Семинар 10 для Ф-5. Метод Фурье для уравнения Лапласа в прямоугольнике (1127967)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – Метод Фурье1Метод Фурье для эллиптического уравнения.№ 717 a).Случай однородных краевых условий по x.Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = ux (l, y) = 0,u(x, 0) = 0, u(x, s) = f (x),x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).(1.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения uxx + uyy = 0 с краевыми условиямиu(0, y) = ux (l, y) = 0 в видеU (x, y) = X(x)Y (y).Сразу заметим, что краевые условия при x = 0, x = l означают для функции X(x)следующее:X(0) = X 0 (l) = 0.(1.2)Подставим U (x, y) в уравнение, получим:X”(x)Y (y) = −X(x)Y ”(y)Предположив, что X(x)Y (y) 6= 0, поделим это равенство на X(x)Y (y) 6= 0:Y ”(y)X”(x)=−= λ.X(x)Y (y)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X 0 (l) = 0,(1.3)(1.4)а для функции Y (y) – уравнение:Y ”(y) − λY (y) = 0,y ∈ (0, s).(1.5)Задача (1.3)–(1.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (1.3) имеет вид√√при λ > 0;(1.6)X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.7)(1.8)• При λ√ > 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒c1 sin( λ x) ⇒ X 0 (x)√= c1 λ cos( λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что λ l = π 21 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2n − 1)λn =,n ∈ N.(1.9)2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)Xn (x) = sinx ,n ∈ N.2l-1-(1.10)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ√ < 0 имеем из краевогоX(x) =√ X(0) = 0, что c1 = −c2 , ⇒√ условия2c1 sh −λ x ⇒ X 0 (x) = 2c1 −λ ch( −λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1)λn =, Xn (x) = sinx , n∈N2l2lзадачи (1.3)–(1.4). Стало быть, рассматривать задачу (1.5) имеет смысл только при λ = λn ,и мы получаем семейство задач:Y ”n (y) − λn Yn (y) = 0,y ∈ (0, s),n ∈ N.(1.11)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Yn (y) = An eπ(2n−1)y2l+ Bn e−π(2n−1)y2ly ∈ (0, s),,n∈N(1.12)где An и Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (1.1).Будем искать решение задачи (1.1) в виде u(x, y) =∞PXn (x)Yn (y), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1π(2n−1)π(2n−1)π(2n − 1)An e 2l y + Bn e− 2l y .x2l(1.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только краевые условия по y:u(x, 0) = 0,x ∈ (0, l).u(x, s) = f (x),Для функции u(x, y) искомого вида они означают:0 = u(x, 0) =∞XXn (x)Yn (0) =n=1f (x) = u(x, s) =∞Xn=1Xn (x)Yn (s) =∞X(An + Bn ) Xn (x),(1.14)n=1∞ XAn eπ(2n−1)s2l+ Bn e−π(2n−1)s2lXn (x),(1.15)n=1Пусть функция f (x), входящая в начальное условие, разлагается в рядf (x) =∞Xfn Xn (x),(1.16)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты fn . Для этого домножим (1.16) на Xm =1sin π − 2 + m x скалярно в смысле L2 [0, l]:Zl(f, Xm ) = fm0sin2Zl fmπ(2n − 1)π(2n − 1)x dx =1 − cosxdx =2l22l0fm=2Zldx =0-2-lfm,2УМФ – семинар – Метод Фурьеоткуда22fn = (f, Xn ) =llZlf (x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.17)0Итак, для коэффициентов An и Bn из представления (1.13) решения u(x, t), в силу(1.14) имеем:An + Bn = 0.А из (1.15)–(1.17) с учётом Bn = −An получаем:An eπ(2n−1)s2l−−eπ(2n−1)s2l= 2An shπ(2n − 1)s2l2= fn =lZlf (x) sinπ(2n − 1)x dx.2l0И, наконец,fnAn = −Bn =2 shπ(2n−1)s2l=Zl1l shπ(2n−1)s2lf (x) sinπ(2n − 1)x dx.2l0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.13) найденные коэффициенты An и Bn из (1).

Получим∞xsh π(2n−1)X2lπ(2n − 1) sinu(x, t) =fn x ,(1.18)π(2n−1)2lshsn=12lгде fn определены равенством (1.17).№ 717 e).Случай неоднородных краевых условий по x.Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = 0, u(l, y) = T y,u(x, 0) = 0, u(x, s) = sTl x ,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).(2.1)Шаг 1. Сведение краевых условий при x = 0, x = l к однородным.Аналогично задачам с неоднородными краевыми условиями для параболических и гиперболических уравнений, можно легко найти функциюw(x, y) = (a1 x + b1 )µ(y) + (a2 x + b2 )ν(y), такую, чтобыw(0, y) = µ(y),w(l, y) = ν(y).В нашем случае µ(y) = 0, ν(y) = T y, и функция w(x, y) имеет видw(x, y) =T xy.lНайденная функция w(x, y) удовлетворяет равенствамx ∈ (0, l), y ∈ (0, s), wxx + wyy = 0,w(0, y) = 0, w(l, y) = T y,y ∈ (0, s),w(x, 0) = 0, w(x, s) = T lxs ,x ∈ (0, l).-3-(2.2)(2.3)УМФ – семинар – Метод ФурьеПоэтому для функцииv(x, y) = u(x, y) − w(x, y)мы получаем задачу: vxx + vyy = 0,v(0, y) = 0, v(l, y) = 0,v(x, 0) = 0, v(x, s) = 0,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).(2.4)Шаг 2.

Решение задачи (2.4). В данном случае нет необходимости искать решениеметодом Фурье, поскольку задача (2.4) имеет, очевидно, решениеv(x, t) ≡ 0,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s).Из теории краевых задач известно, что решение таких задач единственно (в случае еслихотя бы одно краевое условие – не второго рода), поэтому ничего другого мы методомФурье не найдём.Поэтому нам осталось написать ответ:u(x, y) = w(x, y) =T xy,lx ∈ (0, l), y ∈ (0, s).№ 718 a).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = f (y), u(∞, y) = 0,u(x, 0) = uy (x, l) = 0,x ∈ (0, +∞), y ∈ (0, l),y ∈ (0, l),x ∈ (0, +∞).(3.1)В данном случае задача поставлена в полуполосе и, поскольку из двух переменных толькоy меняется на конечном отрезке, задачу Штурма – Лиувилля мы можем получить толькодля функции Y (y).Шаг 1.

Будем искать решение уравнения uxx + uyy = 0 с краевыми условиями u(x, 0) = uy (x, l) = 0 в видеU (x, y) = X(x)Y (y).Сразу заметим, что краевые условия при y = 0, y = l означают для функции Y (y)следующее:Y (0) = Y 0 (l) = 0.(3.2)Подставим U (x, y) в уравнение, получим:X”(x)Y (y) = −X(x)Y ”(y)Предположив, что X(x)Y (y) 6= 0, поделим это равенство на X(x)Y (y) 6= 0:Y ”(y)X”(x)=−= −λ.X(x)Y (y)Отсюда для функции Y (y) имеем задачуY ”(y) + λY (y) = 0,Y (0) = Y 0 (l) = 0,-4-(3.3)(3.4)УМФ – семинар – Метод Фурьеа для функции X(x) – уравнение:X”(x) − λX(x) = 0,x ∈ (0, ∞).(3.5)Задача (3.3)–(3.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Её решение мы уже находили в №717 а).Эта задача имеет бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1), Yn (y) = siny , n∈Nλn =2l2lСтало быть, рассматривать задачу (3.5) имеет смысл только при λ = λn , и мы получаемсемейство задач:X”n (x) − λn Xn (x) = 0,x ∈ (0, ∞),n ∈ N.(3.6)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Xn (x) = An eπ(2n−1)x2l+ Bn e−π(2n−1)x2ly ∈ (0, s),,n∈N(3.7)где An и Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (3.1).Будем искать решение задачи (3.1) в виде u(x, y) =∞PXn (x)Yn (y), т.е.n=1u(x, t) =∞Xn=1sinπ(2n−1)π(2n−1)π(2n − 1)x−x2l2lAn ey+ Bn e.2l(3.8)Из условий задачи мы ещё не использовали только краевые условия по x:u(0, y) = f (y),y ∈ (0, l).u(∞, y) = 0,Для функции u(x, y) искомого вида первое условие означает:f (y) = u(0, y) =∞XXn (0)Yn (y) =n=1∞X(An + Bn ) Yn (y),(3.9)n=1А второе условие u(∞, y) = 0 может выполняться только приn ∈ N.An = 0,Таким образом, наше решение должно иметь вид∞Xπ(2n−1)π(2n − 1)u(x, t) =Bn siny e− 2l x .2ln=1(3.10)Пусть функция f (y), входящая в начальное условие, разлагается в рядf (y) =∞Xfn Yn (y),(3.11)n=1Как мы выяснили, решая № 717 а), коэффициенты fn имеют вид:22fn = (f, Yn ) =llZlf (y) sin0-5-π(2n − 1)y dx.2l(3.12)УМФ – семинар – Метод ФурьеИтак, для коэффициентов Bn из (3.9)–(3.12) получаем:2Bn = fn =lZlf (y) sinπ(2n − 1)y dx.2l(3.13)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (3.10) найденные коэффициенты Bn из (3.13). Получим∞Xπ(2n−1)π(2n − 1)(3.14)u(x, t) =fn siny e− 2l x ,2ln=1где fn определены равенством (3.12).№ 717 б).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,ux (0, y) = ux (l, y) = 0,u(x, 0) = A, u(x, s) = Bx,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 717 в).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,ux (0, y) = u(l, y) = 0,u(x, 0) = 0, u(x, s) = Bx,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 717 г).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = U, ux (l, y) = 0,uy (x, 0) = T sin πx, u(x, s) = 0,2lx ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 717 д).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = 0, ux (l, y) = q,u(x, 0) = 0, u(x, s) = U,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 718 б).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = f (y), u(∞, y) = 0,uy (x, 0) = uy (x, l) + hu(x, l) = 0,x ∈ (0, +∞), y ∈ (0, l),y ∈ (0, l),x ∈ (0, +∞), h > 0.№ 718 в).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = y(l − y), u(∞, y) = 0,u(x, 0) = u(x, l) = 0,-6-x ∈ (0, +∞), y ∈ (0, l),y ∈ (0, l),x ∈ (0, +∞)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров