Семинар 9 для Ф-5. Метод Фурье для уравнения теплопроводности в прямоугольнике (1127964), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ткаченко-10-(4.3)УМФ – семинар – Ф 5 – 9то, подставив ряд2 в уравнение vt = a2 (vxx + vyy + vzz ), получим, что оно заведомо выполняется, если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Ym (y)Zn (z)T0kmn (t) =0000200= a · Xk (x)Ym (y)Zn (z) + Xk (x)Ym (y)Zn (z) + Xk (x)Ym (y)Zn (z) Tkmn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Ym (y)Zn (z)Tkmn (t), получим:00T0kmn (t)X00k (x) Ym(y) Z00n (z)=++.a2 Tkmn (t)Xk (x) Ym (y) Zn (z)(4.4)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y, z), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Итак, ∃ λkmn такая,что00X00k (x) Ym(y) Z00n (z)0Tkmn (t) + λkmn Tkmn (t) = 0,++= λkmn .Xk (x) Ym (y) Zn (z)Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, другая – только от y, а третья– только от z, может быть константой только в случае, если все эти функции – константы.Тогда ∃ µk , νm и κn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,00Ym(y) + νm Ym (x) = 0,µk + νm + κn = λkmn .Z00n (z) + κn Zn (z) = 0,(4.5)(4.6)Таким образом, естественно начать решение задачи (4.1) с решения трёх задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x), для Ym (y) и для Zn (z).Шаг 3.
Решение трёх задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) , для Ym (y) и для Zn (z) выполнение равенств:X(0) = X(l) = 0,Y(0) = Y(l) = 0,Z(0) = Y(l) = 0.(4.7)Таким образом, функции Xk (x), Ym (y) и Zn (z) есть решения задач Штурма-Лиувилля 00 00 00Zn (z) + κn Zn (z) = 0,Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Ym (y) + νn Ym (y) = 0,(4.8)Ym (0) = Ym (z) = 0,Zn (0) = Zn (l) = 0,Xk (0) = Xk (p) = 0,Подобные задачи рассматривались уже не раз (№ 687 из файла Sem7, № 705 из semS4 и др.).Поэтому запишем результат:существет бесконечное множество нетривиальных решений πmy π2k2πkxπ 2 m2µk = 2 , Xk (x) = sin,νm = 2 , Ym (y) = sin,(4.9)llll πnz π 2 n2κn = 2 , Zn (z) = sin,k, m, n ∈ N.(4.10)llВ силу соотношения (4.6), для функций Tkmn имеем задачуT0kmn (t)2+ a λkmn Tkmn (t) = 0,t > 0,λkmnπ 2 k 2 π 2 m2 π 2 n2= 2 + 2 + 2 .lll2(4.11)Заметим, что индексы суммирования у Tkmn , Xk , Ym и Zn различны.
Фактически этот ряд можно записать в виде следующего повторного:v(x, y; t) =∞Xk=1c Д.С. ТкаченкоXk (x)∞XYm (y)m=1-11-∞Xn=1Zn (z)Tkmn (t).УМФ – семинар – Ф 5 – 9Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Tkmn (t) = Akmn e− a2λkmn tt > 0,(4.12)где Akmn – произвольные постоянные.Шаг 4.
Решаем задачу (4.2).Будем искать решение задачи (4.2) в виде ряда (4.3). Так как найденные на Шаге 3 функцииXk (x), Ym (y) и Zn (z) удовлетворяют краевым условиям (4.7), то функция∞ X∞ X∞Xv(x, y, z; t) =Xk (x)Ym (y)Zn (z)Tkmn (t)k=1 m=1 n=1удовлетворяет краевому условию v = 0. А в силу рассуждений на Шаге 2, v(x, y, z; t)(x, y)∈∂Πесть решение уравнения vt = a2 (vxx + vyy + vzz ).Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеv(x, y, z; 0) = U .
Для функции v(x, y, z; t) искомого вида (4.3) оно означает:ϕ(x, y, z) = U = v(x, y, z; 0) =∞ X∞ X∞Xsink=1 m=1 n=1πkxlsin πmy lsin πnz lAkmn ,(4.13)Пусть функция ϕ(x, y, z) = U , входящая в начальное условие, разлагается в кубе Π в тройнойряд Фурье по синусам:∞ X∞∞ XXϕ(x, y, z) =αkmn sink=1 m=1 n=1πkxlsin πmy lsin πnz ,(4.14)dxdydz.(4.15)lc коэффициентамиαkmnZl Zl Zl8= 3lϕ(x, y, z) sin00πkxlsin πmy lsin πnz l0Получим формулу (4.15) вычисления коэффициентовФурье для тройного ряда по синусам.
Для этого, какобычно, домножим (4.14) на sin πpxsin πqysin πrzи проинтегрируем по Π. Учитывая ортогональностьlllсобственных функций задач Штурма-Лиувилля, получим:Zl Zl Zlϕ, Xk · Ym · Zn = αpqr00sin2 πpx lsin2lsin2 πrz ldxdydz =0Zl= αpqr2sin πpx lZldx0αpqr=8 πqy Zl sin πqy lZldy01 − cos22πpxl01 − cosdx πrz ldz =0Zl sin22πqylZl 01 − cosdy2πrzldz = αpqr ·l3.80Из равенств (4.13), (4.14) и (4.15) получаемAkmn = αkmn8= 3lZl Zl Zlϕ(x, y, z) sin0c Д.С.
Ткаченко0πkxl0-12-sin πmy lsin πnz ldxdydz.(4.16)УМФ – семинар – Ф 5 – 9В данном случае, функция ϕ(x, y, z) нам дана в явном виде, поэтому коэффициенты Akmnпридётся посчитать:Akmn8U= 3lZl Zl Zl0=00πkxsinl8U (−1)3 l3 · cosl3 π 3 kmnsin πmy lsin πnz ldxdydz = y=l z=l x=lπkx πmy πnz cos cos =lllx=0y=0=−z=08U8U (−1)k+m+n+1k+m+n·(−1)=.π 3 kmnπ 3 kmnИтак, мы знаем функции Tkmn (t) полностью:Tkmn (t) =8U (−1)k+m+n+1 − a2 λkmn t·eπ 3 kmnt > 0.(4.17)Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (4.3) найденные функции Xk (x),Ym (y), Zn (z) и Tkmn (t).∞ ∞ ∞ πnz πmy πkx8U X X X (−1)k+m+n+12· sinsin· e− a λkmn t .v(x, y, z; t) = 3 ·sinπ k=1 m=1 n=1kmnlllТеперь вспоминаем о замене v(x, y, z; t) = eβt u(x, y, z; t), сделанной на Шаге 1, и получаемокончательныйОтвет:∞ ∞ ∞ πnz πmy πkx8U e−βt X X X (−1)k+m+n+12u(x, y, z; t) =··sinsin· e− a λkmn t ,sin3πkmnlllk=1 m=1 n=12 2222 2где λkmn = π l2k + π lm+ π l2n .2(Ответ в задачнике неверный, он, очевидно, относится к аналогичной задаче, но с условием,когда грани куба, не проходящие через начало координат, непроницаемы для вещества.
Вэтом случае на этих гранях граничное условие будет второго рода.)c Д.С. Ткаченко-13-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
