)dψ +cos k(ψ − ϕ) f (ψ)dψ =πRk=10Z2π "01=2π#h i1r k eik(ψ−ϕ) + e−ik(ψ−ϕ)+f (ψ)dψ = II =2 k=1 R2∞ XZ2π "1+k∞ Xrei(ψ−ϕ)Rk=10"+k∞ Xre−i(ψ−ϕ)Rk=1#f (ψ)dψ =#q=qk =при |q| < 1 =1−qk=11=2πZ2π "1+0∞X11−1=2πrei(ψ−ϕ)RZ2π 1+#rei(ψ−ϕ)1re−i(ψ−ϕ)·+·f (ψ)dψ =−i(ψ−ϕ)RR1 − re Rre−i(ψ−ϕ)rei(ψ−ϕ)+f (ψ)dψ =R − rei(ψ−ϕ) R − re−i(ψ−ϕ)01=2πZ2πR2 − rR ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) + r2 + rR ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) − 2r2· f (ψ)dψ =R2 − rR (ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) ) + r201=2πZ2π(R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r2 ) + 2rR cos(ψ − ϕ) − 2r2· f (ψ)dψ =R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r201=2πZ2πR2 − r 2· f (ψ)dψ.R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r20Шаг 2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
