sem6 (1127949)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – Метод Фурье1Метод Фурье для однородного гиперболического уравнения с однородными краевыми условиями.№ 643.Найти решение u(x, t) начально-краевой задачиutt = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),u(0, t) = u(l, t) = 0.(1.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X(l) = 0.(1.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T ”(t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T ”(t)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,(1.3)(1.4)а для функции T (t) – уравнение:T ”(t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.5)Задача (1.3)–(1.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (1.3) имеет вид√√при λ > 0;(1.6)X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.7)(1.8)√• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x)=csin(λ x).1√Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что λ l = πn откудаимеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:λn =π 2 n2,l2n ∈ N.Им соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx Xn (x) = sin,n ∈ N.l-1-(1.9)(1.10)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ√ < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = −c1 , ⇒X(x) =2c1 sh −λ x. Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x.Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задачаШтурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllзадачи (1.3), (1.4). Стало быть, рассматривать задачу (1.5) имеет смысл только при λ = λn ,и мы получаем семейство задач:T ”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(1.11)Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид: πna πna Tn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,ll(1.12)где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (1.1).∞PБудем искать решение задачи (1.1) в виде u(x, t) =Xn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsin πnx ln=1An cos πna πna t + Bn sint .ll(1.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =∞Xn=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞XAn Xn (x),(1.14)n=1Xn (x)Tn0 (0) =∞XBn apλn Xn (x).(1.15)n=1n=1Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1∞Xβn Xn (x),(1.16)n=1Выясним, какимидолжны быть коэффициенты αn , βn .

Для этого домножим (1.16) наπmxXm = sin lскалярно в смысле L2 [0, l]:Zl(ϕ, Xm ) = αmsin02 πmx lαmdx =2Zl 1 − cos2πmxlαmdx =20Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sin0-2- πnx ldx.(1.17)УМФ – семинар – Метод ФурьеАналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin πnx ldx.(1.18)0Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (1.13) решения u(x, t), сопоставляя (1.14) – (1.16), получим:2An = αn =lZlϕ(x) sin πnx ldx;(1.19)0βn2Bn = √ =aπna λnZlψ(x) sin πnx ldx.(1.20)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.13) найденные коэффициенты An , Bn из (1.19), (1.20).№ 649m .Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x)(1.21)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X 0 (l) = 0.(1.22)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T ”(t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T ”(t)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X 0 (l) = 0,(1.23)(1.24)а для функции T (t) – уравнение:T ”(t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.25)Задача (1.23)–(1.24) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (1.23)имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(1.26)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√-3-−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.27)(1.28)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ√ > 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒c1 sin( λ x) ⇒ X 0 (x)√= c1 λ cos( λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что λ l = π 21 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2n − 1)λn =,n ∈ N.(1.29)2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)x ,n ∈ N.Xn (x) = sin2l(1.30)• При λ√ < 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = −c1 , ⇒02c1 sh −λ x ⇒ X (x) = 2c1 −λ ch( −λ x).

Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1)λn =x , n∈N, Xn (x) = sin2l2lзадачи (1.23), (1.24). Стало быть, рассматривать задачу (1.25) имеет смысл только приλ = λn , и мы получаем семейство задач:T ”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:π(2n − 1)aπ(2n − 1)aTn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,2l2l(1.31)(1.32)где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (1.21).Будем искать решение задачи (1.21) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xn=1sinπ(2n − 1)x2lπ(2n − 1)aπ(2n − 1)aAn cost + Bn sint.2l2l(1.33)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞X∞XAn Xn (x),(1.34)n=1Xn (x)Tn0 (0) =n=1∞Xn=1-4-Bn apλn Xn (x).(1.35)УМФ – семинар – Метод ФурьеПусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1∞Xβn Xn (x),(1.36)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты αn , βn .

Для этого домножим (1.36) наx скалярно в смысле L2 [0, l]:Xm = sin π(2m−1)2lZl(ϕ, Xm ) = αmsin2Zl π(2m − 1)π(2m − 1)αm1 − cosx dx =xdx =2l2l00αm=2Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.37)π(2n − 1)x dx.2l(1.38)0Аналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin0Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (1.33) решения u(x, t), имеем:Zlπ(2n − 1)2x dx;(1.39)ϕ(x) sinAn = αn =l2l04βnBn = √ =aπ(2n − 1)a λnZlψ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.40)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.33) найденные коэффициенты An , Bn из (1.39), (1.44).№ 645.Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = x, ut (x, 0) = sin πx+ sin 3πx.2l2l(1.41)Данная задача – частный случай рассмотренной в №649m .

Поэтому мы можем сразу воспользоваться формулами (1.33), (1.39), (1.44) для получения ответа. Найдём по (1.39)-5-УМФ – семинар – Метод Фурьекоэффициенты An :2An =lZlx sinπ(2n − 1)x dx =2l0x=lZl22l(2n − 1)π 2l(2n − 1)π= −x cosx +cosx dx =l(2n − 1)π2l(2n−1)π2lx=00"#x=l24l24l28l(2n − 1)π 2n+1=x =sin=(−1)(−1)n+1 .22222π2l (2n − 1) π2ll(2n−1)π(2n−1)x=0(1.42)Для того, чтобы найтиBn , заметим,что заданная функция ψ(x) уже разложена в ряд поx :функциям Xn (x) = sin (2n−1)π2ψ(x) = sinπx3πx+ sin.2l2l(1.43)2l,Следовательно, β1 = β2 = 1, β3 = β4 = . . . = 0, откуда, т.к. Bn = βn π(2n−1)aB1 =2l,πaB2 =2l,3πaB3 = B4 = .

. . = 0.(1.44)Подставим найденныеAn и Bn в ∞Pπ(2n−1)aπ(2n−1)axAcost+Bsint.u(x, t) =sin π(2n−1)nn2l2l2ln=1Получим ответ:u(x, t) =∞Xn=1sinπ(2n − 1)x2l8lπ(2n − 1)an+1(−1)cost+(2n − 1)2 π 22lπ πa 2l3π3πa2lsinx sint +sinx sint .+aπ2l2l3aπ2l2l№ 649.Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,ux (0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x)(1.45)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиux (0, t) = ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X 0 (0) = X 0 (l) = 0.Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T ”(t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T ”(t)=− 2= λ.X(x)a T (t)-6-(1.46)УМФ – семинар – Метод ФурьеОтсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X 0 (0) = X 0 (l) = 0,(1.47)(1.48)а для функции T (t) – уравнение:T ”(t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.49)Задача (1.47)–(1.48) есть задача Штурма–Лиувилля.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров