Семинар 9 для Ф-5. Метод Фурье для уравнения теплопроводности в прямоугольнике (1127964)
Текст из файла
УМФ – семинар – Ф 5 – 9Задачи для однородного уравнения теплопроводности впрямоугольнике.1. № 712(а).Начальная температура однородного бесконечного прямоугольного стержня0 6 x 6 p, 0 6 y 6 s, −∞ < z < +∞, является произвольной функцией ϕ(x, y).Определить температуру стержня при t > 0, если температура поверхностистержня поддерживается равной нулю.Записав эти условия математически, с учётом, что никакие заданные функции не зависят отпеременной z, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(x, y; t) из условий2(x, y) ∈ Π, t > 0; ut = a (uxx + uyy ) ,u(x,y;0)=ϕ(x,y),(x, y) ∈ Π;(1.1) u= 0,0 < t < T,(x, y)∈∂Πгде через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :0 6 x 6 p,0 6 y 6 s} ,а ∂Π – его граница.Шаг 1.
Предварительные рассуждения.Если искать решение задачи (1.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),(1.2)k=1 n=1то, подставив ряд1 в уравнение ut = a2 (uxx + uyy ), получим, что оно заведомо выполняется,если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T0kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:T0kn (t)X00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)(1.3)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Итак, ∃ λkn такая, чтоX00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)T0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = 0,Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы.
Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,1µk + νn = λkn .(1.4)Заметим, что индексы суммирования у Tkn , Xk и Yn различны. Фактически этот ряд можно записать ввиде следующего повторного:∞∞XXu(x, y; t) =Xk (x)Yn (y)Tkn (t).n=1k=1c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – Ф 5 – 9Таким образом, естественно начать решение задачи (1.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).Шаг 2. Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X(0) = X(p) = 0,Y(0) = Y(s) = 0.(1.5)Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Xk (0) = Xk (p) = 0,Yn (0) = Yn (s) = 0,(1.6)Подобные задачи рассматривались уже не раз (№ 687 из файла Sem7, № 705 из semS1 и др.).Поэтому запишем результат:существет бесконечное множество нетривиальных решений πny π 2 n2π2k2πkx,νn = 2 , Yn (y) = sin,k, n ∈ N.µk = 2 , Xk (x) = sinppssВ силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем задачуT0kn (t) + λkn a2 Tkn (t) = 0,t > 0,λkn =π 2 k 2 π 2 n2+ 2 .p2s(1.7)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Tkn (t) = Akn e− a2λkn tt > 0,(1.8)где Akn – произвольные постоянные.Шаг 3.
Решаем задачу (1.1).Будем искать решение задачи (1.1) в виде ряда (1.2). Так как найденные на Шаге 2 функцииXk (x) и Yn (y) удовлетворяют краевым условиям (1.5), то функцияu(x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)Tkn (t)k=1 n=1удовлетворяет краевому условию u= 0. А в силу рассуждений на Шаге 1, u(x, y; t)(x, y)∈∂Πесть решение уравнения ut = a2 (uxx + uyy ).Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, y; 0) = ϕ(x, y).
Для функции u(x, y; t) искомого вида (1.2) оно означает:∞ X∞ πny Xπkxϕ(x, y) = u(x, y; 0) =sinsinAkn ,psk=1 n=1(1.9)Пусть функция ϕ(x, y), входящая в начальное условие, разлагается в прямоугольнике Π вдвойной ряд Фурье по синусам:∞ X∞ πny Xπkxϕ(x, y) =αkn sinsin,(1.10)psn=1k=1c коэффициентамиαkn44=ϕ, Xl · Ym =pspsZp Zsϕ(x, y) sin0c Д.С. Ткаченко0-2-πkxpsin πny sdxdy.(1.11)УМФ – семинар – Ф 5 – 9Получим формулу (1.11) вычисленияФурье для двойного ряда по синусам.
Для этого, как коэффициентовπmyобычно, домножим (1.10) на sin πlxsinипроинтегрируемпо Π. Учитывая ортогональность собственpsных функций задач Штурма-Лиувилля, получим:Zp Zsϕ, Xl · Ym = αlm2sin0πlxp2sin πmy sZp2sindxdy = αlmπlxpZsdx00αlm=4Zp 1 − cossin2 πmy sdy =02πlxpZs 1 − cosdx02πmysdy = αlm ·ps.40Из равенств (1.9), (1.10) и (1.11) получаемAkn = αkn4=psZp Zsϕ(x, y) sin0πkxpsin πny s(1.12)0Итак, мы знаем функции Tkn (t) полностью:Zp Zs4πkxπny2Tkn (t) = ϕ(x, y) sinsindxdy · e− a λkn tpsps0dxdy.t > 0.(1.13)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.2) найденные функции Tkn (t)из (1.13).Ответ: p sZ Z∞ πny Xπkξπkx4πnη2ϕ(ξ, η) sindξdη sin· e− a λkn t ,u(x, y; t) =sinsinps k,n=1psps0где λkn =π 2 k2p2+0π 2 n2.s22. № 712(б).Начальная температура однородного бесконечного прямоугольного стержня0 6 x 6 p, 0 6 y 6 s, −∞ < z < +∞, является произвольной функциейϕ(x, y).
Определить температуру стержня при t > 0, если часть поверхности стержня x = 0, 0 < y < s теплоизолирована, а остальная часть егоповерхности поддерживается при нулевой температуре.Записав эти условия математически, с учётом, что никакие заданные функции не зависят отпеременной z, получим задачу:Найти ограниченную функцию u(x, y; t) из условийut = a2 (uxx + uyy ) ,(x, y) ∈ Π, t > 0;u(x, y; 0) = ϕ(x, y),(x, y) ∈ Π;(2.1)ux (0, y; t) = u(p, y; t) = 00 < y < s, 0 < t < T,u(x, 0; t) = u(x, s; t) = 00 < x < p, 0 < t < T,где через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :c Д.С. Ткаченко0 6 x 6 p,-3-0 6 y 6 s} .УМФ – семинар – Ф 5 – 9Шаг 1. Предварительные рассуждения.
(Полное повторение Шага 1 для № 712(а).)Если искать решение задачи (2.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)Tkn (t),(2.2)k=1 n=1то, подставив ряд в уравнение ut = a2 (uxx + uyy ), получим, что оно заведомо выполняется,если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T0kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:T0kn (t)X00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)(2.3)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе.
Итак, ∃ λkn такая, чтоX00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)T0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = 0,Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы. Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,µk + νn = λkn .(2.4)Таким образом, естественно начать решение задачи (2.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).Шаг 2.
Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X0 (0) = X(p) = 0,Y(0) = Y(s) = 0.Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Yn (0) = Yn (s) = 0,X0k (0) = Xk (p) = 0,(2.5)(2.6)Решим задачу для X(x), аналогичную рассмотренной в № 688 из файла Sem7.
Общее решениеуравнения X00 (x) + µX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( µ x) + c2 cos( µ x)при µ > 0;(2.7)√X(x) = c1 e −µ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−µ xпри µ < 0;при µ = 0;(2.8)(2.9)√• При µ > 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 cos( µ x).√1Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем, что µ p = π − 2 + k откудаимеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2k − 1)µk =,k ∈ N.(2.10)2pИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2k − 1)Xk (x) = cosx ,k ∈ N.2pc Д.С.
Ткаченко-4-(2.11)УМФ – семинар – Ф 5 – 9√• При µ < 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = c2 , ⇒ X(x) = 2c1 ch −µ x.Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений при µ < 0.• При µ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 . Поэтому извторого краевого условия X(p) = 0 получаем, что c2 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилляне имеет нетривиальных решений при µ = 0.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2k − 1)π(2k − 1)x , k∈N, Xk (x) = cosµk =2p2pзадачиX00k (x) + µk Xk (x) = 0,X0 (0) = X(p) = 0.Задачи, подобные задаче Штурма-Лиувилля для Y(y) рассматривались уже не раз (№ 687 изфайла Sem7, № 705 из semS1 и др.).
Поэтому запишем результат:существет бесконечное множество нетривиальных решенийπ 2 n2νn = 2 ,sYn (y) = sin πny sk, n ∈ N.,В силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем задачуT0kn (t) + λkn a2 Tkn (t) = 0,t > 0,λkn =π 2 (2k − 1)2 π 2 n2+ 2 .(2p)2s(2.12)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Tkn (t) = Akn e− a2λkn tt > 0,(2.13)где Akn – произвольные постоянные.Шаг 3. Решаем задачу (2.1).Будем искать решение задачи (2.1) в виде ряда (2.2). Так как найденные на Шаге 2 функцииXk (x) и Yn (y) удовлетворяют краевым условиям (2.5), то функцияu(x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)Tkn (t)k=1 n=1удовлетворяет краевому условиюux (0, y; t) = u(p, y; t) = 0u(x, 0; t) = u(x, s; t) = 00 < y < s,0 < x < p,0 < t < T,0 < t < T.А в силу рассуждений на Шаге 1, u(x, y; t) есть решение уравнения ut = a2 (uxx + uyy ).Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, y; 0) = ϕ(x, y).
Для функции u(x, y; t) искомого вида (2.2) оно означает:ϕ(x, y) = u(x, y; 0) =∞ X∞Xcosk=1 n=1c Д.С. Ткаченко-5- πny π(2k − 1)x sinAkn ,2ps(2.14)УМФ – семинар – Ф 5 – 9Пусть функция ϕ(x, y), входящая в начальное условие, разлагается в прямоугольнике Π вдвойной ряд Фурье:∞ X∞ πny Xπ(2k − 1)ϕ(x, y) =αkn cosx sin,(2.15)2psk=1 n=1c коэффициентамиαkn44=ϕ, Xl · Ym =pspsZp Zsϕ(x, y) cos0 πny π(2k − 1)x sindxdy.2ps(2.16)0Получим формулу (2.16)коэффициентов Фурье для двойного ряда. Для этого, как обычно, до вычисленияπmyмножим (1.10) на cos π(2l−1)xsinи проинтегрируем по Π.
Учитывая ортогональность собственных2psфункций задач Штурма-Лиувилля, получим:Zp Zsϕ, Xl ·Ym = αlmcos02π(2l − 1)x2p2sin πmy sZpdxdy = αlmcos2π(2l − 1)x2pZsdx00=αlm4Zp 1 + cosπ(2l − 1)xp πmy sdy =0Zs 1 − cosdx0sin22πmysdy = αlm ·ps.40Из равенств (2.14), (2.15) и (2.16) получаемAkn = αkn4=psZp Zsϕ(x, y) cos0π(2k − 1)x2psin πny s(2.17)0Итак, мы знаем функции Tkn (t) полностью:Zp Zsπ(2k − 1)xπny42ϕ(x, y) cosTkn (t) = sindxdy · e− a λkn tps2ps0dxdy.t > 0. (2.18)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (2.2) найденные функции Tkn (t)из (2.18).Ответ: p sZZ∞4 X π(2k − 1)ξπnηu(x, y; t) =ϕ(ξ, η) cossindξdη ps k,n=12ps0 0 πny π(2k − 1)2cosx sin· e− a λkn t ,2psгде λkn =π 2 (2k−1)2(2p)2+π 2 n2.s23.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
